1.3.1 第2课时 等比数列的性质及实际应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

第2课时　等比数列的性质及实际应用 知识层面 1.掌握等比中项的概念并会应用．　2.熟悉等比数列的有关性质，并能利用性质简化运算．　3.理解等比数列的单调性与a1，q的关系．　4.掌握等比数列的实际应用问题. 素养层面 通过等比数列的性质的应用，培养数学运算素养；借助等比数列的判定，培养逻辑推理素养. 知识点一　等比中项 问题1.我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A＝.如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？ 提示：因为a，G，b成等比数列，所以＝＝q，即G＝±. 等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±．我们称G为a，b的等比中项． [微提醒]　(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列．(2)只有同号的两个实数才有等比中项．(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． 学生用书↓第26页 例1　 已知等比数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 解：设该等比数列的公比为q，首项为a1， 因为 所以 因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 所以上述两式相除，得q(1－q)＝， 所以q＝. 所以a1＝＝＝96. 若G是a5，a7的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×＝9， 所以G＝±3， 所以a5，a7的等比中项是±3. 等比中项应用的关注点 1．只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个． 2．已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算量． 3．要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零． 对点练1.(1)若3与13的等差中项是4与m的等比中项，则m＝(　　 ) A．12 B．16 C．8 D．20 (2)若a，b，c为实数，数列－1，a，b，c，－25是等比数列，则b的值为(　　 ) A．5 B．－5 C．±5 D．－13 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)3与13的等差中项为8，所以8是4与m的等比中项，所以82＝4m，解得m＝16.故选B. (2)设等比数列的公比为q，所以b＝(－1)·q2<0, 根据等比中项可知b2＝×＝25，解得b＝－5.故选B. 知识点二　等比数列的性质 问题2.类比等差数列与一次函数的关系，观察等比数列的通项公式与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示：由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 问题3.在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ 提示：在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq. 1．等比数列的函数性质 对于等比数列{an}，an＝a1qn－1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下： a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 {an}的单调性 递减 常数列 递增 递增 常数列 递减 2.等比数列的常用性质 性质1：通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)． 性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an． 性质3：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 例2　已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：(1)根据等比数列的性质及已知，得 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25， 因为an>0，所以a3＋a5>0， 所以a3＋a5＝5. (2)根据等比数列的性质，得 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. 学生用书↓第27页 [变式探究] 1．(变条件，变结论)在例2(1)中，添加条件a1a7＝4，求an. 解：由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4， 又由例2(1)知a3＋a5＝5， 解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1. 若a3＝1，a5＝4， 则q＝2，an＝2n－3； 若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25－n. 2．(变条件)把例2(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)· q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10) ＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300(a1a2a3…a10)3＝3300， 所以a1a2a3…a10＝1， 则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0. 利用等比数列的性质解题的关注点 1．判断等比数列的增减性时要结合等比数列的函数性质． 2．充分发挥项的”下标“的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． 对点练2.(1)已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则”q>1“是”数列{an}是递增数列“的(　　 ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)若等比数列中的a7，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 024＝(　　 ) A． B．1 011 C． D．1 012 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；当”数列{an}是递增数列“时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立；故”q>1“是”数列{an}是递增数列“的既不充分也不必要条件，故选D. (2)因为a7，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则a7a2 018＝3，又在等比数列中，a1a2 024＝a2a2 023＝…＝a7a2 018＝3，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 024＝log3(a1a2a3…a2 021a2 024)＝log331 012＝1 012.故选D. 等比数列的实际应用 例3　从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问： (1)第n次操作后溶液的体积分数是多少？ (2)当a＝2时至少应操作几次后才能使溶液的体积分数低于10%? 解：(1)由题意知开始时溶液的体积分数为1， 设第n次操作后溶液的体积分数为an，则第1次操作后溶液的体积分数为a1＝1－，第n＋1次操作后溶液的体积分数为an＋1＝an， 所以{an}是首项为a1＝1－，公比为q＝1－的等比数列， 所以an＝a1qn－1＝， 即第n次操作后溶液的体积分数是. (2)当a＝2时，由an＝＜，解得n≥4. 故至少操作4次后才能使溶液的体积分数低于10%. 等比数列应用题的关注点 1．常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等． 2．关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题． 3．步骤： 对点练3.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？(保留一位小数) 解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1，n∈N＋， 所以n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元． (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元． 知识 1.等比中项.2.等比数列的性质.3.等比数列的实际应用 方法 方程和函数思想、转化与化归思想 易错误区 不注重运用性质，使解题过程繁琐或者性质运用不正确而出错 学生用书↓第28页 1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 答案：D 解析：由于公比q＝－＜0，所以数列{an}是摆动数列．故选D. 2．－1与＋1的等差中项和等比中项分别是(　　 ) A．，± B．， C．，－ D．，±2 答案：A 解析：－1与＋1的等差中项是＝，－1与＋1的等比中项是± ＝±.故选A. 3．在等比数列{an}中，a3a9＝4a4，则a8＝(　　 ) A．16 B．8 C．4 D．2 答案：C 解析：由题意可知， a3a9＝a8a4＝4a4，因为a4≠0，所以a8＝4.故选C. 4．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 答案：2 048 解析：依题意知，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，则第10个正方形的面积S＝a＝[2×()9]2＝4×29＝2 048(平方厘米)． 课时测评8　等比数列的性质及实际应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．已知a＝5＋2，c＝5－2，则使得a，b，c成等比数列的充要条件的b值为(　　 ) A．1 B．±1 C．5 D．±2 答案：B 解析：若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，即b＝±＝±＝±1，当b＝±1时，满足b2＝ac，a，b，c成等比数列，故使得a，b，c成等比数列的充要条件的b值为±1.故选B. 2．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a5＋2a4a6＋a5a9＝8，则a3＋a7＝(　　 ) A．1 B． C．4 D．2 答案：D 解析：因为a1a5＋2a4a6＋a5a9＝8，所以a＋2a3a7＋a＝＝8，又等比数列{an}的各项均为正数，所以a3＋a7＝2.故选D. 3．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　　 ) A．9 B．3 C． D． 答案：A 解析：设等比数列{an}的公比为q，则由a3＝1，a2＋a4＝，得q＋＝，解得q＝或q＝3，且an>0，又{an}单调递减，故q＝，a1＝＝9.故选A. 4．通过测量知道，温度每降低6 ℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34 ℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26 ℃时，该元件的电子数目接近(　　 ) A．860个 B．1 730个 C．3 072个 D．3 900个 答案：C 解析：由题设知，该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且a1＝3，公比q＝2.由26－＝60，＝10，得a11＝3×210＝3 072.故选C. 5．(多选题)(2024·江苏南通高二期中)已知数列{an}为等比数列，则(　　 ) A．数列a2，a4，a8成等比数列 B．数列a1·a2，a3·a4，a5·a6成等比数列 C．数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列 D．数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列 答案：BD 解析：设等比数列{an}的公比为q，对于A，由等比数列的性质知＝q2，＝q4，当q≠±1时，q2≠q4，故A错误；对于B，可知数列a1·a2，a3·a4，a5·a6每项都不为0，且＝＝q4，故B正确；对于C，当数列{an}为1，－1，1，－1，1，…时，a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝0，故C错误；对于D，易知数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的每一项都不为0，且＝＝q3，故D正确．故选BD. 6．”十二平均律“是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　 ) A．f B．f C．f D．f 答案：D 解析：因为每一个单音与前一个单音的频率比为，所以第n个单音的频率an＝an－1(n≥2，n∈N＋)，又a1＝f，则a8＝a1q7＝f ()7＝f.故选D. 7．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝________． 答案：1 解析：法一：a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，所以a1＝，a5＝a1·24＝1. 法二：由等比数列的性质，知a＝a3a11＝16.又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4，a5＝＝＝1. 8．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是____________． 