1.3.1 第1课时 等比数列-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

第1课时　等比数列 　 第一章　§3 3.1　等比数列的概念及其通项公式 知识层面 1.通过实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法．　 2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．　 3.能解决与等比数列的通项公式有关的问题. 素养层面 通过对等比数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养；借助等比数列通项公式的简单应用，提升数学运算素养. 知识点一　等比数列的概念 1 知识点二　等比数列的通项公式 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　等比数列的概念 返回 问题导思 问题1.观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98. (2)《庄子·杂篇·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值 规律？ 新知构建 等比数列的定义 文字语言 从第___项起，每一项与它的前一项的比值都是____________，这样的数列就叫作等比数列 符号语言 若____________________________，则数列{an}为等比数列 2 同一个常数 (1)等比数列定义的符号语言也可以表示为： ＝q(q为常数且q≠0，n∈ N＋)．(2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”．(3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0. 微提醒 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． 例1 解：不是等比数列； (2)10，10，10，10，10，…； 解：是等比数列，公比为1； (4)1，0，1，0，1，0，…； 解：不是等比数列； (5)1，－4，16，－64，256，…. 解：是等比数列，公比为－4. 规律方法 等比数列定义的理解 1．由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零． 2．要判定一个数列是否为等比数列，只需看 的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒． 对点练1.以下数列中，哪些是等比数列？ (1)1，3，32，33，…，3n－1，…； 解：记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. (2)－1，1，2，4，8，…； 解：记数列为{an}，则a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， 解：当a＝0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1. (4)a，－a，a，－a，…. 返回 知识点二　等比数列的通项公式 返回 问题2.类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 问题导思 法二：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…，由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． 等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝_______(a1≠0，q≠0)． 新知构建 a1qn－1 (1)用函数的观点看等比数列的通项：等比数列{an}的图象是函数y＝ ·qx的图象上的一群孤立的点．(2)等比数列通项公式的变形：an＝amqn－m(m，n∈N＋)． 微提醒 在等比数列{an}中： (1)已知a2＝4，a5＝－ ，求an； 例2 解：法一：设等比数列的公比为q， (2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，an＝64，求n； 由an＝a1qn－1＝64，得2n－1＝64，解得n＝7. (3)(2023·全国乙卷改编)a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，求a7. 解：设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0，则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1，因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8，则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2. 变式探究 (变条件，变设问)本例(1)若改为等比数列{an}中，已知a2＝18，a4＝8，求q与a5. 规律方法 关于等比数列基本量的运算 1．公式法：等比数列的通项公式an＝a1·qn－1中有四个量a1，q，n，an，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．一般来说，涉及列出方程组的问题，大多采用两式相比，消掉首项a1. 2．整体代换法：充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [占领思想高点]　基本量的计算主要是方程思想的应用，根据已知条件列出方程或者方程组，通过解方程或者方程组求出基本量，在解题中注意准确运用公式，注意公式运用的合理性和准确性． 对点练2.在等比数列{an}中，公比为q. (1)若a1＝－2，q＝－ ，求通项公式an； (2)若a1＝－5，a4＝40，求q并写出通项公式an； 解：由题知，a4＝a1q3＝－5q3＝40， 解得q＝－2， 所以an＝a1qn－1＝－5×(－2)n－1. 所以n－1＝4，所以n＝5. 返回 综合应用 返回 等比数列的判定与证明 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. (1)求证：数列{an＋n}为等比数列； 例3 解：证明：因为an＋1＝2an＋n－1， 所以an＋1＋(n＋1)＝2an＋(n－1)＋(n＋1)， 即an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n)． 因为an＋n≠0， 所以数列{an＋n}是首项为2，公比为2的等比数列． (2)求数列{an}的通项公式． 解：由(1)知an＋n＝2·2n－1＝2n， 所以an＝2n－n. 变式探究 (变条件，变设问)本例已知变为：a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，求证：数列{an－n}是等比数列． 证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)， 所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列． 规律方法 判断或证明数列为等比数列的常用方法 1．定义法： ＝q(q为常数且q≠0)等价于数列{an}是等比数列． 2．通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)等价于数列{an}是等比 数列． 对点练3. 已知数列{an}，{bn}满足a1＝9，an＋1＝10an＋9，bn＝an＋1. (1)求证：{bn}是等比数列； 又b1＝a1＋1＝10， 所以数列{bn}是首项为10，公比为10的等比数列， (2)求数列{bn}的通项公式． 解：由(1)知bn＝b1qn－1＝10n. 返回 课堂小结 知识 1.等比数列的概念及判断.2.等比数列的通项公式.3.利用定义判断或证明一个数列是等比数列 方法 方程(组)思想、构造法 易错误区 未考虑首项的非零及比值为非零常数 随堂演练 返回 1．正项等比数列{an}满足a1＝2，a3＝8，则其通项公式an＝ A．2n－1 B．2n C．2n＋1 D．2n＋2 因为{an}是正项等比数列，所以q>0，又因为a1＝2，a3＝8，所以q2＝ ＝4，故q＝2，所以an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n.故选B. √ 2．等比数列{an}中，a1＝1，a9＝256，则q＝ A．2 B．－2 C．2或－2 D．4 由题意，可得a9＝a1q8＝q8＝256，解得q＝±2.故选C. √ 3．(多选题)下列说法正确的有 A．等比数列中的项不能为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．