第二章 重点题型强化（七） 函数极值的综合问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

知识 层面 1.进一步理解函数的导数与极值的关系．　2.掌握函数在某一点取得极值的条件．　3.能求简单的含参函数的极值，能根据极值求参数的取值范围. 素养 层面 通过求简单的含参函数的极值和能根据极值求参数的取值范围问题，培养数学运算、逻辑推理素养. 题型一　求含参函数的极值 例1　 已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值． 解：因为f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0， 所以f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)， 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝. (1)当a>0时，<， 则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  所以当x＝时，函数取得极大值f ＝； 当x＝时，函数取得极小值f ＝0. (2)当a<0时，<， 则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  所以当x＝时，函数取得极大值f ＝0；当x＝时，函数取得极小值f ＝. 综上所述，当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f ＝，在x＝处取得极小值f ＝0； 当a<0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f ＝0，在x＝处取得极小值f ＝. 含参数的函数极值的讨论策略 1．方程f′(x)＝0无解，或有解但解不在定义域内，此时函数无极值． 2．若方程f′(x)＝0有解，可根据定义域，进行解在定义域内和解在定义域外分类讨论． 3．若f′(x)＝0有多解且均在定义域内，可根据它们对f′(x)的符号的影响进行分类讨论． 总之，讨论依据是：(1)是否有极值；(2)区分极大值与极小值． 对点练1. 求函数f(x)＝x－aln x(a∈R)的极值． 解：由f′(x)＝1－＝，x>0知， ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a， 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (0，a) a (a，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  a－aln a  从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值． 题型二　已知函数的极值求参数的值(或范围) 例2　在“①f(x)在x＝1处取得极小值2；②f(x)在x＝－1处取得极大值6；③f(x)的极大值为6，极小值为2”这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 问题：已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)，且________，求f(x)的单调区间． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：选条件①， 易知f′(x)＝3x2－3a， 由即得经检验符合题意， 所以f(x)＝x3－3x＋4， 所以f′(x)＝3x2－3. 令f′(x)>0，解得x<－1或x>1， 令f′(x)<0，解得－1<x<1. 所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 选条件②， 易知f′(x)＝3x2－3a， 由即得经检验符合题意， 所以f(x)＝x3－3x＋4， 所以f′(x)＝3x2－3. 令f′(x)>0，解得x<－1或x>1， 令f′(x)<0，解得－1<x<1. 所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 选条件③. 易知f′(x)＝3x2－3a， 令f′(x)＝3x2－3a＝0，解得x＝±， 则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示： x (－∞，－) － (－，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  所以 解得 所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 已知函数极值求参数值的两个注意点 1．根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． 2．因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 学生用书↓第83页 对点练2.已知函数f(x)＝x3－mx(m>0)． (1)当f(x)在x＝1处取得极值时，求函数f(x)的解析式； (2)当f(x)的极大值不小于时，求m的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝x3－mx， 所以f′(x)＝x2－m. 因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝1－m＝0，所以m＝1，此时f′(x)＝x2－1＝，x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，即f(x)在x＝1处取得极小值，故f(x)＝x3－x. (2)f′(x)＝x2－m，令f′(x)＝0，解得x＝±. x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， x∈(－，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， x∈(，＋∞)时， f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以f(x)极大值＝f(－)＝－·m＋m·m＝m≥⇒m≥1， 即m的取值范围是[1，＋∞)． 题型三　有关函数极值的综合 例3　已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围． 解：令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0. 所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a； 当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.因为方程f(x)＝0有三个不同实根， 所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图． 由已知应有 解得－2<a<2，故实数a的取值范围是(－2，2)． [变式探究] 1．(变条件)在本例中，若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”，结果如何？ 解：由已知应有2＋a<0或－2＋a>0.即a<－2或a>2. 2．(变条件)在本例中，若把“三个不同实根”改为“恰有两个实根”，结果如何？ 解：由条件可知，只要2＋a＝0或－2＋a＝0即可，即a＝±2. 