1.1.1 数列的概念-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§1　数列的概念及其函数特性 1．1　数列的概念 知识 层面 1.了解数列及其有关概念．　2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项．　3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式. 素养 层面 通过对数列有关概念的学习，培养数学抽象素养；借助通项公式的确定与应用，提升数学运算素养. 知识点一　数列的概念与分类 问题1.观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； (2)战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； (3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 024，2 024，…，2 024； (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； (5)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…. 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：(1)(3)项数有限，(2)(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化． 1．数列的概念 (1)按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． (2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项． 2．数列的分类 项数有限的数列，称为有穷数列；项数无限的数列，称为无穷数列． [微提醒]　(1)数列概念中“按一定次序排列”是关键，数字相同，排列顺序不同的两列数不是同一数列． (2)有穷数列与无穷数列的分类标准是数列项数是有限还是无限． 例1　 下列说法正确的是(　　) A．数列1，2，3，4，5，6与数列1，2，5，6，3，4是同一个数列 B．数列1，2，3，4，5，6可以表示为{1，2，3，4，5，6} C．0，2，4，6，8，…，2n是无穷数列 D．1，1，1，1，1，…是一个数列 答案：D 解析：两个数列只有元素相同，排列顺序也相同时，才是同一个数列，故A不正确；数列与集合不同，数列不能表示成集合的形式，故B不正确；当n确定后，数列0，2，4，6，8，…，2n的项数就确定了，所以该数列是有穷数列，故C错误；根据数列定义知D正确．故选D. 学生用书↓第2页 数列概念的三个注意点 1．数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别． 2．如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列． 3．同一个数在数列中可以重复出现． 对点练1.下列说法正确的是(　　) A．－4，5，2，， 不是数列 B．数列{an}的前4项为1，2，3，4，则第5项一定是5 C．－1，1，3，5，…是数列 D．数列0，2，4，6，8，…是有穷数列 答案：C 解析：对于A，－4，5，2，，是数列；对于B，数列的第5项不一定为5；对于D，数列应为无穷数列；根据数列定义C显然正确．故选C. 知识点二　数列的通项公式 问题2.观察下面的数列，能否用一个式子表示数列中的每一项？这个式子是什么？ (1)1，2，3，4，5，…； (2) 2，4，6，8，10，…； (3)，，，，，…. 提示：能．(1)an＝n，n∈N＋；(2)an＝2n，n∈N＋；(3)an＝，n∈N＋. 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数． [微提醒]　(1)不是所有的数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，形式也不一定是唯一的．(2)数列通项公式的作用：①求数列中的任意一项；②判断某数是不是该数列中的项． 例2　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－1，，－，； (2)，2，，8； (3)0，1，0，1； (4)9，99，999，9 999. 解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1， 所以通项公式可以写成an＝也可以写成an＝(n∈N＋) 或an＝(n∈N＋)． (4)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n， 可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋. [变式探究] 根据本例中的第(4)题，试解决以下2个问题： 1．(变条件)试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式． 解：由本例的第(4)题可知，每一项除以9即可，即an＝(10n－1)，n∈N＋. 2．(变条件)试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式． 解：由本例的第(4)题可知，每一项乘即可，即an＝(10n－1)，n∈N＋. 学生用书↓第3页 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 1．先统一项的结构，如都化成分数、根式等． 2．分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． 3．对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． 4．对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． [占领思想高点]　根据数列的前几项求通项公式体现了化归思想与归纳思想． 对点练2. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－，，－，； (2)，，，； (3)，3, ， ，3，…. 解：(1)这个数列前4项的绝对值的分母都是序号乘以比序号大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (3) 数列可化为，，， ， ，…， 即， ， ， ， ，…. 每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1， 所以它的一个通项公式为an＝＝，n∈N＋. 