22，42，62，82，…成等比数列 √ √ 4．若在1和256中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比q为_______． 返回 由条件可知，a1＝1，a5＝256，所以q4＝256，解得q＝±4. ±4 课时测评 返回 1．在等比数列{an}中，a3＝2，a6＝16，则数列{an}的公比是 A．－2 B． C．2 D．4 设公比为q，由题意得q3＝ ＝8，解得q＝2.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．设{an}是等比数列，且a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，则a4＋a5＝ A．4 B．8 C．16 D．32 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4等于 A．108 B．54 C．36 D．18 √ 因为an＋1＝3an且an≠0，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 A．b＝3，ac＝9 B．b＝3，ac＝－9 C．b＝－3，ac＝9 D．b＝－3，ac＝－9 因为b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号，所以ac＝b2＝9.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(新角度)音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的 ，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的 ，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得 A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列 C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选题)(2024·湖北武汉高二期末)已知数列{an}是等比数列，下列结论正确的有 A．若a2 025>0，则a1a2>0 B．若a1a2>0，则a2a3>0 C．若a2>a1>0，则a1＋a3>2a2 D．若a1a2<0，则(a2－a1) (a2－a3)<0 √ √ 设等比数列{an}的公比为q，对于A，a2 025＝a1q2 024>0，有q>0或q<0，当q<0时，a1a2＝a q<0，故A不正确；对于B，a1a2＝a q>0，即q>0，则a2a3＝a q3>0，故B正确；对于C，由a2>a1>0，即a1q>a1>0，得a1>0，q>1，则a1＋a3－2a2＝a1(1－q)2>0，故C正确；对于D，因为a1a2<0，则q<0，(a2－a1)(a2－a3)＝a1(q－1)·a2(1－q)＝－a1a2(q－1)2>0，故D不正确．故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．已知等比数列{an}满足：a1＝27，a9＝ ，a2a3<0，则公比q＝_____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．(易错点)在等比数列a，2a＋2，3a＋3，…中，a＝________． 由题意，得(2a＋2)2＝a (3a＋3)，解得a＝－4或a＝－1，当a＝－1时，2a＋2＝0，3a＋3＝0，不满足条件．当a＝－4时，等比数列为－4， －6，－9，…，满足条件． －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．三个数成等比数列，公比q>1，三个数的积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，则这三个数分别为________． 4，8，16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)已知数列{an}，{bn}满足：a1＝1，b1＝0，4bn＋1＝an＋4＋3bn，4an＋1＝3an＋4＋bn，证明数列{an＋bn}是等差数列，数列{an－bn}为等比数列． 证明：将4an＋1＝3an＋4＋bn，4bn＋1＝an＋4＋3bn两式相加得 4(an＋1＋bn＋1)＝4(an＋bn)＋8， 所以(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝2， 所以数列{an＋bn}是以2为公差的等差数列． 将4an＋1＝3an＋4＋bn，4bn＋1＝an＋4＋3bn两式相减得4(an＋1－bn＋1)＝2(an－bn)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a1－b1＝1≠0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24， －18，36，81}中，则q等于 √ 因为{an}中的项必然有正有负，所以q<0.又|q|>1，所以q<－1.由此可得{an}的连续四项为－24，36，－54，81.所以q＝－ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选题)若数列{an}对任意n≥2(n∈N＋)满足(an－an－1－1)(an－2an－1)＝0，则下列关于数列{an}的命题正确的是 A．{an}可以是等差数列 B．{an}可以是等比数列 C．{an}可以既是等差又是等比数列 D．{an}可以既不是等差又不是等比数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为(an－an－1－1) (an－2an－1)＝0，故可得an＝an－1＋1或an＝2an－1；若an＝an－1＋1，则数列{an}是等差数列；若an＝2an－1，且an≠0，则数列{an}是等比数列；若an＝2an－1，且an＝0，则数列{an}是等差数列；故A，B正确；由(an－an－1－1) (an－2an－1)＝0，得不出数列{an}是非零常数列，故不可以既是等差又是等比数列，故C错误；数列{an}可以既不是等差数列又不是等比数列，例如：0，1，2，4，8，16，32，…，满足题意，故D正确．故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．(新设问)(2024·北京丰台高二期中)等比数列{an}满足如下条件：①a1>0；②{an}单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式an＝________________． 2n(答案不唯一) 满足上述所有条件的一个数列的通项公式an＝2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)(新设问)在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并 解答． 已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________，求数列{an}，{bn}的通项公式． 解：选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋5d＝6a1d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件③： 因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋7d＝8a1d， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1qn－1＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)在表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为__． 1   2     0.5   1         a           b           c 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(6分) 由S4＝2a3＋a5，可得a1－2d＝0　②， 设等比数列{bn}的公比为q (q>0)，由2b2＋b3＝b4，可得2q＋q2＝q3，故q＝2，bn＝2n－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求使得bn>2an的n的最小值．(9分) 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 数 列 返回 ＝q(n≥2，n∈N＋，q≠0) － $$