2.2.2 导数的几何意义-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

2.2　导数的几何意义 　 第二章　§2　导数的概念及其几何意义 知识层面 1.通过函数图象直观地理解导数的几何意义．　 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 素养层面 通过图象理解导数的几何意义，培养直观想象素养；通过导数几何意义的应用，提升数学运算、逻辑推理素养. 知识点一　导数的几何意义 1 知识点二　切线方程 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　导数的几何意义 返回 问题导思 问题1.函数y＝f (x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ， 你能说出它的几何意义吗？ 提示：表示过A(x0，f (x0))和B(x0＋Δx，f (x0＋Δx))两点的 直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f (x)在点A处的一条 割线． 问题2.当Δx变化时，问题1中的直线如何变化？ 提示：直线AB绕点A转动． 问题3.当Δx→0时，问题1中的直线变化到哪里？ 提示：直线过点A与曲线y＝f (x)相切的位置． 新知构建 1．割线的定义 设函数y＝f (x)的图象是一条光滑的曲线，且函数y＝f (x)在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，它是经过A(x0，f (x0))和B(x0＋Δx，f (x0＋Δx))两点的直线的______，这条直线称为曲线y＝f (x)在点A处的一条割线． 斜率 2．切线的定义 如图，当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f (x)趋于______，割线AB将绕点A转动趋于直线l，称直线l为曲线y＝f (x)在______处的切线，或称直线l和曲线y＝f (x)在点A处相切． 3．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的____________，函数y＝f (x)在x0处____________反映了导数的几何意义． 点A 点A 切线的斜率 切线的斜率 (1)函数f (x)在x0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于0时的极限，若 存在，则函数y＝f (x)在x0处就有导数．(2)f′(x0)的几何意义是曲线y＝f (x)在切点(x0，f (x0))处的切线的斜率．(3)函数f (x)表示的曲线在点(x0，f (x0))处有切线，但函数f (x)在该点处不一定可导，如f (x)＝ 在x＝0处有切线，但不可导． 微提醒 已知函数f (x)的图象如图所示，则下列选项正确的是  A．f′(2)<f′(3) B．f′(3)>f (3)－f (2) C．f′(2)>f (3)－f (2) D．f′(2)>0 例1 √ 规律方法 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． 对点练1.已知函数y＝f (x)的部分图象如图所示，其中A(x1，f (x1))，B，C(x3，f (x3))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是 A．f′(x1)>f′(x2)>f′(x3) B．f′(x3)>f′(x2)>f′(x1) C．f′(x3)>f′(x1)>f′(x2) D．f′(x1)>f′(x3)>f′(x2) 由题图可知函数在A点的切线斜率小于0，即f′(x1)<0，在B点的切线斜率等于0，即f′(x2)＝0，在C点的切线斜率大于0，即f′(x3)>0，所以f′(x3)> f′(x2)>f′(x1).故选B. √ 返回 知识点二　切线方程 返回 问题4.若函数y＝f (x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，你能写出y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程吗？ 提示：根据点斜式方程：y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f′(x0)(x－x0)． 问题导思 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，则y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为______________________． 新知构建 y－f (x0)＝f′(x0)(x－x0) 切点(x0，f (x0))在曲线上也在切线上． 微提醒 微思考 “在某点处的切线(方程)”与“过一点的切线(方程)”是否相同？ 提示：在“某点处的切线(方程)”与“过一点的切线(方程)”是不同的．“在某点处的切线(方程)”是指以该点为切点的切线(方程)，切线只有一条；切线方程也只有一个，“过一点的切线(方程)”是指曲线的切线(方程)经过这点，这点可能不在曲线上，相应的切线(方程)可能不止一条(一个)． 所以曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 例2 所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 变式探究 (变设问)本例曲线方程不变，求曲线过点P(2，4)的切线方程． 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 规律方法 求曲线在某点处的切线方程的步骤 对点练2.已知f (x)＝x3－2x2＋x＋6，求曲线y＝f (x)在点P(－1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积S. 解：因为点P(－1，2)在曲线y＝f (x)上， 所以曲线y＝f (x)在点P(－1，2)处切线的斜率为 ＝ [(Δx)2－5Δx＋8]＝8， 所以曲线y＝f (x)在点P(－1，2)处的切线的方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0. 返回 综合应用 返回 导数几何意义的应用 (一题多问)已知抛物线y＝f (x)＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°； 例3 解：设切点坐标为(x0，y0)，则 因为抛物线的切线的倾斜角为45°， (2)切线平行于直线4x－y－2＝0； (3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0. 解：因为抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， 所以k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，所以切点坐标为(1，3)． 即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，所以切点坐标为(2，9)． 规律方法 求切点坐标的步骤 第一步：设出切点坐标； 第二步：利用导数或斜率公式求出斜率； 第三步：利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； 第四步：把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． 对点练3.(1)设曲线f (x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于 A．1 B． C．－ D．－1 √ (2)已知曲线y1＝2－ 与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处的切线的斜率之积为3，则x0的值为 A．－2 B．1 C． D．2 √ 返回 课堂小结 知识 1.导数的几何意义.2.切线方程.3.导数几何意义的应用 方法 数形结合、待定系数法 易错误区 混淆在一点处的切线和过一点的切线 随堂演练 返回 1．曲线y＝－2x2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是 A．－4 B．4 C．0 D．不存在 √ 2．已知曲线y＝f (x)上点(1，0)处的切线方程为4x－y－4＝0，则f′(1)的 值为 A．6 B．－6 C．4 D．－4 依题意曲线y＝f (x)上点(1，0)处的切线方程为4x－y－4＝0，且斜率为4，故f′(1)＝4.故选C. √ 3．(多选题)下列说法不正确的是 A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处无切线 D．曲线y＝f (x)虽在点(x0，f (x0))处有切线，但f′(x0)不一定存在 √ √ √ 对于A，曲线的切线和曲线的交点不一定唯一，如曲线y＝sin x在 处的切线与曲线有无数个交点，故A错误； 对于B，过曲线上的一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如经过曲线上一点，但是不是在该点与曲线相切而是在其他地方相切，比如y＝x3与y＝3x－2相切于点(1，1)，同时经过另外一点(a，b)，我们就可以说过点(a，b)的直线y＝3x－2与曲线y＝x3相切，但切点是(1，1)而不是(a，b)，故B错误；对于C，若f′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处可能有切线，如曲线在某点处的切线垂直于x轴，此时f′(x0)不存在，但曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，故C错误；对于D，由曲线在一点有平行于y轴的切线，且函数在该点不连续，则f′(x0)不一定存在，故D正确．故选ABC. 4．已知函数f (x)＝ 在x＝x0处的切线的倾斜角为135°，则x0＝_____． 返回 ±1 课时测评 返回 因为函数f (x)的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y＝2x＋ ，所以f′(1)＝2.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 2．已知曲线y＝2x3上一点A(1，2)，则点A处的切线斜率等于 A．0 B．2 C．4 D．6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线 A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 √ 因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率为0，即切线与x轴平行或重合．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 4.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是 A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)<f′(xB)．故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 5．若曲线f (x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 设切点为(x0，y0)，因为f′(x0)＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0.由题意，可知切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 6．(多选题)下列各点中，在曲线y＝f (x)＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为 的是 A．(0，0) B．(1，－1) C．(－1，1) D．(1，1) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 7.如图，函数f (x)的图象是折线段ABC，其中A， B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 ＝_____． －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 8．曲线y＝x2在点(1，1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 _____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 9．已知函数f (x)＝x3－3ax(a∈R)．若直线x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f (x)的切线，则实数a的取值范围为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 (1)曲线在点P处的切线斜率；(5分) 所以曲线在点P处的切线斜率为1. (2)曲线在点P处的切线方程．(5分) 解：由(1)知曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 A．2x＋y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0 C．－2x＋y＋9＝0 D．－2x＋y－9＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 C．曲线y＝f (x)上点(1，f (1))处的切线斜率为－1 D．曲线y＝f (x)上点(1，f (1))处的切线斜率为－2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)点P在曲线f (x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标． 所以在点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)求过点(－1，0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x0＝0时，切线斜率k＝1， 过(－1，0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0. 当x0＝－2时，切线斜率k＝－3， 过(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0. 故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 导 数 及 其 应 用 返回 已知曲线y＝x3＋，求曲线在点P(2，4)处的切线方程． k＝ ＝ ＝4. 则切线的斜率为k＝ ＝x， k＝ 所以斜率为tan 45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝， 因为f′(1)＝ ＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1(经检验，正确)．故选A. 由题意知，y′1＝ ＝，y′2＝ ＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处的切线的斜率分别为，3x－2x0＋2.由题意可知，＝3，所以x0＝1.故选B. k＝ ＝ (－2Δx)＝0.故选C. f′(x0)＝ ＝－ ＝－.令－＝tan 135°＝－1，可得x0＝±1. Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3，＝[2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6.故选D. 设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ ＝3x－2＝tan ＝1，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－1.当x0＝－1时，y0＝1.故选BC. 由导数的概念和几何意义知， ＝f′(1)＝kAB＝＝－2. f′(1)＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2，则曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.因为2x－y－1＝0与坐标轴的交点为(0，－1)，，所以所求三角形的面积为S＝×1×＝. 假设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝f (x)相切，切点为P(x0，y0)，由题意，得f′(x0)＝ ＝3x－3a＝－1无解，即3x－3a＋1＝0无解，故3a－1<0，解得a<. 所以f′(2)＝ ＝ ＝ ＝1， 11．若 ＝2，f (3)＝3，则f (x)在(3，f (3))处的切线方程为 由已知， ＝2，f (3)＝3，令Δx＝x－2，所以 ＝－ ＝－f′(3)＝2，得f′(3)＝－2，所以f (x)在(3，f (3))处的切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.故选B. 13．如图，函数y＝f (x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8， 则 ＝______. 依题意可知切点P(5，3)，因为函数y＝f (x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，所以f′(5)＝－1，即 ＝－1. 所以 ＝－2. 所以 ＝2 ， 又因为 ＝ ＝－1， f′(x0)＝ ＝2x0， － k＝ ＝2x0＋1. $$