数列通项公式的应用 例3　 已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋. (1)求a10； (2)是不是这个数列中的项？ (3)这个数列中有多少项是整数？ (4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由． 解：(1)a10＝＝. (2)令＝，得n＝100，故是这个数列中的项． (3)易知an＝1＋，若an是整数，则n＝1，2，3，6，故这个数列中共有4项是整数． (4)令＝n，得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍去)． 故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3. 通项公式应用的常见题型及其解法 1．由通项公式写出数列的某项．就是把n的值代入通项公式进行计算，相当于函数中，已知函数解析式和自变量求函数值． 2．判断一个数是否为该数列中的项．由an等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项． [占领思想高点]　在数列通项公式应用中充分体现了方程思想． 对点练3.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)． (1)判断0和1是不是数列{an}中的项，若是，指出是第几项；若不是，请说明理由； (2)判断数列{an}中是否存在连续且相等的两项，若存在，指出分别是第几项；若不存在，请说明理由． 解：(1)令an＝0，得n2－21n＝0， 所以n＝21或n＝0(舍去)， 所以0是数列{an}中的项，且是第21项． 令an＝1，得＝1，该方程无正整数解， 所以1不是数列{an}中的项． (2)假设存在连续且相等的两项am，am＋1，m∈N＋， 则有am＝am＋1， 即＝，解得m＝10， 所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项． 知识 1.数列及其有关的概念.2.数列的分类.3.数列的通项公式及应用 方法 观察、归纳、猜想 易错 误区 归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系 学生用书↓第4页 1．下列说法中，正确的是(　　 ) A．数列的通项公式唯一 B．1，－1，1，－1，1，－1，…是有穷数列 C．数列中的项可以相等 D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 答案：C 解析：对于A，一个数列可以有多个通项公式，故A错误；对于B，数列1，－1，1，－1，1，－1，…是无穷数列，故B错误；对于D，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；对于C，数列中的项可以相等，故C正确． 2．(多选题)下列说法正确的是(　　 ) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．若数列的首项为3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 D．a，－3，－1，1，b，5，7一定能构成数列 答案： AC 解析：根据数列的相关概念，易知第一项即首项为4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；由无穷数列的概念，易知C正确；因为数列是按一定次序排列的一列数，若a，b都代表数时构成数列，若a，b中至少有一个不代表数时不能构成数列，故D错误．故选AC. 3．数列1，31，52，73，…的第n项为(　　 ) A．(n＋1)n B．(2n＋1)n－1 C．(2n－1)n D．(2n－1)n－1 答案：D 解析：底数1，3，5，7，…，第n项的底数为2n－1，指数0，1，2，3，…，第n项的指数为n－1，所以数列1，31，52，73，…的第n项为(2n－1)n－1.故选D. 4．在数列{an}中，an＝(－1)n(2n－1)(n∈N，n≥1)，则a9＝______． 答案：－17 解析：因为an＝(－1)n(2n－1)(n∈N，n≥1)，所以a9＝－(2×9－1)＝－17. 课时测评1　数列的概念 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．若数列的通项公式为an＝则a2·a3等于(　　 ) A．70 B．28 C．20 D．8 答案：C 解析：由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.故选C. 2．(多选题)下列说法不正确的是(　　 ) A．数列1，3，5，7，…，2n－1可以表示为1，3，5，7，… B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为1＋ D．数列0，2，4，6，8…可记为{2n} 答案：ABD 解析：A选项，数列1，3，5，7，…，2n－1和数列1，3，5，7，…，前者是有限项，后者是无限项，所以两个数列不一样，A选项错误．B选项，数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1的项的顺序不相同，所以不是相同数列，B选项错误．C选项，＝1＋，所以数列的第k项为1＋，C选项正确．D选项，数列0，2，4，6，8，…可记为，所以D选项错误．故选ABD. 3．数列，，，，，…的一个通项公式为(　　 ) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 答案：A 解析：因为＝，＝，＝＝，＝，＝，…，所以该数列的一个通项公式为an＝.故选A. 4．已知数列，3，，…，，…，那么9在此数列中的项数是(　　 ) A．12 B．13 C．14 D．15 答案：C 解析：易知数列的通项公式为an＝，令＝9，解得n＝14.故选C. 5．(新情境)如图①所示是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　 ) A．an＝n，n∈N＋ B．an＝，n∈N＋ C．an＝，n∈N＋ D．an＝n2，n∈N＋ 答案：C 解析：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，….故选C. 6．下列不可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是(　　 ) A．an＝ B．an＝sin2 C．an＝ D．an＝|sin nπ| 答案：D 解析：对于A，an＝，当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝0，满足题意；对于B，an＝sin2，当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝0，满足题意；对于C，an＝，当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝0，满足题意；对于D，an＝|sin nπ|，当n为奇数时，an＝0；当n为偶数时，an＝0，不满足题意．故选D. 7．若数列{an}的通项公式为an＝，则 －3是此数列的第________项． 答案：9 解析：令＝－3，即－＝－3＝－，所以n＝9. 8．已知数列{an}的通项公式是an＝则a3＋＝________． 答案： 解析：a3＝2－3＝，a4＝＝，所以＝，所以a3＋＝. 9．(10分)根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式： (1)－3，0，3，6，9，…；(3分) (2)2，0，2，0，2，0，…；(3分) (3)，，－，，－，，….(4分) 解：(1)a1＝－3＋0×3，a2＝－3＋1×3，a3＝－3＋2×3，a4＝－3＋3×3，…， 所以an＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N＋)． (2)a1＝1＋1，a2＝1－1，a3＝1＋1，a4＝1－1，…， 所以an＝1＋(－1)n－1(n∈N＋)． (3)a1＝－，a2＝，a3＝－，a4＝，…， 所以an＝(－1)n(n∈N＋)． 10．(10分)已知数列{an}的通项公式为an＝4n－1. (1)2 023，2 025是数列{an}的第几项？(3分) (2)135，4m＋19(m∈N＋)是数列{an}中的项吗？为什么？(3分) (3)若am，at(m，t∈N＋)是数列{an}中的项，那么2am＋3at是数列{an}中的项吗？请说明理由．(4分) 解：(1)令4n－1＝2 023，则4n＝2 024， 所以n＝506. 即2 023是数列{an}中的第506项． 令4n－1＝2 025，则4n＝2 026， 所以n＝506. 即2 025不是数列{an}中的项． (2)令an＝4n－1＝135，得n＝34， 所以135是数列{an}中的第34项； 因为4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N＋， 所以4m＋19是数列{an}中的第(m＋5)项． (3)因为am，at是数列{an}中的项， 所以am＝4m－1，at＝4t－1， 所以2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1)＝4(2m＋3t－1)－1， 因为(2m＋3t－1)∈N＋， 所以2am＋3at是数列{an}中的第(2m＋3t－1)项． (11－13每小题5分，共15分) 11．数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式是an＝(　　 ) A． B． C． D． 答案：C 解析：数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式是bn＝10n－1，则数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的一个通项公式是cn＝×＝1－，则数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式是an＝.故选C. 12．(新情境)(多选题)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则(　　 ) A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是182 C．此数列的通项公式为an＝ D．84不是此数列中的项 答案：AC 解析：观察此数列，n为偶数时，an＝；n为奇数时，an＝，所以此数列的通项公式为an＝故C正确；a20＝＝200，故A正确；a19＝＝180，故B错误；a13＝＝84，故84是此数列的第13项，故D错误．故选AC. 13．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝－，n∈N＋，则a2 024＝________． 答案：－ 解析：根据题干表达式得，a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，a5＝－＝－，a6＝－＝－2，a7＝－＝1，…，所以数列具有周期性，周期为3，又2 024＝3×674＋2，故a2 024＝－. 14．(10分)已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋2)： (1)求这个数列的第10项、第15项及第21项；(4分) (2)判断440是不是这个数列中的项，222呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．(6分) 解：(1)由题可知，数列{an}的通项公式为an＝n(n＋2)， 则数列的第10项为：a10＝10×＝10×12＝120， 第15项为：a15＝15×＝15×17＝255， 第21项为：a21＝21×＝21×23＝483. (2)令an＝440＝n(n＋2)，解得：n＝20， 所以440是这个数列中的项，是第20项； 令an＝222＝n(n＋2)，解得：n＝－1，不是整数， 故222不是这个数列中的项． 15．(5分)(新设问)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1，4，9，16，…这样的数称为正方形数．写出一个既是三角形数又是正方形数的数________．(答案不唯一，写出一个即可) 答案：1 225(答案不唯一) 解析：由图形可得三角形数构成的数列的通项公式为an＝，同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2，因为1 225＝352＝，故1 225既是三角形数又是正方形数(答案不唯一)． 16．(10分)已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)判断是不是数列{an}中的项；(3分) (2)判断数列{an}中的项是否都在区间(0，1)内；(3分) (3)判断在区间内有没有数列{an}中的项．(4分) 解： (1)因为an＝＝＝， 所以由an＝＝，解得n＝. 因为不是正整数，所以不是数列{an}中的项． (2)因为an＝＝＝1－，n∈N＋， 0<<1，所以0<an<1， 所以数列{an}中的项都在区间(0，1)内． (3)令<an<，即<<，则解得<n<. 又n∈N＋，所以n＝2. 故在区间内有数列{an}中的项，且只有一项，是第2项，即a2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$