2.2.2 导数的几何意义-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

2.2　导数的几何意义 知识 层面 1.通过函数图象直观地理解导数的几何意义．　2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 素养 层面 通过图象理解导数的几何意义，培养直观想象素养；通过导数几何意义的应用，提升数学运算、逻辑推理素养. 知识点一　导数的几何意义 问题1.函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为，你能说出它的几何意义吗？ 提示：表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． 问题2.当Δx变化时，问题1中的直线如何变化？ 提示：直线AB绕点A转动． 问题3.当Δx→0时，问题1中的直线变化到哪里？ 提示：直线过点A与曲线y＝f(x)相切的位置． 1．割线的定义 设函数y＝f(x)的图象是一条光滑的曲线，且函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是经过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． 学生用书↓第61页 2．切线的定义 如图，当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切． 3．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义． [微提醒]　(1)函数f(x)在x0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于0时的极限，若 存在，则函数y＝f(x)在x0处就有导数．(2)f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在切点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(3)函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x＝0处有切线，但不可导． 例1　 已知函数f(x)的图象如图所示，则下列选项正确的是(　　) A．f′(2)<f′(3) B．f′(3)>f(3)－f(2) C．f′(2)>f(3)－f(2) D．f′(2)>0 答案：C 解析：由导数的几何意义判断斜率大小，可知f′(3)<<f′(2)<0，故选C. 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． 对点练1.已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，其中A(x1，f(x1))，B，C(x3，f(x3))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是(　　 ) A．f′(x1)>f′(x2)>f′(x3) B．f′(x3)>f′(x2)>f′(x1) C．f′(x3)>f′(x1)>f′(x2) D．f′(x1)>f′(x3)>f′(x2) 答案：B 解析：由题图可知函数在A点的切线斜率小于0，即f′(x1)<0，在B点的切线斜率等于0，即f′(x2)＝0，在C点的切线斜率大于0，即f′(x3)>0，所以f′(x3)>f′(x2)>f′(x1).故选B. 知识点二　切线方程 问题4.若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，你能写出y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程吗？ 提示：根据点斜式方程：y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，则y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． [微提醒]　切点(x0，f(x0))在曲线上也在切线上． [微思考]　“在某点处的切线(方程)”与“过一点的切线(方程)”是否相同？ 提示：在“某点处的切线(方程)”与“过一点的切线(方程)”是不同的．“在某点处的切线(方程)”是指以该点为切点的切线(方程)，切线只有一条；切线方程也只有一个，“过一点的切线(方程)”是指曲线的切线(方程)经过这点，这点可能不在曲线上，相应的切线(方程)可能不止一条(一个)． 学生用书↓第62页 例2　已知曲线y＝x3＋，求曲线在点P(2，4)处的切线方程． 解：因为点P(2，4)在曲线y＝x3＋上， 所以曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 k＝ ＝ ＝4. 所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. [变式探究] (变设问)本例曲线方程不变，求曲线过点P(2，4)的切线方程． 解：设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A， 则切线的斜率为k＝ ＝x， 所以切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋. 因为点P(2，4)在切线上，所以4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0. 所以x＋x－4x＋4＝0，所以x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 求曲线在某点处的切线方程的步骤 对点练2.已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，求曲线y＝f(x)在点P(－1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积S. 解：因为点P(－1，2)在曲线y＝f(x)上， 所以曲线y＝f(x)在点P(－1，2)处切线的斜率为 k＝lim ＝lim[(Δx)2－5Δx＋8]＝8， 所以曲线y＝f(x)在点P(－1，2)处的切线的方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0. 令x＝0，得y＝10；令y＝0，得x＝－. 由此知该切线与两条坐标轴的交点分别为(0，10)与， 所以所求三角形的面积S＝××10＝. 导数几何意义的应用 例3　(一题多问)已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°； (2)切线平行于直线4x－y－2＝0； (3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0. 解：设切点坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，所以＝4x0＋2Δx， 当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0. (1)因为抛物线的切线的倾斜角为45°， 所以斜率为tan 45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝， 所以切点的坐标为. (2)因为抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， 所以k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，所以切点坐标为(1，3)． (3)因为抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，则k·＝－1，即k＝8， 即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，所以切点坐标为(2，9)． 求切点坐标的步骤 第一步：设出切点坐标； 第二步：利用导数或斜率公式求出斜率； 第三步：利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； 第四步：把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． 对点练3.(1)设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　 ) A．1 B． C．－ D．－1 (2)已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处的切线的斜率之积为3，则x0的值为(　　) A．－2 B．1 C． D．2 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)因为f′(1)＝ ＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1(经检验，正确)．故选A. (2)由题意知，y′1＝lim ＝，y′2＝lim ＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处的切线的斜率分别为，3x－2x0＋2.由题意可知，＝3，所以x0＝1.故选B. 知识 1.导数的几何意义.2.切线方程.3.导数几何意义的应用 方法 数形结合、待定系数法 易错误区 混淆在一点处的切线和过一点的切线 学生用书↓第63页 1．曲线y＝－2x2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是(　　 ) A．－4 B．4 C．0 D．不存在 答案：C 解析： k＝ ＝ (－2Δx)＝0.故选C. 2．已知曲线y＝f(x)上点(1，0)处的切线方程为4x－y－4＝0，则f′(1)的值为(　　 ) A．6 B．－6 C．4 D．－4 答案：C 解析：依题意曲线y＝f(x)上点(1，0)处的切线方程为4x－y－4＝0，且斜率为4，故f′(1)＝4.故选C. 3．(多选题)下列说法不正确的是(　　 ) A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线 D．曲线y＝f(x)虽在点处有切线，但f′(x0)不一定存在 答案：ABC 解析：对于A，曲线的切线和曲线的交点不一定唯一，如曲线y＝sin x在处的切线与曲线有无数个交点，故A错误；对于B，过曲线上的一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如经过曲线上一点，但是不是在该点与曲线相切而是在其他地方相切，比如y＝x3与y＝3x－2相切于点(1，1)，同时经过另外一点(a，b)，我们就可以说过点(a，b)的直线y＝3x－2与曲线y＝x3相切，但切点是(1，1)而不是(a，b)，故B错误；对于C，若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点处可能有切线，如曲线在某点处的切线垂直于x轴，此时f′(x0)不存在，但曲线y＝f(x)在点处有切线，故C错误；对于D，由曲线在一点有平行于y轴的切线，且函数在该点不连续，则f′(x0)不一定存在，故D正确．故选ABC. 4．已知函数f(x)＝在x＝x0处的切线的倾斜角为135°，则x0＝________． 答案：±1 解析：f′(x0)＝ ＝－ ＝－.令－＝tan 135°＝－1，可得x0＝±1. 课时测评19　导数的几何意义 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．设函数f(x)在R上可导，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋，那么f′(1)＝(　　 ) A．2 B．1 C． D． 答案：A 解析：因为函数f(x)的图象在点M处的切线方程为y＝2x＋，所以f′(1)＝2.故选A. 2．已知曲线y＝2x3上一点A(1，2)，则点A处的切线斜率等于(　　 ) A．0 B．2 C．4 D．6 答案：D 解析：Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3， ＝ [2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6.故选D. 3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　 ) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 答案：B 解析：因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，即切线与x轴平行或重合．故选B. 4.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　 ) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 答案：B 解析：由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)<f′(xB)．故选B. 5．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　 ) A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 答案：A 解析：设切点为(x0，y0)，因为f′(x0)＝lim ＝lim (2x0＋Δx)＝2x0.由题意，可知切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.故选A. 6．(多选题)下列各点中，在曲线y＝f(x)＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　 ) A．(0，0) B．(1，－1) C．(－1，1) D．(1，1) 答案：BC 解析：设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ ＝3x－2＝tan ＝1，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－1.当x0＝－1时，y0＝1.故选BC. 7.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 ＝________． 答案：－2 解析：由导数的概念和几何意义知， ＝f′(1)＝kAB＝＝－2. 8．曲线y＝x2在点(1，1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________． 答案： 解析：f′(1)＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2，则曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.因为2x－y－1＝0与坐标轴的交点为(0，－1)，，所以所求三角形的面积为S＝×1×＝. 9．已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)．若直线x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：假设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝f(x)相切，切点为P(x0，y0)，由题意，得f′(x0)＝ ＝3x－3a＝－1无解，即3x－3a＋1＝0无解，故3a－1<0，解得a<. 10．(10分)已知点P(2，－1)在曲线f(x)＝上．求： (1)曲线在点P处的切线斜率；(5分) (2)曲线在点P处的切线方程．(5分) 解：(1)将P(2，－1)的坐标代入f(x)＝，得t＝1，所以f(x)＝. 所以f′(2)＝ ＝ ＝ ＝1， 所以曲线在点P处的切线斜率为1. (2)由(1)知曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0. (11－13每小题5分，共15分) 11．若 ＝2，f(3)＝3，则f(x)在(3，f(3))处的切线方程为(　　 ) A．2x＋y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0 C．－2x＋y＋9＝0 D．－2x＋y－9＝0 答案：B 解析：由已知， ＝2，f(3)＝3，令Δx＝x－2，所以 ＝－ ＝－f′(3)＝2，得f′(3)＝－2，所以f(x)在(3，f(3))处的切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.故选B. 12．(多选题)若当Δx→0时，满足→－1，则下列结论正确的是(　　) A．→－4 B．→－2 C．曲线y＝f上点处的切线斜率为－1 D．曲线y＝f上点处的切线斜率为－2 答案：AD 解析：由→－1得：→－2，即f′＝－2，所以曲线y＝f上点处的切线斜率为－2，故C错误、D正确；＝2×＝2×→－4，故A正确、B错误．故选AD. 13．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则 ＝_______________________________. 答案：－2 解析：依题意可知切点P，因为函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，所以f′＝－1，即 ＝－1. 所以 ＝2 ， 又因为 ＝ ＝－1， 所以 ＝－2. 14．(10分)点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标． 解：设P(x0，y0)，则y0＝x＋1， f′(x0)＝lim ＝2x0， 所以在点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x＋1－x， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点， 由 得2x2＋2x0x＋2－x＝0， 则Δ＝4x－8(2－x)＝0， 解得x0＝±，则y0＝， 所以点P的坐标为或. 15．(5分)函数y＝在x＝1处的导数为_______________________________． 答案：－ 解析：作出函数y＝的图象如图． 由导数的几何意义可知，函数y＝在x＝1处的导数即为半圆在点P(1，)处的切线的斜率．所以kl＝－＝－＝－. 16．(15分)求过点(－1，0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程． 解：设切点为(x0，x＋x0＋1)，则切线的斜率为 k＝ ＝2x0＋1. 又k＝＝， 所以2x0＋1＝，解得x0＝0或x0＝－2. 当x0＝0时，切线斜率k＝1， 过(－1，0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0. 当x0＝－2时，切线斜率k＝－3， 过(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0. 故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$