第一章 数列 章末综合提升-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

章末综合提升 　 第一章　数列 概念梳理 构建体系 1 分层探究 提升能力 2 教考衔接 明确考向 3 内容索引 章末检测卷 4 概念梳理 构建体系 返回 返回 分层探究 提升能力 返回 探究点一　等差与等比数列的基本运算 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； 例1 解得a2＝2. 即2q2－5q＋2＝0， 所以q＝2，所以a1＝1. 故数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由于bn＝ln a3n＋1，n＝1，2，…， 由(1)得a3n＋1＝23n， 所以bn＝ln 23n＝3nln 2. 又bn＋1－bn＝3ln 2，所以{bn}是等差数列， 规律方法 在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量． 对点练1. 已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn. (1)若1，a1，a3成等比数列，求a1； (2)在(1)的条件下，若a1＞0，求Sn. 解：因为a1＞0，所以a1＝2， 探究点二　等差、等比数列的判定 已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 例2 解：证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1， 得an＋1＝Sn＋1－Sn＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0且λ≠1，得an≠0， 解得λ＝－1. 规律方法 判定一个数列是等差或等比数列的方法 定义法 an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列 ＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列 中项公式法 2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列 ＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0)⇔{an}是等比数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列 an＝cqn(c，q均为非零常数)⇔{an}是等比数列 前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列 Sn＝kqn－k(k为常数，且q≠0，k≠0，q≠1)⇔{an}是等比数列 解：证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1， (2)求数列{an}的通项公式． 探究点三　数列求和 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－n＝2an. (1)求{an}的通项公式； 例3 解：由Sn－n＝2an得Sn＋1－(n＋1)＝2an＋1，两式相减得an＋1－1＝2an＋1－2an， 即an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2 (an－1)， 当n＝1时，S1－1＝2a1，则a1＝－1，a1－1＝－2， 所以数列{an－1}是以－2为首项，2为公比的等比数列． 所以an－1＝－2n，所以an＝－2n＋1. 规律方法 数列求和的常用解法 1．错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn. 2．裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列． 规律方法 3．拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和． 4．并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数(是奇数还是偶数)的讨论． 对点练3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝2a3，S4＝2a4＋4. (1)求数列{an}的通项公式； 解得a1＝d＝2，所以an＝2n. 探究点四　数列的实际应用 治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%. (1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数n(n∈N＋)的表达式； 例4 解：设治理n年后，S市的年垃圾排放量构成数列{an}． 当n≤5时，{an}是首项为a1＝200－20＝180，公差为－20的等差数列， 所以an＝a1＋(n－1)d＝180－20(n－1)＝200－20n； (2)设An为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由． 由(1)知，当1≤n≤5时，an＝200－20n，所以{an}为递减数列， 于是an＋1－a1<0，an＋1－a2<0，…，an＋1－an<0，因此An＋1－An<0，所以数列{An}为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的． 规律方法 应用数列知识解决实际问题的一般思路 1．建模．根据题设条件，建立数列模型： (1)分析实际问题的结构特征； (2)找出所含元素的数量关系； (3)确定为何种数列模型． 2．解模．利用相关的数列知识加以解决： (1)分清首项、公差(公比)、项数等； (2)分清是求an还是求Sn； (3)选用适当的方法求解． 3．还原．把数学问题的解代回实际问题中，根据实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解． 对点练4.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，2023年投入资金1 000万元，以后每年投入比上年减少10%.预测显示，2023年当地旅游业收入为300万元，以后每年收入比上年增加 20万元．根据预测，解答以下问题： (1)从 2023年至2032年，该地十年的旅游业收入共计多少万元？ 解：以 2023年为第1年，设第n年旅游业收入为 an万元，则数列{an}是以300为首项，20为公差的等差数列，设其前n项和为An， 故an＝300＋20 (n－1)＝20n＋280， 所以A10＝10×102＋290×10＝3 900. 因此从2023年至2032年，该地十年的旅游业收入共计3 900万元． (2)从哪一年起该地的旅游业总收入将首次超过总投入？ (参考数据：0.95≈0.531，0.97≈0.478，0.98≈0.430，0.918≈0.150 09，0.919≈0.135 09) 解：以2023年为第1年，设第n年投入资金为bn万元，则数列{bn}是以 1 000为首项，0.9为公比的等比数列，设其前n项和为Bn，故bn＝1 000·0.9n－1， 将收入与投入的前n项和作差构造新数列， 再结合数列的单调性求解． 则题目转化为求使An>Bn的正整数n的最小值． 设cn＝An－Bn＝10n2＋290n－10 000(1－0.9n)， 则cn＋1－cn＝an＋1－bn＋1＝300＋20n－1 000·0.9n， 令f (n)＝300＋20n－1 000·0.9n(n∈N＋)， 则f (n)单调递增，且 f (7)<0，f (8)>0， 故 c1>c2>…>c8，c8<c9<c10<…， 又c1＝－700<0，c18≈－39.1<0，c19≈470.9>0， 因此该地从2041年起旅游业总收入将首次超过总投入． 返回 教考衔接 明确考向 返回 (2024·全国甲卷理)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝ 真题 1 √ (2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝____． 真题 2 95 设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3 (a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95. (2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3. (1)求{an}的通项公式； 真题 3 解：因为2Sn＝3an＋1－3， 所以2Sn＋1＝3an＋2－3， 两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1， 因为2S1＝2a1＝3a2－3＝5a1－3， (2)求数列{Sn}的前n项和． (1)求{an}的通项公式； 真题 4 整理得(n－1)an＝(n＋1)an－1， 显然对于n＝1也成立， (2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn ＝ ，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； 真题 5 解：因为3a2＝3a1＋a3，所以3d＝a1＋2d，解得a1＝d， 所以S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d， 所以an＝a1＋(n－1)·d＝3n. (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解：因为{bn}为等差数列， 因为d>1，所以an>0， 又S99－T99＝99，由等差数列性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1， 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d>1矛盾，舍去； (2023·新课标Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝ 记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； 真题 6 则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n＋3. (2)证明：当n>5时，Tn>Sn. 当n为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1， 所以当n>5时，Tn>Sn. 所以当n>5时，Tn>Sn. 返回 章末检测卷 返回 11．正项等比数列{an}中，a2a5＝100，则lg a3＋lg a4＝ A．－1 B．1 C．2 D．0 等比数列{an}中，a2a5＝100，由等比数列的基本性质可得a3a4＝a2a5＝100，因此，lga3＋lga4＝lg (a3a4)＝lg100＝2.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A．2 B．4 C．6 D．8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：Sm<Sm＋2<Sm＋1，若Sn>0，则n的最大值为 A．2m B．2m＋1 C．2m＋2 D．2m＋3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 a2 a3 a4 a5 a6 a7 128 a9 a10 a11 a12 a13 a14 240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6．已知函数f (x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f (xy)＝f (x)＋f (y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f (Sn＋2)－f (an)＝f (3)(n∈N＋), 则an＝ A．2n－1 B．N C．2n－1 D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即此数列第1项是20，接下来2项是20，21，再接下来3项是20，21，22，…，设Sn是数列的前n项和，则S2 020＝ A．264－50 B．263－50 C．264－26 D．263－26 √ 分组：第1组有1项为20；第2组有2项，为20，21；…；第k组有k项，为20，21，…，2k－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A．(－1，3) B．[－1，3] C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9．等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是 A．d>0 B．a1<0 C．当n＝5时Sn最小 D．Sn>0时n的最小值为8 √ √ √ 由题意，设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d，又由等差数列{an}是递增数列，可知d>0，则a1<0，故A，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．已知数列{an}的首项为4，且满足2(n＋1) an－nan＋1＝0(n∈N＋)，则 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．设数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数A，使得对于任意的n∈N＋ ，都有<A，则称数列{an}为“T数列”．则以下数列{an}为“T数列”的是 A. {an}是等差数列，且a1>0，公差d<0 B. {an}是等比数列，且公比q满足|q|<1 √ √ D．a1＝1，an＋2＋(－1) n an＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12．(2024·浙江温州高二期末)写出一个具有下列性质①②的数列{an}的通项公式an＝_______________，①am＋n＝am＋an (m，n∈N＋)；②{an}单调 递增． n(答案不唯一) 假设数列为等差数列，设其公差为d，由性质①可得a1＋ (m＋n－1)d＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d⇒a1＝d，再根据②可知d>0，显然an＝n满足题意. (答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13．已知各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋2－6，则数列{an}的通项公式是____________． an＝3×2n－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 048 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 n∈N＋)，③Sn＝n2－2n＋2(n∈N＋)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，______． (1)求数列{an}的通项公式；(5分) 解：选择条件①： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以(an＋3) (an－an－1－3)＝0， 又a1＝1，所以an－an－1－3＝0， 即an－an－1＝3(n≥2)， 所以{an}是首项为1，公差为3的等差数列，则an＝1＋3(n－1)＝3n－2； 选择条件②： 选择条件③： 由Sn＝n2－2n＋2， 可得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n＋2)－(n2－4n＋5)＝2n－3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)对大于1的自然数n，是否存在大于2的自然数m，使得a1，an，am成等比数列？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．(8分) 即m＝3n2－4n＋2， 因为n∈N＋，且n>1，m>2且m∈N＋， 所以当n＝2时，mmin＝6. 所以存在大于2的自然数m，使得a1，an，am成等比数列，m的最小值为6； 解：假设存在满足题意的自然数m，使得a1，an，am成等比数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 假设存在满足题意的自然数m，使得a1，an，am成等比数列， 即m＝3n2－4n＋2. 因为n∈N＋且n>1，m>2且m∈N＋， 所以当n＝2时，mmin＝6. 所以存在大于2的自然数m，使得a1，an，am成等比数列，m的最小值为6； 选择条件②： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 假设存在满足题意的自然数m，使得a1，an，am成等比数列， 因为n∈N＋且n>1，m>2且m∈N＋，所以当n＝3时，mmin＝6. 所以存在大于2的自然数m，使得a1，an，am成等比数列，m的最小值为6. 选择条件③： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(15分)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换万辆燃油型公交车．每更换一辆新车，就淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．设Sn，Tn分别为从今年起n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量． (1)求Sn，Tn，并求从今年起n年里投入的所有新公交车的总数量Fn；(6分) 解：设从今年起每年投入的电力型车、混合动力型车的数量分别依次构成数列{an}，{bn}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．(9分) 解：因为Sn，Tn均随着n的增加而增加， 所以Fn也随着n的增加而增加，所以F7≥10 000， 又a∈N＋，所以a的最小值为147. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)设数列{an}满足a1＝5，2an＋1＝an＋2n＋7. (1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并用数学归纳法加以证明；(6分) 猜想an＝2n＋3. 当n＝1时，a1＝2×1＋3＝5成立， 假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝2k＋3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ＝2k＋5＝2 (k＋1)＋3，猜想成立， 所以an＝2n＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)已知数列{an}和{bn}满足：a1＝1，a2＝2，an>0，bn＝ (n∈N＋)，且{bn}是以q为公比的等比数列． (1)证明：an＋2＝anq2；(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若cn＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{cn}是等比数列；(5分) 解：证明：因为an＋2＝anq2， 所以数列a1，a3，a5，…和数列a2，a4，a6，…均是以q2为公比的等比 数列， 故a2n－1＝a1q2 (n－1)＝q2n－2，a2n＝a2q2 (n－1)＝2q2n－2， 所以cn＝a2n－1＋2a2n＝5q2n－2＝5·(q2) n－1 故{cn}是首项为5，公比为q2的等比数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：数列{an}为“紧密数列”．理由如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因此数列{an}为“紧密数列”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)设数列{an}是公比为q的等比数列，若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围．(9分) 解：因为数列{an}是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn， 所以当q＝1时， an＝a1，Sn＝na1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 数 列 返回 a 所以，治理n年后，S市的年垃圾排放量的表达式为an＝ $$