函数极值应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点、方程根的个数等问题时，往往先构造函数，利用极值，并结合图象来解决． 对点练3.已知实数a满足1<a≤2，设函数f(x)＝x3－x2＋ax. (1)当a＝2时，求f(x)的极小值； (2)若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x(b∈R)与f(x)的极小值点相等，证明：g(x)的极大值不大于10. 解：(1)当a＝2时，f(x)＝x3－x2＋2x， 所以f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1) 1 (1，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  所以f(x)的极小值为f(2)＝. (2)证明：f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)． 由于a>1，所以当x>a或x<1时f′(x)>0， 当1<x<a时f′(x)<0， 即f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减， 所以当x＝a时，f(x)取极小值， 所以g(a)为g(x)的极小值， 而g′(x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)， 所以g′(a)＝0， 所以a＝－，即b＝－2(a＋1)． 所以当x>a或x<1时g′(x)>0， 当1<x<a时g′(x)<0， 即g(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减， 又因为1<a≤2， 所以g(x)极大值＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2)＝－3b－8＝6a－2≤10. 故g(x)的极大值不大于10. 课时测评27　函数极值的综合问题 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a的值为(　　 ) A．1 B．1或2 C．2 D．3 答案：C 解析：由函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2可得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，因为函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处取得极值0，所以f′(－1)＝3－6a＋b＝0，f(－1)＝－1＋3a－b＋a2＝0，解得a＝2，b＝9或a＝1，b＝3(舍去，此时函数没有极值)．故选C. 2．若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(－1，0) B．(0，1) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 答案：B 解析：由题意知f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意；当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a，所以当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.可知x＝ln a为f(x)的极值点，所以ln a<0，所以a∈(0，1)．故选B. 3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定(　　 ) A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．小于或等于0 答案：A 解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根，所以x0＋2＝－<0，即>0.由题图知，f′(x)<0的解集为(x0，2)，所以3a>0，则b>0，因为f(1)＋f(－1)＝2b，所以f(1)＋f(－1)>0.故选A. 4．若函数f(x)＝x3－ax2＋2a2x＋(a>0)的极大值为2，则f(x)的单调递减区间为(　　 ) A．(－2，1) B．(1，2) C．(－∞，2) D．(－∞，1)和(2，＋∞) 答案：B 解析：f′(x)＝x2－3ax＋2a2＝(x－a)(x－2a)，因为a>0，可得f(x)在(－∞，a)和(2a，＋∞)上单调递增，在(a，2a)上单调递减，有极大值为f(a)＝a3－a3＋2a3＋＝2，解得a＝1，故f(x)的单调递减区间为(1，2)．故选B. 5．已知函数f(x)＝ex(x3＋ax2＋bx＋c)在(－∞，－2)，(α，β)单调递减，在(－2，α)，(β，＋∞)单调递增，则a＋b＋c＝(　　 ) A．αβ＋2(α＋β)－1 B．αβ－2(α＋β)－1 C．2αβ＋(α＋β)＋1 D．2αβ－(α＋β)－1 答案：D 解析：由f(x)＝ex(x3＋ax2＋bx＋c)，得f′(x)＝ex[x3＋(a＋3)x2＋(2a＋b)x＋b＋c]，又由题可知f′(－2)＝f′(α)＝f′(β)＝0，所以x3＋(a＋3)x2＋(2a＋b)x＋b＋c＝(x＋2)(x－α)(x－β)，即x3＋(a＋3)x2＋(2a＋b)x＋b＋c＝x3－(α＋β－2)x2＋(αβ－2α－2β)x＋2αβ，所以得到所以1＋α＋β＝－a，2αβ＝b＋c，从而a＋b＋c＝2αβ－(α＋β)－1.故选D. 6．(多选题)函数f(x)＝－＋x＋1在区间内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为(　　 ) A．a∈ B．a∈ C．a∈ D．a∈ 答案：AB 解析：f(x)＝－＋x＋1在区间内仅有唯一极值点等价于f′(x)＝ax2－ax＋1在区间内仅有唯一变号零点．当a＝0时，f′(x)＝1不满足题意；当a≠0时，Δ＝a2－4a>0⇒a<0或a>4.当a<0时，⇒⇒a<－；当a>4时，⇒⇒a≥.综上所述，当a<－或a≥时，函数f(x)＝－＋x＋1在区间内仅有唯一极值点．故选AB. 7.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋4x的极小值为－8，其导函数y＝f′(x)的图象过点(－2，0)，如图所示，则f(x)＝______________． 答案：－x3－2x2＋4x 解析：由题设，f′(x)＝3ax2＋2bx＋4，则f′(－2)＝12a－4b＋4＝0，故b＝3a＋1，所以f′(x)＝3ax2＋2(3a＋1)x＋4＝(3ax＋2)(x＋2)，由图知a≠0，令f′(x)＝0，可得x＝－2或x＝－，由图知，a<0且x＝－2处有极小值，所以－8a＋4b－8＝－8，即a＝－1，b＝－2，经验证满足题设，故f(x)＝－x3－2x2＋4x. 8．若函数y＝2x＋a ln x在区间上有极值点，则实数a的取值范围为____________． 答案：(－4，－2) 解析：函数y＝f(x)＝2x＋a ln x在区间上有极值点，所以f′(x)＝2＋在区间上有变号零点．且函数f′(x)＝2＋在区间上单调，所以f′(1)f′(2)<0，即<0，解得－4<a<－2. 9．(新设问)已知函数f(x)＝x＋满足下列条件：①函数f(x)在(－∞，－3)上单调递增；②函数f(x)的极小值大于极大值．则a的一个取值为________；此时极大值为________，极小值为________． 答案：9(答案不唯一)　－6　6 解析：因为函数f(x)＝x＋，所以f′(x)＝1－＝，又函数f(x)在(－∞，－3)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－∞，－3)上恒成立，即a≤x2在(－∞，－3)上恒成立，所以a≤9，故a的一个取值为9，此时由f′(x)＝＝0，可得x＝±3，当x<－3或x>3时，f′(x)>0，当－3<x<0或0<x<3时，f′(x)<0，所以x＝－3时，函数f(x)有极大值为f(－3)＝－6，x＝3时，函数f(x)有极小值为f(3)＝6，符合题意． 10．(10分)设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间；(4分) (2)讨论f(x)的极值．(6分) 解：(1)由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]， 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1. 当a＝1时，f′(x)＝6x2≥0， 故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间； 当a>1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]． f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1， ＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  从上表可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a－1，＋∞)，单调递减区间为(0，a－1)． (2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值． 当a>1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3. (11－13每小题5分，共15分) 11．(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc>0 B．ab>0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0 答案：BCD 解析：函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝－－＝，因为函数 f(x) 既有极大值也有极小值，则函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正根x1，x2， 于是即有显然a2bc<0，即bc<0，A错误，B、C、D正确．故选BCD. 12．(多选题)已知f(x)＝x3＋px2＋qx的图象与x轴相切于非原点的一点，且f(x)极大值＝，那么下列结论正确的是(　　 ) A．p＝6，q＝9 B．p＝－4，q＝4 C．p＝4，q＝2 D．f(x)的极小值为0 答案：BD 解析：设切点为，m≠0，f(x)＝x(x2＋px＋q)，根据题意得，方程x2＋px＋q＝0有两个相等的实根m，所以f(x)＝x＝x3－2mx2＋m2x，所以f′(x)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)(3x－m)，令f′(x)＝0，可得x＝m或x＝，因为f(m)＝0≠，所以f()＝，所以＝，所以m＝2，所以f(x)＝x＝x3－4x2＋4x，所以p＝－4，q＝4.所以f′(x)＝(3x－2)，所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减，f(x)极小值＝f(2)＝0.故选BD. 13．函数f(x)＝－k有两个零点，则k的取值范围是____________． 答案： 解析：由题知，y＝g(x)＝与y＝k有两个交点，g′(x)＝(x>0)，由g′(x)>0得0<x<e；由g′(x)<0得x>e，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，g(x)max＝g(e)＝，且当x>e时，g(x)>0，函数图象如图所示，所以k∈. 14．(10分)给定函数f(x)＝(x＋1)ex. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；(4分) (2)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数．(6分) 解：(1)由f(x)＝(x＋1)ex，得定义域为R，f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex， 令f′(x)>0，即x>－2，令f′(x)＝0，即x＝－2，令f′(x)<0，即x<－2， 所以函数的单调递增区间为(－2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－2)，x＝－2为极小值点， 所以函数的极小值为f(－2)＝－，没有极大值． (2)方程解的个数等价于y＝f(x)与y＝a的交点个数．作出y＝f(x)与y＝a的图象， 由图可知当a<－时，方程f(x)＝a(a∈R)的解为0个； 当a＝－或a≥0时，方程f(x)＝a(a∈R)的解为1个； 当－<a<0时，方程f(x)＝a(a∈R)的解为2个． 15．(5分)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______． 答案：[1，5) 解析：因为f′(x)＝3x2＋2x－a，函数f(x)在区间(－1，1)上恰有一个极值点，即f′(x)＝0在(－1，1)内恰有一个根．又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－.所以应满足所以所以1≤a<5. 16．(15分)已知函数f(x)＝(k∈R)． (1)k为何值时，函数f(x)无极值；(6分) (2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0.(9分) 解：(1)因为f(x)＝， 所以f′(x)＝. 要使f(x)无极值，只要f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立即可． 因为ex>0，所以f′(x)与g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k同号． 因为g(x)的二次项系数为－2， 所以只能满足g(x)≤0恒成立， 令Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0， 解得k＝4， 所以当k＝4时，f(x)无极值． (2)由(1)知k≠4，令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝. ①当<2，即k<4时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  极小值  极大值  令f ＝0，得2·－k·＋k＝0，解得k＝0，满足k<4. ②当>2，即k>4时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，2) 2 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  极小值  极大值  令f(2)＝0，可得2×22－2k＋k＝0， 解得k＝8，满足k>4. 综上，当k＝0或k＝8时，f(x)有极小值0. 学生用书↓第84页 学科网（北京）股份有限公司 $$