1.3.1 第1课时 等比数列-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§3　等比数列 3．1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列 知识层面 1.通过实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法．　2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．　3.能解决与等比数列的通项公式有关的问题. 素养层面 通过对等比数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养；借助等比数列通项公式的简单应用，提升数学运算素养. 知识点一　等比数列的概念 问题1.观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98. (2)《庄子·杂篇·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂……，依次排成一列数：－，，－，，…； 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示：我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于(1)，我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)，＝，…；对于(3)，＝－，…；也有相同的取值规律(从第2项开始，后一项与它的前一项的比都等于同一个常数)． 等比数列的定义 文字语言 从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，这样的数列就叫作等比数列 符号语言 若＝q(n≥2，n∈N＋，q≠0)，则数列{an}为等比数列 学生用书↓第23页 [微提醒]　(1)等比数列定义的符号语言也可以表示为：＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋)．(2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”．(3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0. 例1　 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． (1)1，，，，，…； (2)10，10，10，10，10，…； (3)，，，，…； (4)1，0，1，0，1，0，…； (5)1，－4，16，－64，256，…. 解：(1)不是等比数列； (2)是等比数列，公比为1； (3)是等比数列，公比为； (4)不是等比数列； (5)是等比数列，公比为－4. 等比数列定义的理解 1．由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零． 2．要判定一个数列是否为等比数列，只需看的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒． 对点练1.以下数列中，哪些是等比数列？ (1)1，3，32，33，…，3n－1，…； (2)－1，1，2，4，8，…； (3)4，2，1，，，…； (4)a，－a，a，－a，…. 解：(1)记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. 因为＝＝3(n≥2，n∈N＋)，所以数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，则a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， 因为＝－1≠＝2，所以此数列不是等比数列． (3)根据等比数列的定义，是公比为的等比数列． (4)当a＝0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1. 知识点二　等比数列的通项公式 问题2.类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N＋且n≥2)． 法一：an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． 法二：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…，由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． 等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． [微提醒]　(1)用函数的观点看等比数列的通项：等比数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上的一群孤立的点．(2)等比数列通项公式的变形：an＝amqn－m(m，n∈N＋)． 例2　在等比数列{an}中： (1)已知a2＝4，a5＝－，求an； (2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，an＝64，求n； (3)(2023·全国乙卷改编)a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，求a7. 解：(1)法一：设等比数列的公比为q， 则解得 所以an＝a1qn－1＝(－8)×＝. 法二：设等比数列的公比为q，则＝q3， 即q3＝－，解得q＝－. 所以an＝a5qn－5＝×＝. (2)根据题意，有 方程两边分别相除，得＝. 整理得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝. 当q＝2时，a1＝1；当q＝时，a1＝－16(舍去)． 由an＝a1qn－1＝64，得2n－1＝64，解得n＝7. (3)设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0，则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1，因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8，则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2. 学生用书↓第24页 [变式探究] (变条件，变设问)本例(1)若改为等比数列{an}中，已知a2＝18，a4＝8，求q与a5. 解：由已知得 解得或 所以q＝±，a5＝a4q＝±. 关于等比数列基本量的运算 1．