2.2.1 导数的概念-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§2　导数的概念及其几何意义 2．1　导数的概念 知识 层面 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，理解导数的概念，体会导数的内涵与思想．　2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．　3.理解导数的实际意义. 素养 层面 通过对导数的概念的理解，培养数学抽象素养；通过求导数及对导数的实际意义的理解，提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养. 知识点一　导数的定义 问题1.一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．质点在前3 s内的平均速度是多少？在3 s时的瞬时速度是多少？ 提示：8 m/s，14 m/s. 问题2.对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x0＋Δx时，y关于x的平均变化率是多少？当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 提示：＝，当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数． 学生用书↓第58页 导数的概念 条件 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝．当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值 结论 这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数 续表 记法 函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝ [微提醒]　(1)函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在．(2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关．(3)导数的实质是一个极限值． 例1　 设f(x)在x0可导，则lim 等于(　　 ) A．－4f′(x0) B．f′(x0) C．f′(x0) D．4f′(x0) 答案：D 解析：lim ＝4lim ＝4f′(x0)．故选D. 利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同． 对点练1. 已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　 ) A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案：A 解析：因为 ＝－2 ＝－2f′(3)＝2，所以f′(3)＝－1，故选A. 知识点二　函数在某点处的导数及意义 问题3.一质点的运动位移s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝s(t)＝－2t＋3.根据导数的定义你能求出s′(1)，并解释它的实际意义吗？ 提示：＝ ＝＝－2 m/s.当Δt趋于0时，趋于－2，则s′(1)＝－2 m/s，导数s′(1)＝－2 m/s表示该质点在t＝1时的瞬时速度． 对于函数f(x)，f′(x0)的意义就是函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 例2　(1)已知函数y＝f(x)＝2x2＋1.求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率． (2)求函数y＝x＋在x＝1处的导数． 解：(1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx. 所以＝2Δx＋8. 故函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率为 ＝ (2Δx＋8)＝8. (2) 因为Δy＝(1＋Δx)＋－ ＝Δx－1＋＝＝， 所以＝. 故当Δx无限趋近于0时，无限趋近于0， 即当x＝1时，函数y＝x＋的导数为0. 学生用书↓第59页 1．求瞬时变化率的主要步骤 第一步：先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； 第二步：再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1； 第三步：得平均变化率＝； 第四步：得瞬时变化率 . 2．由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤 第一步：求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：求平均变化率＝； 第三步：取极限，得导数f′(x0)＝ . 对点练2.　已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　 ) A．－4 B．2 C．－2 D．±2 答案：D 解析：因为＝＝＝－，所以f′(m)＝－＝－，所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2.故选D. 对点练3.已知函数f(x)＝－.函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是多少？ 解：函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率为 ＝ ＝ ＝ ＝6. 导数在实际问题中的意义 例3　某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7x＋6.求c′(1)与c′(2)，并说明它们的实际意义． 解：设x＝1时产量的改变量为Δx， 则＝＝ ＝－2Δx＋3， c′(1)＝ ＝ (－2Δx＋3)＝3， 设x＝2时产量的改变量为Δx， 则＝＝＝－2Δx－1， c′(2)＝ ＝ (－2Δx－1)＝－1. c′(1)的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获利3万元； c′(2)的实际意义：当产量为2 000台时，多生产1台旋切机少获利1万元． 首先要理解导数与平均变化率的概念，才能根据实际问题体会到导数的实际意义． 对点练4. 有一边长为10 cm的正方形铁板(此时铁板温度为0 ℃)，加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为t ℃(t>0)时，其边长膨胀为10cm，其中a为常数，求铁板面积对温度t的瞬时膨胀率． 解：设温度的增量为Δt，则铁板面积的增量为ΔS＝100[1＋a(t＋Δt)]2－100(1＋at)2 ＝200Δt＋100a2(Δt)2， 则＝＝200(a＋a2t)＋100a2Δt. 当Δt→0时，S′(t)＝ ＝200a(1＋at)． 故铁板面积对温度t的瞬时膨胀率为200a(1＋at)． 知识 1.导数的概念.2.函数在某点处的导数及意义3.导数在实际问题中的意义 方法 定义法、极限思想 易错误区 函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关 学生用书↓第60页 1．(多选题)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则 的值(　　 ) A．与x0有关 B．与h有关 C．与x0无关 D．与h无关 答案：AD 解析：由导数的定义，得 ＝f′(x0)，即函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关．故选AD. 2．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为2，则 ＝(　　) A．0 B． C．1 D．2 答案：D 解析： 根据极限与导数的关系可知， ＝f′(x0)＝2.故选D. 3．(多选题)某物体的运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝ ＝18 m/s，则下列说法中错误的是(　　 ) A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度 B．18 m/s是物体从3 s到s这段时间内的速度 C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度 D．18 m/s是物体从3 s到s这段时间内的平均速度 答案：ABD 解析：由瞬时变化率的概念可得， v＝ ＝18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度，即C正确，A，B，D错误．故选ABD. 4．已知函数y＝f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________． 答案：1 解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2a(1＋Δx)＋4－2a－4＝2aΔx，＝2a，所以 ＝2a，所以a＝f′(1)＝1. 课时测评18　导数的概念 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．已知f(x)是定义在R上的可导函数，若 ＝，则f′(2)＝(　　 ) A．－1 B．－ C．1 D． 答案：A 解析：f′(2)＝ ＝－2 ＝－2×＝－1.故选A. 2．汽车在笔直的公路上行驶，如果v(t)表示t时刻的速度，则当Δt趋于0时，的意义是(　　 ) A．表示当t＝t0时汽车的加速度 B．表示当t＝t0时汽车的瞬时速度 C．表示当t＝t0时汽车的路程变化率 D．表示当t＝t0时汽车与起点的距离 答案：A 解析：由于v(t)表示t时刻的速度，则当Δt趋于0时，＝表示当t＝t0时汽车的加速度．故选A. 3．函数y＝x2在x＝1处的导数为(　　 ) A．2x B．2＋Δx C．2 D．1 答案：C 解析：y＝x2在x＝1处的导数为f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2.故选C. 4．已知物体做直线运动对应的函数为S＝S(t)，其中S表示路程，t表示时间．则S′(4)＝10表示的意义是(　　 ) A．经过4 s后物体向前走了10 m B．物体在前4 s内的平均速度为10 m/s C．物体在第4 s内向前走了10 m D．物体在第4 s时的瞬时速度为10 m/s 答案：D 解析：因为物体做直线运动的方程为S＝S(t)，根据导数的物理意义可知，S(t)函数的导数是t时刻的瞬时速度，所以S′(4)＝10表示的意义是物体在第4 s时的瞬时速度为10 m/s.故选D. 5．若f′(x0)＝－3，则 等于(　　 ) A．－3 B．－6 C．－9 D．－12 答案：D 解析： ＝4 ＝4f′(x0)＝4×＝－12.故选D. 6．(多选题)设f(x)在x0处可导，下列式子中与f′(x0)相等的是(　　 ) A. B. C. D. 答案：AC 解析：对于A， ＝ ＝f′(x0)，故A满足；对于B， ＝2 ＝2f′(x0)，故B不满足；对于C， ＝f′(x0)，故C满足；对于D， ＝3 ＝3f′(x0)，故D不满足．故选AC. 7．设函数f(x)＝x2＋ax，且lim ＝1，则a＝________． 答案：－1 解析：lim ＝lim ＝lim (Δx＋a＋2)＝a＋2＝1，所以a＝－1. 8．函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数为_______________________________． 答案：16 解析：因为Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，所以＝＝2Δx＋16，故f′(3)＝ ＝ (2Δx＋16)＝16. 9．已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的导数为－8，则f(x0)＝________． 答案：9 解析：由题知 ＝ ＝ (2Δx＋4x0)＝4x0＝－8，得x0＝－2，所以f(x0)＝f(－2)＝2×(－2)2＋1＝9. 10．(10分)一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义． 解：因为＝＝＝3， 所以f′(2)＝ ＝3. f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s. (11－13每小题5分，共15分) 11．设函数f(x)＝，则 等于(　　 ) A．－ B． C．－ D． 答案：C 解析：令Δx＝x－a，则当x→a时，Δx→0，所以 ＝ ＝ ＝ ＝－.故选C. 12．(多选题)设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则－f′(2)＝(　　 ) A. B. C. D. 答案：BC 解析： 因为函数f(x)在x＝2处的导数存在，所以 ＝－ ＝－f′(2)，故B正确；又因为 ＝－ ＝－f′(2)，所以C正确．故选BC. 13．在受到制动后的t s内飞轮转过的角度(单位：rad)满足函数φ(t)＝4t－0.3t2.则 (1)当t＝2 s时，飞轮转过的角度为________ rad； (2)飞轮停止旋转的时刻为________ s. 答案：(1)6.8　(2) 解析：(1)当t＝2 s时，飞轮转过的角度φ(2)＝8－1.2＝6.8(rad)． (2)φ′(t)＝ ＝ ＝ ＝ (4－0.3Δt－0.6t)＝4－0.6t， 飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0.所以令4－0.6t＝0，得t＝， 所以在t＝ s时，飞轮停止旋转． 14．(10分)已知某产品的总成本函数为C＝Q2＋2Q(单位：元)，总成本函数在Q0处的导数称为在Q0处的边际成本，用MC(Q0)表示．求边际成本MC(500)，并说明它的实际意义． 解：设Q＝500时，成本的改变量为ΔQ， ＝ ＝ΔQ＋1 002， 则MC(500)＝lim (ΔQ＋1 002)＝1 002， 即产量为500时的边际成本为1 002， 其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1 002元． 15．(5分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________． 答案：2 解析：由导数的定义，得f′(0)＝ ＝ ＝ (aΔx＋b)＝b>0.又f(x)≥0恒成立，所以所以ac≥，所以c>0.所以＝≥≥＝2，当且仅当a＝c＝时等号成立．所以的最小值为2. 16．(15分)(新角度)已知函数f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋2 024)，求其在x＝0处的导数．(注：1×2×3×…×n＝n！(n∈N＋))． 解：Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝Δx(Δx＋1)(Δx＋2)…(Δx＋2 024)， ＝＝(Δx＋1)(Δx＋2)…(Δx＋2 024)， f′(0)＝lim (Δx＋1)(Δx＋2)…(Δx＋2 024)＝1×2×3×…×2 024＝2 024！. 学科网（北京）股份有限公司 $$