精品解析：广东省广州市广东实验中学越秀学校2024～2025学年高二上学期期中考试数学试卷

广东实验中学越秀学校2024—2025学年（上）期中考试题 高二年级数学 命题：吴琼 审定：闫焕民 校对：吴琼 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 第一部分 选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得. 【详解】由可知圆心为， 又因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 由点斜式得直线， 化简得直线的方程是． 故选：D． 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程转化为斜截式，进而可得倾斜角. 【详解】由直线，即， 所以倾斜角满足，， 所以， 故选：C. 3. 已知点B是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得点B的坐标，再求得向量的坐标，进而求得的值. 【详解】点在坐标平面内的射影点B的坐标是， 又，则，则. 故选：C 4. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到答案. 【详解】，为中点， 故. 故选：B 5. 在正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 作出异面直线和所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余弦值. 【详解】设分别是的中点，由于分别是的中点，结合正方体的性质可知， 所以是异面直线和所成的角或其补角， 设异面直线和所成的角为，设正方体的棱长为， ，， 则. 故选：A. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 6. 若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离为，由此可知当圆的半径为 时，圆上恰有三点到直线的距离为，当圆的半径 时，圆上恰有四个点到直线的距离为，故半径的取值范围是，即可求出答案. 【详解】由已知条件得的圆心坐标为， 圆心到直线为， ∵圆上至少有三个点到直线的距离为1， ∴圆的半径的取值范围是，即，即半径的取值范围是. 故选：. 7. 已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和 【详解】设 由直线，可得 由直线，可得， 因为直线与直线满足， 所以， 所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和， 由，，得AB中点为，半径为1， 所以点P到点的距离的最大值为， 故选：A 8. 已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解出的最小值. 【详解】由题可知：，圆心，半径， 又，是的中点，所以， 所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为， 若直线上存在两点，使得恒成立， 则以为直径的圆要包括圆， 点到直线的距离为， 所以长度的最小值为， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据坐标运算公式计算即可；B选项，根据模的公式计算；CD选项，根据向量垂直和平行的坐标关系计算. 【详解】，所以，故A正确； ，所以，故B错； 因为，所以，解得，故C正确； 因为，所以，即，解得，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 直线过定点 C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D. 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，正确； 对于B，直线方程即，由可得， 所以直线过定点，正确； 对于C，记圆心，直线过定点，则， 当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大， 此时直线截圆所得的弦长最小， 此时弦长为，正确； 对于D，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误. 故选：ABC 11. 在正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，的面积为定值 D. 当时，直线与所成角的范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，确定点在面对角线上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B选项，确定点在棱上，由等体积法，说明三棱锥的体积为定值；对于C选项，确定点在棱上，的底不变，高随点的变化而变化；对于D选项，通过平移直线，找到异面直线与所成的角，在正中，确定其范围. 【详解】对于A选项，如下图，当时，点在面对角线上运动， 又平面，所以平面， 在正方体中，且，则四边形为平行四边形， 所以，，平面，平面，平面， 同理可证平面， ，所以，平面平面， 平面，所以，平面，A正确； 对于B选项，当时，如下图，点在棱上运动， 三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C选项，当时，如图，点在棱上运动，过作于点， 则，其大小随着的变化而变化，C错误； 对于D选项，如图所示，当时，，，三点共线， 因为且,所以四边形为平行四边形，所以， 所以或其补角是直线与所成角， 在正中，的取值范围为，D正确. 故选：ABD. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程表示圆，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的一般式方程需要满足的条件可得，得到关于的不等式，求解可得的范围． 【详解】由圆的一般式方程可得，即，求得. 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的一般式方程的特征，考查基本运算求解能力，属于基础题． 13. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为________ 【答案】2 【解析】 【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算. 【详解】∵，， ∴，，又， ∴在方向上的投影为， ∴P到l距离. 故答案为：2. 14. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数（，）的点M的轨迹是圆，已知两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程为_______；若圆C：上存在满足条件的点M，则半径r的取值范围为_____________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式可得到结果；根据两圆之间的位置关系可得到结果. 【详解】设，则， 因为， 所以，化简可得， 即，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 因为圆C：上存在满足条件的点M，则圆C与圆有公共点， 则， 两圆心之间的距离为， 即， 所以，半径r的取值范围为， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤. 15. 已知，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径； （2）根据直线的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为的直线满足题意，斜率存在时，利用直线与圆相切，即到直线的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可. 