公式法：等比数列的通项公式an＝a1·qn－1中有四个量a1，q，n，an，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．一般来说，涉及列出方程组的问题，大多采用两式相比，消掉首项a1. 2．整体代换法：充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [占领思想高点]　基本量的计算主要是方程思想的应用，根据已知条件列出方程或者方程组，通过解方程或者方程组求出基本量，在解题中注意准确运用公式，注意公式运用的合理性和准确性． 对点练2.在等比数列{an}中，公比为q. (1)若a1＝－2，q＝－，求通项公式an； (2)若a1＝－5，a4＝40，求q并写出通项公式an； (3)若a1＝2，q＝，an＝，求项数n. 解：(1)因为a1＝－2，q＝－， 所以an＝a1qn－1＝－2×. (2)由题知，a4＝a1q3＝－5q3＝40， 解得q＝－2， 所以an＝a1qn－1＝－5×(－2)n－1. (3)由题可知，an＝a1qn－1＝2×＝， 即＝＝， 所以n－1＝4，所以n＝5. 等比数列的判定与证明 例3　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. (1)求证：数列{an＋n}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：因为an＋1＝2an＋n－1， 所以an＋1＋(n＋1)＝2an＋(n－1)＋(n＋1)， 即an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n)． 因为an＋n≠0， 所以＝2，且a1＋1＝2， 所以数列{an＋n}是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)知an＋n＝2·2n－1＝2n， 所以an＝2n－n. [变式探究] (变条件，变设问)本例已知变为：a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，求证：数列{an－n}是等比数列． 证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)， 又a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4， 所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列． 判断或证明数列为等比数列的常用方法 1．定义法：＝q(q为常数且q≠0)等价于数列{an}是等比数列． 2．通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)等价于数列{an}是等比数列． 学生用书↓第25页 对点练3. 已知数列{an}，{bn}满足a1＝9，an＋1＝10an＋9，bn＝an＋1. (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． 解：(1)证明：依题意知，＝＝＝＝10， 又b1＝a1＋1＝10， 所以数列{bn}是首项为10，公比为10的等比数列， (2)由(1)知bn＝b1qn－1＝10n. 知识 1.等比数列的概念及判断.2.等比数列的通项公式.3.利用定义判断或证明一个数列是等比数列 方法 方程(组)思想、构造法 易错误区 未考虑首项的非零及比值为非零常数 1．正项等比数列{an}满足a1＝2，a3＝8，则其通项公式an＝(　　 ) A．2n－1 B．2n C．2n＋1 D．2n＋2 答案：B 解析：因为{an}是正项等比数列，所以q>0，又因为a1＝2，a3＝8，所以q2＝＝4，故q＝2，所以an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n.故选B. 2．等比数列{an}中，a1＝1，a9＝256，则q＝(　　 ) A．2 B．－2 C．2或－2 D．4 答案：C 解析：由题意，可得a9＝a1q8＝q8＝256，解得q＝±2.故选C. 3．(多选题)下列说法正确的有(　　 ) A．等比数列中的项不能为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．22，42，62，82，…成等比数列 答案：AC 解析：A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；由于≠，故不是等比数列，所以D错误．故选AC. 4．若在1和256中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比q为____________． 答案：±4 解析：由条件可知，a1＝1，a5＝256，所以q4＝256，解得q＝±4. 课时测评7　等比数列 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．在等比数列{an}中，a3＝2，a6＝16，则数列{an}的公比是(　　 ) A．－2 B． C．2 D．4 答案：C 解析：设公比为q，由题意得q3＝＝8，解得q＝2.故选C. 2．设{an}是等比数列，且a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a4＋a5＝(　　 ) A．4 B．8 C．16 D．32 答案：B 解析：由题意可得，解得故a4＋a5＝a1q3(1＋q)＝×23×3＝8.故选B. 3．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4等于(　　 ) A．108 B．54 C．36 D．18 答案：B 解析：因为an＋1＝3an且an≠0，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54.故选B. 4．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　 ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝3，ac＝－9 C．b＝－3，ac＝9 D．b＝－3，ac＝－9 答案：C 解析：因为b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号，所以ac＝b2＝9.故选C. 5．(新角度)音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得(　　 ) A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列 C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列 答案：A 解析：设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．故选A. 6．(多选题)(2024·湖北武汉高二期末)已知数列{an}是等比数列，下列结论正确的有(　　 ) A．若a2 025>0，则a1a2>0 B．若a1a2>0，则a2a3>0 C．若a2>a1>0，则a1＋a3>2a2 D．若a1a2<0，则<0 答案：BC 解析：设等比数列{an}的公比为q，对于A，a2 025＝a1q2 024>0，有q>0或q<0，当q<0时，a1a2＝aq<0，故A不正确；对于B，a1a2＝aq>0，即q>0，则a2a3＝aq3>0，故B正确；对于C，由a2>a1>0，即a1q>a1>0，得a1>0，q>1，则a1＋a3－2a2＝a1(1－q)2>0，故C正确；对于D，因为a1a2<0，则q<0，(a2－a1)(a2－a3)＝a1(q－1)·a2(1－q)＝－a1a2(q－1)2>0，故D不正确．故选BC. 7．已知等比数列{an}满足：a1＝27，a9＝，a2a3<0，则公比q＝________． 答案：－ 解析：设等比数列的公比为q，则a9＝a1q8，即＝27q8，解得q＝±，又a2a3＝aq3<0，所以q<0，所以q＝－. 8．(易错点)在等比数列a，2a＋2，3a＋3，…中，a＝________． 答案：－4 解析：由题意，得＝a，解得a＝－4或a＝－1，当a＝－1时，2a＋2＝0，3a＋3＝0，不满足条件．当a＝－4时，等比数列为－4，－6，－9，…，满足条件． 9．三个数成等比数列，公比q>1，三个数的积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，则这三个数分别为________． 答案：4，8，16 解析：设这三个数依次为，a，aq，因为·a·aq＝512，所以a＝8，因为＋(aq－2)＝2a，所以2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝(舍去)．所以这三个数分别为4，8，16. 10．(10分)已知数列{an}，{bn}满足：a1＝1，b1＝0，4bn＋1＝an＋4＋3bn，4an＋1＝3an＋4＋bn，证明数列{an＋bn}是等差数列，数列{an－bn}为等比数列． 证明：将4an＋1＝3an＋4＋bn，4bn＋1＝an＋4＋3bn两式相加得 4(an＋1＋bn＋1)＝4(an＋bn)＋8， 所以(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝2， 所以数列{an＋bn}是以2为公差的等差数列． 将4an＋1＝3an＋4＋bn，4bn＋1＝an＋4＋3bn两式相减得4(an＋1－bn＋1)＝2(an－bn)， 因为a1－b1＝1≠0， 所以＝， 所以数列{an－bn}是以为公比的等比数列． (11－13每小题5分，共15分) 11．等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，则q等于(　　 ) A．－ B． C．－ D． 答案：C 解析：因为{an}中的项必然有正有负，所以q<0.又|q|>1，所以q<－1.由此可得{an}的连续四项为－24，36，－54，81.所以q＝－.故选C. 12．(多选题)若数列{an}对任意n≥2(n∈N＋)满足(an－an－1－1)(an－2an－1)＝0，则下列关于数列{an}的命题正确的是(　　 ) A．{an}可以是等差数列 B．{an}可以是等比数列 C．{an}可以既是等差又是等比数列 D．{an}可以既不是等差又不是等比数列 答案：ABD 解析：因为＝0，故可得an＝an－1＋1或an＝2an－1；若an＝an－1＋1，则数列{an}是等差数列；若an＝2an－1，且an≠0，则数列{an}是等比数列；若an＝2an－1，且an＝0，则数列{an}是等差数列；故A，B正确；由＝0，得不出数列{an}是非零常数列，故不可以既是等差又是等比数列，故C错误；数列{an}可以既不是等差数列又不是等比数列，例如：0，1，2，4，8，16，32，…，满足题意，故D正确．故选ABD. 13．(新设问)(2024·北京丰台高二期中)等比数列{an}满足如下条件：①a1>0；②{an}单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式an＝________． 答案：2n(答案不唯一) 解析：满足上述所有条件的一个数列的通项公式an＝2n. 14．(10分)(新设问)在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________，求数列{an}，{bn}的通项公式． 解：选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋5d＝6a1d， 联立解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 联立解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件③： 因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋7d＝8a1d， 联立解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1qn－1＝2n－1. 15．(5分)在表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为________． 1 2 0.5 1 a b c 答案：1 解析：因为每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，所以根据第三列，得2×a＝12，可得a＝.在第一列中，公比q＝，第3个数为＝，第4个数为＝，第三列中，公比q＝，第4个数为2×＝，所以第四行中的公差d＝×＝，所以第四行中第4个数b＝＋＝，同理c＝，所以a＋b＋c＝＋＋＝1. 16．(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝，S4＝2a3＋a5，等比数列{bn}各项均为正数，b1＝，2b2＋b3＝b4. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(6分) (2)求使得bn>2an的n的最小值．(9分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由a2＝，可得a1＋d＝　①， 由S4＝2a3＋a5，可得a1－2d＝0　②， 由①②得a1＝1，d＝，故an＝1＋(n－1)×＝n＋. 设等比数列{bn}的公比为q，由2b2＋b3＝b4，可得2q＋q2＝q3，故q＝2，bn＝2n－3. (2)若bn>2an，即2n－3>2×＝n＋1， 当n＝1时，<2，当n＝2时，<3，当n＝3时，1<4，当n＝4时，2<5，当n＝5时，4<6，当n＝6时，8>7，所以n的最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $$