2.1.1-2.1.2 平均变化率 瞬时变化率-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§1　平均变化率与瞬时变化率 1．1　平均变化率　 1.2　瞬时变化率 知识 层面 1. 通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念．　2.掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法. 素养 层面 通过对函数平均变化率、瞬时变化率等有关概念的学习，培养数学抽象素养；借助求函数平均变化率、瞬时变化率，培养数学运算素养. 知识点一　平均变化率 问题1.下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况： x/min 0 10 20 30 40 50 60 y/℃ 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9 观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 提示：每10分钟病人的体温变化不相同，从20分钟到30分钟变化最快，用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢． 平均变化率 1．定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝． 把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝． 2．作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． [微提醒]　(1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零．(2)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快． 例1　 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈. (1)分别求s(t)在区间和上的平均速度； (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义． 解：(1)物体在区间上的平均速度为v1＝＝＝. 物体在区间上的平均速度为v2＝＝＝. (2)由(1)可知v1－v2＝>0， 所以v1>v2. 作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示， 可以发现，s(t)＝sin t在上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢． 学生用书↓第55页 求函数f(x)平均变化率的步骤 第一步：求函数值的改变量：Δy＝f(x2)－f(x1)； 第二步：求自变量的改变量：Δx＝x2－x1； 第三步：作商：＝. 对点练1. 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.当x1＝4，且Δx＝1时，求函数值的改变量Δy和平均变化率. 解：因为f(x)＝2x2＋3x－5， 所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx. 所以当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21， 则＝＝21. 知识点二　瞬时变化率 问题2.物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度．当Δt趋近于0时，平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，vT123T＝＝10＋5Δt.当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度． 瞬时变化率 1．定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝． 如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率． 2．作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． [微提醒]　平均变化率与瞬时变化率的关系 (1)区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在某一点处变化的快慢. (2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，这个值即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值． [微思考]　函数f (x)在区间(x1，x2)上的平均变化率可以等于0吗？若平均变化率等于0，是否说明f(x)在(x1，x2)上一定为常数？ 提示：函数f (x)在区间(x1，x2)上的平均变化率可以等于0，这时f (x1)＝f (x2)；平均变化率等于0，不能说f (x)在区间(x1，x2)上一定为常数，例如f (x)＝x2在区间(－1，1)上． 例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． 解：因为＝ ＝＝3＋Δt， 当Δt趋于0时，趋于3，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 学生用书↓第56页 [变式探究] 1．(变设问)若本例中的条件不变，试求物体的初速度． 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度， 因为＝ ＝＝1＋Δt， 当Δt趋于0时，趋于1，即物体的初速度为1 m/s. 2．(变设问)若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又＝ ＝ ＝(2t0＋1)＋Δt. 当Δt趋于0时，趋于2t0＋1，则2t0＋1＝9， 所以t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤 第一步：求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：计算，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止； 第三步：将Δx＝0代入化简后的即得瞬时变化率． 对点练2.求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率． 解：因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－(3＋1)＝7Δx＋3(Δx)2. 所以＝＝7＋3Δx. 所以当Δx趋于0时，趋于7. 所以函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7. 平均变化率与瞬时变化率的应用 例3　已知某气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)分别求气球的体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L的过程中半径r的平均变化率(精确到0.01)，并比较哪个过程中半径变化较快？此结论说明什么规律？ (注： ≈0.62, ≈0.78) 解：(1)体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3，即V＝πr3， 则r3＝，所以r＝ ，所以r(V)＝ . (2)气球的体积V从0 L增加到1 L过程中半径r的平均变化率： ＝ － ＝ ≈0.62， 气球的体积V从1 L增加到2 L过程中半径r的平均变化率： ＝ － ≈0.78－0.62＝0.16， 可以看出，气球的体积V从0 L增加到1 L的过程中，半径变化较快， 说明随着气球的体积逐渐变大，气球的半径增加得越来越慢． 熟练掌握平均变化率与瞬时变化率的计算是关键，当自变量的改变量趋于零时，平均变化率即为瞬时变化率． 对点练3.有一个长方体的容器，如图所示，它的宽为10 cm，高为100 cm，右侧面为一活塞，容器中装有1 000 mL的水，活塞的初始位置(距左侧面)为x0＝1 cm，水面高度为100 cm.当活塞位于距左侧面x cm的位置时，水面高度为y cm. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)活塞的位置x从1 cm变为2 cm，水面高度改变了多少？活塞位置x从8 cm变为10 cm，水面高度改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？ 学生用书↓第57页 (3)试估计当x＝10 cm时，水面高度y关于活塞位置x的瞬时变化率． 解：(1)因为10xy＝1 000，所以y＝， 即y关于x的函数解析式为y＝(x>0)． (2)由(1)得y＝，设y＝f(x)，则f(x)＝， 所以f(1)＝100，f(2)＝50，f(2)－f(1)＝50－100＝－50(cm)， 所以活塞的位置x从1 cm变为2 cm，水面高度改变了－50 cm； f(8)＝12.5，f(10)＝10，则f(10)－f(8)＝10－12.5＝－2.5(cm)； 所以活塞的位置x从8 cm变为10 cm，水面高度改变了－2.5 cm； 因为＝＝－50，＝＝－1.25，且|－50|>|－1.25|， 故从1 cm变为2 cm，水面高度的变化较快． (3)因为＝＝＝－， 当Δx趋于0时，趋于－1， 所以当x＝10 cm时，水面高度y关于活塞位置x的瞬时变化率为－1. 知识 1.平均变化率.2.瞬时变化率.3.平均变化率与瞬时变化率的应用 方法 定义法、极限法 易错误区 对函数的平均变化率、瞬时变化率理解不到位 1．函数f(x)＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于(　　 ) A． B．1 C．2 D． 答案：C 解析：因为Δy＝f(2)－f(0)＝4，Δx＝2－0＝2，所以＝＝2，即函数f(x)＝x2在区间上的平均变化率为2.故选C. 2．已知函数f(x)＝x3，则用平均变化率估计f(x)在x＝1处的瞬时变化率为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：函数f(x)＝x3在[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝(Δx)2＋3Δx＋3，当Δx→0时，→3.故f(x)在x＝1处的瞬时变化率为3.故选C. 3．(多选题)下列函数在区间上的平均变化率是正数的有(　　 ) A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝ 答案：ABC 解析：对于A，＝1>0，故A正确；对于B，＝2.3>0，故B正确；对于C，＝3.99>0，故C正确；对于D，≈－0.77<0，故D错误．故选ABC. 4．一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则该质点在t＝1 s时的瞬时速度估计是________ m/s. 答案：2 解析：Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，所以＝＝2＋Δt，当Δt趋于0时，趋于2，故该质点在t＝1 s时的瞬时速度估计为2 m/s. 课时测评17　平均变化率　瞬时变化率 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．(2024·河北唐山高二期中)函数f(x)＝x2＋2C在区间上的平均变化率为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：＝＝1.故选A. 2．某物体做自由落体运动的位移s＝gt2，g＝9.8 m/s2，若＝24.5 m/s，则24.5 m/s是该物体(　　 ) A．从1 s到s这段时间的平均速度 B．从0 s到1 s这段时间的平均速度 C．在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D．在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度 答案：A 解析：因为s－s(1)表示从1 s到s这段时间内物体的位移，Δt为从1 s到s这段时间的增加量，所以表示从1 s到s这段时间的平均速度．故选A. 3．若函数f(x)＝x2－t，当1≤x≤m时，平均变化率为2，则m等于(　　 ) A．3 B． C．2 D．1 答案：D 解析：由题得＝＝＝m＋1＝2，所以m＝1.故选D. 4.(多选题)已知函数f(x)的图象如右图，则函数f(x)在区间[1，7]上的平均变化率情况正确的是(　　 ) A．在区间[1，2]上的平均变化率最小 B．在区间[2，3]上的平均变化率大于0 C．在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大 D．在区间[4，7]上的平均变化率最大 答案：BC 解析：函数f(x)在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间[4，7]上，<0，即函数f(x)在区间[4，7]上的平均变化率小于0；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时，>0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的最大．故选BC. 5．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝gt2(g为重力加速度)，该小球在t＝1到t＝3时的平均速度为，在t＝2时的瞬时速度为v2，则和v2的大小关系为(　　 ) A． >v2 B． <v2 C．＝v2 D．不能确定 答案：C 解析：平均速度为＝＝＝2g，＝＝＝gΔt＋2g，因为当Δt趋于0时，趋于2g，所以v2＝2g，所以＝v2.故选C. 6．(多选题)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　 ) A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70 答案：ABD 解析：该物体在1≤t≤3时的平均速度是＝＝28，故A正确；因为＝＝＝56＋7Δt.当Δt趋于0时，趋于56，所以物体在t＝4时的瞬时速度是56，故B正确；物体的最大位移是7×52＋8＝183，故C错误；因为＝＝＝70＋7Δt.