答案：45 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 即 整理得解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 9．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝_______________________________________. 答案：50 解析：a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，得a10a11＝e5，ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50. 10．(10分)王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6 000元，她计划以此作为启动资金进行理财投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1 000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续．设第n个月月底的投资市值为an元． (1)求证：数列{an－5 000}为等比数列；(4分) (2)如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅(商场标价为12 899元)，将一年后投资市值全部取出来是否足够？(1.211≈7.43，1.212≈8.92)(6分) 解：(1)证明：依题意，第1个月底的投资市值为 a1＝6 000(1＋20%)－1 000＝6 200， an＋1＝an(1＋20%)－1 000＝1.2an－1 000， 则＝＝1.2 ， 又a1－5 000＝1 200， 所以数列{an－5 000}是首项为1 200，公比为1.2的等比数列． (2)由(1)知an－5 000＝1 200×1.2n－1， 所以a12－5 000＝1 200×1.211≈8 916， 即a12≈8 916＋5 000＝13 916. 因为a12≈13 916>12 899， 所以王同学将一年后投资市值全部取出来是足够的． (11－13每小题5分，共15分) 11．(新定义)记等比数列{an}的前n项积为∏n，若a4·a5＝2，则∏8＝(　　 ) A．256 B．81 C．16 D．1 答案：C 解析：因为数列{an}为等比数列，且前n项积为∏n，所以a4·a5＝a3·a6＝a2·a7＝a1·a8＝2，所以∏8＝a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7·a8＝···＝24＝16.故选C. 12．(多选题)公比为q的等比数列{an}，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，满足a1＞1，a2 024·a2 025＞1，＜0，则下列结论正确的是(　　 ) A．Tn的最大值为T2 024 B．a2 024·a2 026＜1 C．Sn的最大值为S2 024 D．0＜q＜1 答案：ABD 解析：因为公比为q的等比数列{an}满足a1＞1，a2 024·a2 025＞1，＜0，所以a2 024＞1，0＜a2 025＜1，0＜q＜1，故当n＝2 024时，Tn取得最大值，故A正确，D正确；a2 024·a2 026＝a＜1，故B正确；因为数列{an}各项为正数，所以Sn没有最大值，故C错误．故选ABD. 13．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为______． a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 a10　a11　a12　a13　a14　a15　a16 a17　a18　a19　a20　a21　a22　a23　a24　a25 答案：275或8 解析：设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，an＝8，a92＝8. 14．(10分)某城市2017年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米．该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米，到2025年年底时，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式：(1＋x)8≈1＋8x，其中0＜x＜1) 解：设这个城市的人口年平均增长率为x(0＜x＜1)，则该城市2017年年底到2025年年底人口数量组成等比数列，记为{an}， 则a1＝100，公比q＝1＋x， 则2025年年底人口数量为a9＝a1q8＝100(1＋x)8. 2025年年底住房总面积为100×5＋8×245＝2 460(万平方米)． 由题意得＝24，即(1＋x)8＝， 因为(1＋x)8≈1＋8x(0＜x＜1)， 所以1＋8x≈，解得x≈0.003. 故该城市的人口年平均增长率约是0.003. 15．(5分)(多选题)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1>1，a5＋a6>a5a6＋1>2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项中不正确的是(　　 ) A．0<q<1 B．a6>1 C．T10>1 D．T11>1 答案：BD 解析：因为等比数列{an}的各项均为正数，a1>1，a5＋a6>a5a6＋1>2，所以(a5－1)(a6－1)<0，因为a1>1，若a5<1，则一定有a6<1，不符合不等式，故a5>1，a6<1，所以0<q<1.因为a5a6＋1>2，所以a5a6>1，T10＝a1a2a3…a10＝(a5a6)5>1，T11＝a<1，综上可知，A，C正确，B，D错误．故选BD. 16．(15分)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)，Sn为数列{an}的前n项和． (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)在an，an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由．(9分) 解：(1)当n≥2时，an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，所以an＋1＝3an， 又a2＝2S1＋1＝3＝3a1， 所以对n∈N＋，有an＋1＝3an， 故数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为an＝3n－1. (2)在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列． 理由如下： 由已知得dn＝＝＝， 假设在数列{dn}中存在dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则d＝dmdp， 即＝×，化简得＝， 又因为m，k，p成等差数列，所以m＋p＝2k， 故上式可以化简为(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)， 则k＝m＝p，与已知矛盾． 故在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$