【小问1详解】 不妨设圆的半径为，根据垂径定理，可得： 解得： 则圆的方程为： 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，则有： 故此时直线与圆相切，满足题意 当直线的斜率存在时，不妨设直线的斜率为，点的直线的距离为 直线的方程为： 则有： 解得： ，此时直线的方程为： 综上可得，直线的方程为：或 16. 如图，已知正方体的棱长为4，点E满足，点F是的中点，点G满足. （1）求证：B、E、G、F四点共面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 是正方体，以点为原点，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示： 正方体的棱长为4，点E满足， 点F是的中点，点G满足， 所以， ， 因为， 所以， 所以B、E、G、F四点共面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明两向量平行即可； （2）求出两平面法向量夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以，则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 则， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值. 17. 如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点． （1）求圆C的标准方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】（1） （2）该船没有触礁的危险 【解析】 【分析】（1）由图中坐标系得坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程； （2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得． 【小问1详解】 如图所示，， 设过O、A、B三点的圆C的方程为， 得：，解得， 故所以圆C的方程为， 圆心为，半径， 【小问2详解】 该船初始位置为点D，则， 且该船航线所在直线l的斜率为, 故该船航行方向为直线， 由于圆心C到直线l的距离， 故该船没有触礁的危险 18. 如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，. （1）求证：； （2）点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1） 证明：由已知可得四边形是等腰梯形， 过作，垂足为，则， 在中，， 则，可得， 在中，由余弦定理可得， ， 则，， 又平面，平面， ， ，，平面， 平面， 又为矩形， ，则平面， 而平面， ； （2） 【解析】 【分析】（1）过作，垂足为，利用正余弦定理可证，再利用线线垂足证明线面垂直，进而可得证； （2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，且， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，设， 则，又， 设平面的法向量为， 由， 取，得， 又， ， ，， 则. 19. 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为． （1）若，求切线所在直线方程； （2）求的最小值； （3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值． 【答案】（1），；（2）（3） 【解析】 【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解； （2）连接交于，利用，结合正余弦可得最值； （3）利用（1）的方法，得到的二次方程，结合根与系数关系，用含的式子表示去表示，可得最值． 【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得或， 故所求切线方程为，； （2）连接交于点， 设，则， 在中， ， ∵，∴，∴，∴； （3）设切线方程为，即，的斜率为， 故圆心到切线的距离，得， ∴， ， 在切线方程中令可得， 故， ∴，此时，故的最小值为． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的综合应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，合理根据直线与圆的位置关系，列出相应的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学越秀学校2024—2025学年（上）期中考试题 高二年级数学 命题：吴琼 审定：闫焕民 校对：吴琼 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 第一部分 选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点B是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. 5 D. 4. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 8. 已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则， 10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 直线过定点 C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切 11. 在正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，的面积为定值 D. 当时，直线与所成角的范围为 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程表示圆，则实数的取值范围为_____． 13. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为________ 14. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数（，）的点M的轨迹是圆，已知两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程为_______；若圆C：上存在满足条件的点M，则半径r的取值范围为_____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤. 15. 已知，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程. 16. 如图，已知正方体的棱长为4，点E满足，点F是的中点，点G满足. （1）求证：B、E、G、F四点共面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点． （1）求圆C的标准方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 18. 如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，. （1）求证：； （2）点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围. 19. 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为． （1）若，求切线所在直线方程； （2）求的最小值； （3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $