1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

3．2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 知识层面 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及证明思路．　2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 素养层面 通过等比数列前n项和公式的应用，培养数学运算、逻辑推理的素养. 知识点一　等比数列的前n项和公式 问题1.若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示：思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为”错位相减法“． 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q，根据等比数列的性质，有＝＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化． 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决． 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数(a1，q和n) 首项、末项与公比(a1，an和q) 求和公式 Sn＝ Sn＝ [微提醒]　(1)等比数列前n项和公式及通项公式中共有五个量a1，q，an，n，Sn，这五个量可”知三求二“．(2)利用等比数列的前n项和公式求和时，要特别注意公比q的取值，应分q＝1和q≠1两种情况，如果其中含有参数不能确定时，必须进行分类讨论． 例1　 在等比数列{an}中． (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q； (4)(2024·北京顺义高二期中)若S3＋S6＝S9，求其公比q. 解：(1)由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝. (2)法一：由题意知解得 从而S5＝＝. 法二：由a4＋a6＝(a1＋a3)q3， 得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8， 从而S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128，且a1＋an＝66， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根． 从而或 又Sn＝＝126，所以q＝2或. (4)若q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，显然满足S3＋S6＝S9，所以q＝1符合题意； 若q≠1，则＋＝， 整理得(q6－1)(q3－1)＝0，解得q＝－1(q＝1舍去)． 综上，公比q的值等于1或－1. 学生用书↓第29页 [变式探究] (变条件)本例(4)中，若将条件改为”数列{an}是等比数列，且S3＝3a3“，求其公比q的值． 解：法一：当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题意； 当q≠1时，＝3a1q2，因为a1≠0， 所以1－q3＝3q2(1－q)， 解得q＝－.综上，q＝1或q＝－. 法二：由S3＝3a3可知a1＋a2＋a3＝3a3， 即a1＋a1q－2a1q2＝0. 由于a1≠0，则2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－. 等比数列前n项和运算的技巧 1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且”知三求二“，常常列方程组来解答． 2．对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn， 都可以看作一个整体． 注意：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 对点练1.(多选题)已知各项均为正数且单调递减的等比数列{an}满足a3，a4，2a5成等差数列，其前n项和为Sn，且S5＝31，则(　　 ) A．an＝ B．an＝2n＋1 C．Sn＝32－ D．Sn＝2n＋4－16 答案：AC 解析：由a3，a4，2a5成等差数列，得3a4＝a3＋2a5.设{an}的公比为q(0<q<1)，则2q2－3q＋1＝0，解得q＝或q＝1(舍去)，所以S5＝＝31，解得a1＝16.所以数列{an}的通项公式为an＝16·＝，Sn＝＝32－.故选AC. 知识点二　等比数列前n项和公式的函数特征 问题2.你能发现等比数列前n项和公式Sn＝(q≠1)的函数特征吗？ 提示：Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A. 1．Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A. (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 2．Sn＝＝－an＋. [微提醒]　等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． 例2　(一题多解)数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列． 解：法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式． 所以an＝ 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝Aqn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，1≠2，故{an}不是等比数列． [变式探究] 1．(变条件，变设问)若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝_____________________________________________. 答案： 解析：因为Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，所以3－2k＝0，即k＝. 2．(变条件，变设问)若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·＋5，则实数a＝_____________________________. 答案：－ 解析：由Sn＝a·＋5，可得Sn＝3a·＋5，依题意有3a＋5＝0，故a＝－. 学生用书↓第30页 1．已知Sn，通过an＝求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，需验证当n＝1时是否满足此式． 2．若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． 对点练2.若数列{an}的前n项和Sn＝tn－1(t∈R)，则此数列是(　　 ) A．等差数列 B．等比数列 C．等差数列或等比数列 D．以上说法均不对 答案：D 解析：当n＝1时，a1＝S1＝t－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝tn－tn－1＝tn－1(t－1)，当t＝1时，an＝0，所以{an}是等差数列；当t＝0时，{an}为非等差数列，非等比数列；当t≠1，且t≠0时，an＝tn－1(t－1)，所以{an}是等比数列．故选D. 应用一　利用an与Sn的关系判断等比数列 例3　(一题多解)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋ ，则{an}的通项公式是an＝________． 