当Δt趋于0时，趋于70，所以物体在t＝5时的瞬时速度是70，故D正确．故选ABD. 7.如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为________． 答案：－1 解析：依题意可得f(1)＝3，f(3)＝1，所以f(x)在[1，3]上的平均变化率＝＝＝－1. 8．函数y＝f(x)＝x2在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是________． 答案：k1>k2 解析：因为函数y＝f(x)＝x2，从x0到x0＋Δx的改变量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)－x＝Δx (2x0＋Δx)，所以k1＝＝2x0＋Δx.因为函数y＝f(x)＝x2从x0－Δx到x0的改变量为Δy＝f(x0)－f (x0－Δx)＝x－(x0－Δx)＝Δx (2x0－Δx)，所以k2＝＝2x0－Δx.所以k1－k2＝2Δx，而Δx>0，所以k1>k2. 9．设函数f(x)＝x，g(x)＝，h(x)＝x3，当自变量x从0变到1时，它们的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则m1，m2，m3之间的大小关系为____________(用“>”“<”“＝”连接)；三个函数中在x＝1处的瞬时变化率最大的是________． 答案：m1＝m2＝m3　h(x)＝x3 解析：由题意，m1＝＝1，m2＝＝1，m3＝＝1，故m1＝m2＝m3；根据瞬时变化率的概念，计算可得三个函数在x＝1处的瞬时变化率分别为1，，3，所以瞬时变化率最大的是h(x)＝x3. 10．(10分)已知二次函数f(x)＝x2－2x＋a. (1)判断f(0)与f(3)的大小；(4分) (2)判断f(x)在区间[0，1]与[1，3]上的平均变化率的大小．(6分) 解：(1)因为f(x)＝x2－2x＋a，所以f(0)＝a，f(3)＝3＋a，所以f(0)<f(3)． (2)f(x)在区间[0，1]上的平均变化率为＝f(1)－f(0)＝a－1－a＝－1， f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝2， 所以f(x)在区间[0，1]上的平均变化率小于在区间[1，3]上的平均变化率． (11－13每小题5分，共15分) 11．某公司的盈利y(元)与时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设>0(x1>x0≥0)恒成立，且＝10，＝1，则说明后10天与前10天比(　　 ) A．公司亏损且亏损幅度变大 B．公司的盈利增加，增加的幅度变大 C．公司亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利增加，增加的幅度变小 答案：D 解析：由>0(x1>x0≥0)恒成立，可知y＝f(x)单调递增，即盈利增加，又平均变化率＝10>＝1，说明盈利增加的幅度变小．故选D. 12．(多选题)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则下列说法正确的是(　　 ) A．前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝20 m B．在时间内球滚下的垂直距离的增量Δh＝12 m C．前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D．在时间内球在垂直方向上的平均速度为12 m/s 答案：BCD 解析：前3 s内，Δt＝3 s，Δh＝h(3)－h(0)＝24 m，此时球在垂直方向上的平均速度为＝＝8 m/s，故A错误；C正确；在时间内，Δt＝1 s，Δh＝h(3)－h(2)＝12 m，此时球在垂直方向上的平均速度为＝＝12 m/s，故B正确；D正确．故选BCD. 13．物体沿直线运动过程中，位移s与时间t的关系式是s(t)＝3t2＋t.我们计算在t＝2的附近区间[2，2＋Δt]内的平均速度vT123T＝＝___________ ____________________________________________， 当Δt趋近于0时，平均速度vT123T趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到t＝2时的瞬时速度大小为________． 答案：13＋3Δt　13 解析：由s(t)＝3t2＋t得vT123T＝＝＝13＋3Δt，当Δt趋近于0时，vT123T＝＝13＋3Δt→13. 14．(10分)已知气球的表面积S(单位：cm2)与半径r(单位：cm)之间的函数关系是S(r)＝4πr2. 求：(1)气球表面积S由10 cm2膨胀到20 cm2时的平均膨胀率，即气球膨胀过程中半径的改变量与表面积改变量的比值；(4分) (2)气球表面积S由30 cm2膨胀到40 cm2时的平均膨胀率．(6分) 解：由S(r)＝4πr2，r>0， 把r表示成表面积S的函数：r(S)＝ . (1)当S由10 cm2膨胀到20 cm2时，气球表面积的改变量ΔS＝20－10＝10(cm2)， 气球半径的改变量Δr＝r(20)－r(10) ＝(－)≈0.37(cm)． 所以气球的平均膨胀率为≈＝0.037. (2)当S由30 cm2膨胀到40 cm2时，气球半径的改变量Δr＝(－)≈0.24(cm)． 所以气球的平均膨胀率为≈＝0.024. 15.(5分)如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝分钟时的瞬时变化率为________分米/分钟．(注：π≈3.1) 答案：9 解析：由题意知，圆锥的轴截面为等边三角形，设经过t分钟后水面高度为h，则水面的半径为h，t分钟时，容器内水的体积为9.3t，因为9.3t＝π·h，所以h3＝27t，所以h＝3.因为＝ ＝ ＝，所以当Δt趋于0时，趋于9，即h(t)在t＝分钟时的瞬时变化率为9. 16．(15分)若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)： s＝ 求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；(3分) (2)物体的初速度v0；(5分) (3)物体在t＝1时的瞬时速度．(7分) 解：(1)因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3，5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在t∈[3，5]内的平均速度为＝＝24 m/s. (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝＝3Δt－18， 当Δt趋于0时，趋于－18， 所以物体在t＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s. (3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1时的瞬时变化率． 因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝3Δt－12， 当Δt趋于0时，趋于－12， 所以物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $$