1.3.1 第2课时 等比数列的性质及实际应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

第2课时　等比数列的性质及实际应用 　 第一章　§3 3.1　等比数列的概念及其通项公式 知识层面 1.掌握等比中项的概念并会应用．　 2.熟悉等比数列的有关性质，并能利用性质简化运算．　 3.理解等比数列的单调性与a1，q的关系．　 4.掌握等比数列的实际应用问题. 素养层面 通过等比数列的性质的应用，培养数学运算素养；借助等比数列的判定，培养逻辑推理素养. 知识点一　等比中项 1 知识点二　等比数列的性质 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　等比中项 返回 问题导思 问题1.我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中 项，且A＝ .如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量 关系？ 新知构建 等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义， ，G2＝ab，G＝_______．我们称G为a，b的等比中项． (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列．(2)只有同号的两个实数才有等比中项．(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． 微提醒 已知等比数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比 中项． 解：设该等比数列的公比为q，首项为a1， 例1 因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 所以G＝±3， 所以a5，a7的等比中项是±3. 若G是a5，a7的等比中项，则应有 规律方法 等比中项应用的关注点 1．只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个． 2．已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与 an＋1的等比中项，即a ＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算量． 3．要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零． 对点练1.(1)若3与13的等差中项是4与m的等比中项，则m＝ A．12 B．16 C．8 D．20 3与13的等差中项为8，所以8是4与m的等比中项，所以82＝4m，解得m＝16.故选B. √ (2)若a，b，c为实数，数列－1，a，b，c，－25是等比数列，则b的值为 A．5 B．－5 C．±5 D．－13 设等比数列的公比为q，所以b＝(－1)·q2<0, 根据等比中项可知b2＝ (－1)×(－25)＝25，解得b＝－5.故选B. √ 返回 知识点二　等比数列的性质 返回 问题2.类比等差数列与一次函数的关系，观察等比数列的通项公式与我们熟悉的哪一类函数有关？ 问题导思 问题3.在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ 提示：在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq. 1．等比数列的函数性质 对于等比数列{an}，an＝a1qn－1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下： 新知构建 a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 {an}的单调性 ______ 常数列 ______ ______ 常数列 ______ 递减 递增 递增 递减 2.等比数列的常用性质 性质1：通项公式的推广：an＝am·_______(n，m∈N＋)． 性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝________． qn－m am·an 等比 已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； 例2 解：根据等比数列的性质及已知，得 因为an>0，所以a3＋a5>0， 所以a3＋a5＝5. (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：根据等比数列的性质，得 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. 变式探究 1．(变条件，变结论)在例2(1)中，添加条件a1a7＝4，求an. 解：由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4， 又由例2(1)知a3＋a5＝5， 解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1. 若a3＝1，a5＝4， 则q＝2，an＝2n－3； 2．(变条件)把例2(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)· q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10) ＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300(a1a2a3…a10)3＝3300， 所以a1a2a3…a10＝1， 则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0. 规律方法 利用等比数列的性质解题的关注点 1．判断等比数列的增减性时要结合等比数列的函数性质． 2．充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． 对点练2.(1)已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立；故“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D. √ (2)若等比数列{an}中的a7，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 024＝ 因为a7，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则a7a2 018＝3，又在等比数列{an}中，a1a2 024＝a2a2 023＝…＝a7a2 018＝3，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 024＝log3(a1a2a3…a2 021a2 024)＝log331 012＝1 012.故选D. √ 返回 综合应用 返回 等比数列的实际应用 从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问： (1)第n次操作后溶液的体积分数是多少？ 例3 解：由题意知开始时溶液的体积分数为1， (2)当a＝2时至少应操作几次后才能使溶液的体积分数低于10%? 故至少操作4次后才能使溶液的体积分数低于10%. 规律方法 等比数列应用题的关注点 1．常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等． 2．关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题． 3．步骤： 对点练3.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值； 解：从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1，n∈N＋， 所以n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元． (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？(保留一位 小数) 解：由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元． 返回 课堂小结 知识 1.等比中项.2.等比数列的性质.3.等比数列的实际应用 方法 方程和函数思想、转化与化归思想 易错误区 不注重运用性质，使解题过程繁琐或者性质运用不正确而出错 随堂演练 返回 A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 由于公比q＝－ ＜0，所以数列{an}是摆动数列．故选D. √ √ 3．在等比数列{an}中，a3a9＝4a4，则a8＝ A．16 B．8 C．4 D．2 由题意可知， a3a9＝a8a4＝4a4，因为a4≠0，所以a8＝4.故选C. √ 4．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于______平方厘米． 返回 2 048 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a5＋2a4a6＋a5a9＝8，则a3＋a7＝ A．1 B． C．4 D．2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．通过测量知道，温度每降低6 ℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34 ℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26 ℃时，该元件的电子数目接近 A．860个 B．1 730个 C．3 072个 D．3 900个 由题设知，该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且a1＝3，公比q＝2.由26－(－34)＝60， ＝10，得a11＝3×210＝3 072.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选题)(2024·江苏南通高二期中)已知数列{an}为等比数列，则 A．数列a2，a4，a8成等比数列 B．数列a1·a2，a3·a4，a5·a6成等比数列 C．数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列 D．数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝___． 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是____． 设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝______. 50 a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，得a10a11＝e5，ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6 000元，她计划以此作为启动资金进行理财投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1 000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续．设第n个月月底的投资市值为an元． (1)求证：数列{an－5 000}为等比数列；(4分) 解：证明：依题意，第1个月底的投资市值为 a1＝6 000(1＋20%)－1 000＝6 200， an＋1＝an(1＋20%)－1 000＝1.2an－1 000， 又a1－5 000＝1 200， 所以数列{an－5 000}是首项为1 200，公比为1.2的等比数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅(商场标价为12 899元)，将一年后投资市值全部取出来是否足够？(1.211≈7.43，1.212≈8.92)(6分) 解：由(1)知an－5 000＝1 200×1.2n－1， 所以a12－5 000＝1 200×1.211≈8 916， 即a12≈8 916＋5 000＝13 916. 因为a12≈13 916>12 899， 所以王同学将一年后投资市值全部取出来是足够的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(新定义)记等比数列{an}的前n项积为∏n，若a4·a5＝2，则∏8＝ A．256 B．81 C．16 D．1 √ 因为数列{an}为等比数列，且前n项积为∏n，所以a4·a5＝a3·a6＝a2·a7＝a1·a8＝2，所以∏8＝a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7·a8＝(a4·a5)·(a3·a6) (a2·a7)· (a1·a8)＝24＝16.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选题)公比为q的等比数列{an}，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，满足a1＞1，a2 024·a2 025＞1， ＜0，则下列结论正确的是 A．Tn的最大值为T2 024 B．a2 024·a2 026＜1 C．Sn的最大值为S2 024 D．0＜q＜1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为_________． a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 a10　a11　a12　a13　a14　a15　a16 a17　a18　a19　a20　a21　a22　a23　a24　a25 275或8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，an＝8，a92＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)某城市2017年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米．该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米，到2025年年底时，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式：(1＋x)8≈1＋8x，其中0＜x＜1) 解：设这个城市的人口年平均增长率为x(0＜x＜1)，则该城市2017年年底到2025年年底人口数量组成等比数列，记为{an}， 则a1＝100，公比q＝1＋x， 则2025年年底人口数量为a9＝a1q8＝100(1＋x)8. 2025年年底住房总面积为100×5＋8×245＝2 460(万平方米)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为(1＋x)8≈1＋8x(0＜x＜1)， 故该城市的人口年平均增长率约是0.003. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(多选题)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1>1，a5＋a6>a5a6＋1>2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项中不正确的是 A．0<q<1 B．a6>1 C．T10>1 D．T11>1 √ √ 因为等比数列{an}的各项均为正数，a1>1，a5＋a6>a5a6＋1>2，所以(a5－1)(a6－1)<0，因为a1>1，若a5<1，则一定有a6<1，不符合不等式，故a5>1，a6<1，所以0<q<1.因为a5a6＋1>2，所以a5a6>1，T10＝a1a2a3…a10＝(a5a6)5>1，T11＝a <1，综上可知，A，C正确，B，D错误．故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)，Sn为数列{an}的前n项和． (1)求{an}的通项公式；(6分) 解：当n≥2时，an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，所以an＋1＝3an， 又a2＝2S1＋1＝3＝3a1， 所以对n∈N＋，有an＋1＝3an， 故数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为an＝3n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在an，an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由．(9分) 解：在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列． 理由如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 又因为m，k，p成等差数列，所以m＋p＝2k， 故上式可以化简为(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)， 则k＝m＝p，与已知矛盾． 故在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比 数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 数 列 返回 ＝ ± $$