答案：(－2)n－1 解析：法一：当n＝1时，由Sn＝ an＋ ，得a1＝ a1＋ ，即a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝ an－ an－1，即an＝－2an－1，故数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，从而{an}的通项公式是an＝(－2)n－1. 法二：因为Sn＝ an＋ ，所以 ＝ ， ＝－ ，于是q＝－2，a1＝1，从而{an}的通项公式是an＝(－2)n－1. 法三：因为Sn＝ an＋ ，所以数列{an}是等比数列，由 得 所以公比q＝－2，所以{an}的通项公式an＝(－2)n－1. 解决Sn和an的关系的方法 1．法一：由an与Sn的关系式，结合an＝ 来求解． 2．法二：由an与Sn的关系式知数列{an}是等比数列，则Sn＝Aan＋B.A＝－ ，B＝ . 3．法三：由an与Sn的关系式知数列{an}是等比数列，赋值求解． 对点练3.(多选题)(2024·江苏镇江高二期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an＋1(n∈N＋)，则(　　) A．a1＝－1 B．S5＝－32 C．数列{an}是等比数列 D．数列的前n项和为2－2n＋1 答案：ACD 解析：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，所以a1＝－1，故A正确；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2(an－an－1)，所以an＝2an－1，即＝2，所以{an}是以a1＝－1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；所以an＝－1·2n－1＝－2n－1，Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误；因为Sn－1＝－2n，所以数列是首项为－2，公比为2的等比数列，则数列的前n项和为＝2－2n＋1，故D正确．故选ACD. 应用二　等比数列前n项和的实际应用 例4　新能源汽车技术的发展有着诸多的作用，它不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，还能够减轻对环境的污染．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换10 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，新车为电力型和混合动力型公交车．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆． (1)求经过n年，该市被更换的公交车总辆数S(n)(不必写出n的取值范围)； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值． 解：(1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的辆数， 依题意，数列{an}是首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，数列{bn}是首项为400，公差为a的等差数列， 故数列{an}的前n项和为＝256×， 数列{bn}的前n项和为400n＋a， 所以经过n年，该市被更换的公交车总辆数 S(n)＝256×＋400n＋a. (2)若计划7年内完成全部更换， 则S(7)≥10 000， 即256×＋400×7＋a≥10 000， 即21a≥3 082，解得a≥146， 又a∈N＋，所以a的最小值为147. 解答数列实际应用问题的方法 1．判断、建立数列模型 (1)变化”量“是同一个常数：等差数列； (2)变化”率“是同一个常数：等比数列． 2．提取基本量 从条件中提取相应数列的基本量a1，q(d)，n，an，Sn，列出方程(组)求解． 学生用书↓第31页 对点练4.一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 解：用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝an， 因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列． 热气球在前n分钟内上升的总高度 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125， 即这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 知识 1.等比数列前n项和公式的基本运算.2.等比数列前n项和公式的结构特点.3.等比数列前n项和公式的实际应用 方法 公式法、错位相减法 易错误区 等比数列前n项和公式中项数的判断易出错 1．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a4＋a5＝27，则{an}的前5项和为(　　 ) A．29 B． C．30 D． 答案：D 解析：设等比数列{an}的公比为q，则解得因此数列{an}的前5项和S5＝＝＝.故选D. 2．设Sn为等比数列{an}的前n项和且Sn＝3n＋1－A，则A＝(　　 ) A．－ B． C．－3 D．3 答案：D 解析：由Sn＝3n＋1－A＝3×3n－A，所以A＝3.故选D. 3．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A. B． C．15 D．40 答案：C 解析：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C. 4．某病毒研究所为了更好地研究某病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费．已知第一到第五实验室的设备费依次构成等比数列，且第一实验室的设备费为3万元，第三实验室的设备费为12万元，则该研究所改建这五个实验室投入的设备费总共为________万元． 答案：93 解析：设第n个实验室的设备费为an万元，各实验室的设备费构成的等比数列的公比为q，则q>0.由题意可得a1＝3，a3＝12，故a1q2＝12，解得q＝2，所以改建这五个实验室投入的设备费总共为＝＝93(万元)． 课时测评9　等比数列的前n项和公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　 ) A．－6 B． C．3 D．3 答案：C 解析：因为3an＋1＋an＝0，所以＝－，所以数列{an}是以－为公比的等比数列，因为a2＝－，所以a1＝4，由等比数列的求和公式可得S10＝＝3.故选C. 2.如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了n个正方形，设这n个正方形的面积之和为Sn，则S8＝(　　 ) A． B． C． D． 答案：C 解析：由题意知：从第2个正方形开始，之后每个正方形边长都是相邻的前一个的，则从第2个正方形开始，每个正方形面积都是相邻的前一个的，将各正方形面积依次排成一列，可得等比数列{an}，其首项a1＝1，公比q＝，所以S8＝＝2－＝2－＝.故选C. 3．若等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－2，则a2＝(　　 ) A．4 B．12 C．24 D．36 答案：B 解析：因为等比数列的前n项和为Sn＝a·3n－2，所以a＝2，所以a2＝S2－S1＝12.故选B. 4．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　 ) A．或5 B．或5 C． D． 答案：C 解析：由9S3＝S6，得q≠1，且＝，即1＋q3＝9，解得q＝2，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前5项和为＝.故选C. 5．(多选题)已知等比数列{an}是单调数列，设Sn是其前n项和，若a1＝243，a5＝3，则下列结论正确的是(　　 ) A．a3＝±27 B．an＝36－n C．Sn＝ D．a1a2…an＝a1a2…a11－n 答案：BD 解析：设等比数列{an}的公比为q，则有解得q＝或－，当q＝－时，数列{an}不是单调数列，所以q＝，所以a3＝a1q2＝27，故A错误；an＝a1qn－1＝35×＝36－n，故B正确；Sn＝＝＝，故C错误；a1a2…an＝35×34×…×36－n＝3，a1a2…a11－n＝35×34×…×3－5＋n＝3＝3，所以a1a2…an＝a1a2…a11－n成立，故D正确．故选BD. 6．(数学文化)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：”我羊食半马．“马主曰：”我马食半牛．“今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：”我羊所吃的禾苗只有马的一半．“马主人说：”我马所吃的禾苗只有牛的一半．“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？(　　 ) A． B． C． D． 答案：D 解析：5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得a1＝，所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝.故选D. 7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________． 答案：－2 解析：S3＋3S2＝a1＋a2＋a3＋3a1＋3a2＝4a1＋4a2＋a3＝a1(4＋4q＋q2)＝a1(2＋q)2＝0，故q＝－2. 8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________． 答案：2n－1 解析：设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝，所以＝＝＝2n－1. 9．等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n＝1，2，3，…)，则q的取值范围是________． 答案：(－1，0)∪(0，＋∞) 解析：因为数列{an}为等比数列，Sn＞0，所以a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝＞0，即＞0，所以或所以－1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1.综上，q的取值范围为(－1，0)∪(0，＋∞)． 10．(10分)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通项公式；(4分) (2)求{bn}的前n项和．(6分) 解：(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2. 所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列， 通项公式为an＝3n－1，n∈N＋. (2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得＝， 因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列． 设{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝＝－. (11－13每小题5分，共15分) 11．(2024·福建福安高二期中)设数列{an}满足an＋1＝－2an，a1＝1，数列的前n项和为Sn，则S2 024＝(　　 ) A．22 024－1 B．22 023－2 C．22 022－1 D．1－22 024 答案：A 解析：由an＋1＝－2an，可得＝－2，又a1＝1，所以an＝(－2)n－1，所以＝＝2n－1，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以S2 024＝＝22 024－1.故选A. 12．(多选题)已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列一定成立的是(　　 ) A．若a3>0，则a2 025<0 B．若a4>0，则a2 024>0 C．若a1＋a3>0，则S2 025>0 D．若a2＋a4<0，则S2 024<0 答案：BC 解析：设等比数列{an}的公比为q，当a3>0时，a2 025＝a3q2 022>0，故A不正确；当a4>0时，a2 024＝a4q2 020>0，故B正确；当a1＋a3>0时，即a1＋a1q2＝a1·>0，则a1>0，所以S2 025＝，由1－q与1－q2 025同号，所以S2 025>0，故C正确；当a2＋a4<0时，取数列{an}为1，－1，1，－1，…，则S2 024＝0，故D不正确．故选BC. 13．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为________． 答案：S3 解析：由题意知S1正确；若S4错误，则S2，S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12.a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65；若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12.所以q＝，所以S4＝＝＝65，符合题意． 14．(10分)设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N＋)均在直线y＝x＋上．若bn＝3an＋，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：依题意得＝n＋，即Sn＝n2＋n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝－＝2n－； 当n＝1时，a1＝S1＝，符合an＝2n－， 所以an＝2n－(n∈N＋)， 则bn＝3an＋＝32n， 由＝＝32＝9， 可知{bn}为公比为9的等比数列，b1＝32＝9， 故Tn＝＝. 15．(5分)有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(不含最底层正方体的下底面面积)超过34，则该塔形中正方体的个数至少是(　　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：B 解析：设从最底层开始的第n层的正方体棱长为an，a1＝2，a2＝×＝，a3＝×＝1，则{an}是以2为首项，以为公比的等比数列，所以是以4为首项，以为公比的等比数列．所以塔形几何体的表面积Sn＝4a＋4a＋4a＋…＋4a＋a＝4×＋4＝36－，令36－>34，解得n>4，所以该塔形几何体中正方体的个数至少为5个．故选B. 16．(15分)已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N＋. (1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；(9分) (2)求T2n.(6分) 解：(1)因为an·an＋1＝， 所以an＋1·an＋2＝， 所以＝，即an＋2＝an， 因为bn＝a2n＋a2n－1， 所以＝＝＝，所以{bn}是公比为的等比数列． 因为a1＝1，a1·a2＝，所以a2＝⇒b1＝a2＋a1＝，所以bn＝×＝. (2)由(1)可知，T2n＝a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n＝b1＋b2＋…＋bn＝＝3－. 学科网（北京）股份有限公司 $$