第三章 重点题型强化（一）排列的综合应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

知识层面 1.掌握几种有限制条件的排列．　2.能用排列数公式解决简单的实际问题. 素养层面 通过几种有限制条件的排列的学习，提升数学建模、逻辑推理、数学运算素养. 题型一　“在”与“不在”问题 例1　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解：(1)方法一：把元素作为研究对象． 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法． 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，有4种排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法． 由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2 160(种)排法． 方法二：把位置作为研究对象． 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法． 由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2 160(种)排法． 方法三(间接法)：先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉． 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种， 所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种)． (2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置． 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法． 根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 800(种)方法． (3)总的情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法． [变式探究] 　(变结论)本例中的问题变为：甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解：把位置作为研究对象． 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种排法． 根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200(种)排法． 学生用书↓第14页 “特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先，一般从以下三种思路考虑： 1．以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素． 2．以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置． 3．用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数． 对点练1.用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位偶数． 解：(1)第一步，排个位，有A种排法； 第二步，排十万位，有A种排法； 第三步，排其他位，有A种排法． 故共有AAA＝288个六位奇数． (2)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类． 第一类，当个位排0时，有A个； 第二类，当个位不排0时，有AAA个， 故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504个． (3)分三种情况， ①当千位上排1，3时，有AAA个； ②当千位上排2时，有AA个； ③当千位上排4时， 形如40××，42××的各有A个； 形如41××的有AA个； 形如43××的只有4 310和4 302这两个数． 故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110个． 题型二　“相邻”与“不相邻”问题 例2　某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序．(结果用数字作答) (1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序？ (2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？ 解：(1)先将4首歌曲捆绑，四首歌曲内部全排列，有A种情况， 再将捆绑好的4首歌曲看做一个整体与3个舞蹈排序，有A种情况， 所以有A·A＝576(种)不同的出场顺序． (2)先将4首歌曲排好，有A种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中， 有A种情况，所以有A·A＝1 440(种)不同的出场顺序． “相邻与不相邻”问题处理策略 1．处理元素“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列． 2．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 对点练2.(1)现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为(　　) A．AA B．A－AA C．AA D．A－A (2)中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“书”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排法种数是________． 答案：(1)B　(2)144 解析：(1)7个人全排列减去3个女生全部相邻的情形，即A－AA.故选B． (2)由题意“乐”与“书”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有A种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有A种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有A种，由于是分步进行，所以共有A·A·A＝144种． 学生用书↓第15页 题型三　定序问题 例3　某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ 解：方法一(倍缩法)：5位嘉宾无约束条件的全排列有A种，其中3位老者不考虑年龄的顺序有A种．因此满足3位老者按年龄从大到小的出场顺序有＝20种． 方法二(插空法)：记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”，则三人形成四个空档(含两端)．第4位嘉宾有4种出场方法，第5位嘉宾站前4位嘉宾形成的5个空档(含两端)，所以共有4×5＝20种出场方法． 方法三(空位法)：假设出场顺序1到5个位置，除3位老者之外的2人先选位置有A种方法，还空下3个位置，3位老者按年龄从大到小的出场顺序只有一种，故共有A×1＝20种方法． 在有些排列问题中，常遇到n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素必须按照一定的顺序排列的问题．解决这类问题的基本方法有三个： 1．倍缩法：先把定序的m个元素与其他元素一起进行全排列，然后用总排列数除以这m个元素的全排列数，即. 2．插空法：先排这m个元素，只有一种排法，再把剩下的n－m个元素逐个地插空，其排列数为1×(m＋1)×(m＋2)×…×n＝A. 3．空位法：先把n－m个元素排n个位置有A种排法，再把剩下的m个位置排m个元素，只有一种排法，故排列数为A×1＝A. 对点练3.(1)某班2024年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为(　　) A．2 B．11 C．36 D．42 (2)某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是________． 答案：(1)D　(2)120 解析：(1)将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，共有6×7＝42种方法．故选D． (2)6个元素进行排序，先排除甲、乙、丙之外的3项工程有A种排法，再排甲、乙、丙有1种排法，所以一共有A×1＝120种排法． 1．工作人员计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同陈列方式的种数为(　　) A．A·A B．A·A·A C．A·A·A D．A·A·A 答案：D 解析：3种画看作3个不同元素，因为水彩画不放在两端，故有A种排列，每种内部排列有AAA种，由分步乘法计数原理得有AAA种．故选D． 2．一台节目中有独唱节目5个，现有3个舞蹈节目要插入，且每个舞蹈节目必须排在两个独唱节目之间，则节目单的排法种数是(　　) A．A·A B．A·A C．A·A D．A·A 答案：C 解析：5个独唱节目之间有4个间隔，从中选出3个排入舞蹈节目，即为AA.故选C． 3．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件． 答案：210 解析：若1，3，5，7的顺序不定，则4个数字有A＝24(种)排法，故1，3，5，7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×A＝210(个)七位数符合条件． 4．杭州亚运会期间，中国乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种． 答案：252 解析：出场安排可分两步：第一步：安排三名主力队员有A种；第二步：安排另2名队员有A种．根据分步乘法计数原理，共有A·A＝252种不同的出场安排． 课时测评4　排列的综合应用F11FF22F (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的放法共有(　　) A．18种 B．12种 C．9种 D．6种 答案：B 解析：由于1号盒子不能放1号和2号球，则1号盒子有3号球、4号球2种放法，则剩下3个盒子各放一个球有A种放法，一共有2×A＝12种放法．故选B． 2．五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有(　　) A．36种 B．48种 C．72种 D．120种 答案：C 解析：先将除甲、乙二人外的另外三个人排成一排，再将甲、乙二人插入到已经排好的三个人形成的四个空中，共有AA＝6×12＝72种．故选C． 3．将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有(　　) 1 2 3 3 1 2 2 3 1 A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 答案：B 解析：由题意，只需填第一行和第一列，剩下的即唯一确定了，则不同的填写方法共有AA＝12种．故选B． 4．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有(　　) A．A种 B．2AA种 C．8A种 D．9A种 答案：D 解析：将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A＝9A种．故选D． 5．若从8人中任选3人排队，其中甲乙不能分开参排，则不同的排法共有(　　) A．252种 B．278种 C．144种 D．362种 答案：C 解析：若甲乙不参排，不同的排法有A＝120种；若甲、乙参排，不同的排法有AAA＝24种；所以共有不同的排法120＋24＝144种．故选C． 6．(多选)某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是(　　) A．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序 B．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序 C．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序 D．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法 答案：AD 解析：对于A，从3个歌唱节目选1个作为开场，有A＝3种方法，后面的5个节目全排列，所以符合题意的方法共有3A＝360种，故A正确；对于B，将2个舞蹈节目捆绑在一起，有A＝2种方法，再与其余4个节目全排列，所以符合题意的方法共有2A＝240种，故B错误；对于C，除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有A＝24种，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，所以符合题意的方法有24A＝480种，故C错误；对于D，符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言，所以不同的选法共AA＋AA＋AA＝11种，故D正确．故选AD． 7．一排6个座位坐了2个三口之家，若同一家人座位相邻，则不同的坐法种数为________(用数字作答)． 答案：72 解析：由题可知，同一家人座位相邻，将6个座位分成两组，每组3个座位，同一家人相邻的不同坐法种数为2AA＝72. 8．用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为________． 答案：48 解析：第一步，从1，2，3，4中任选一个数字排在百位，有4种；第二步，从剩下的4个数字中任选2个排在十位和个位，有A＝12种，根据分步乘法计数原理得共有4×12＝48个无重复数字的三位数． 9．航天员在空间站进行科学实验，要先后实施A，B，C，D，E，F共6个步骤，其中步骤A只能在第一步或最后一步进行，步骤B，C要求相邻，则不同的实验顺序安排方案有________种(用数字作答)． 答案：96 解析：首先将步骤B和C捆绑在一起，再和除步骤A之外的3个步骤进行全排列，最后将步骤A排在第一步或最后一步，根据分步乘法计数原理可得安排方案有AAA＝96种． 10．(10分)某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课． (1)如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？(4分) (2)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？(6分) 解：(1)如果数学必须比语文先上，则不同的排法有＝＝360种． (2)若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有＝9×8×7＝504种． 11．(5分)体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有(　　) A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 答案：B 解析：首先在三个箱子中放入与编号相同的足球的个数，这样就剩三个足球了，这三个足球随便放置，第一种情况，可以在每一个箱子中放一个，有1种方法；第二种情况，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置排列，有A＝6种方法；第三种情况，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种方法，综上可知共有1＋6＋3＝10种方法．故选B． 12．(5分)(多选)若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231，354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则(　　) A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，奇数的个数为30 C．在组成的三位数中，偶数的个数为30 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20 答案：AD 解析：依题意，组成的三位数的个数为A＝60，故A正确；个位为1，3或5时，三位数是奇数，则奇数的个数为AA＝36，故B错误；则偶数有60－36＝24(个)，故C错误；将这些“凸数”分为三类：①十位为5，则有A＝12(种)，②十位为4，则有A＝6(种)，③十位为3，则有A＝2(种)，所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为12＋6＋2＝20，故D正确．故选AD． 13．(15分)2024年7月27日，是抗美援朝胜利71周年纪念日．电影《长津湖》讲述的就是中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神在极寒严酷环境下，为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．(列出算式，并计算出结果) (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？(3分) (2)女生互不相邻的坐法有多少种？(5分) (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？(7分) 解：(1)根据题意，先将3个女生排在一起，有A＝6种排法， 将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有A＝120种排法， 由分步乘法计数原理，共有6×120＝720种排法． (2)根据题意，先将4个男生排好，有A＝24种排法， 再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有A＝60种方法， 故符合条件的排法共有24×60＝1 440种． (3)根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有A＝24种排法， 由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有A＝2种排法， 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人形成的5个空档中有A＝20种排法，故符合条件的排法共有24×2×20＝960种． 14．(5分)寒冬已至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.5位学生相约一起爬山观景．其中3位女生，2位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，2位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有(　　) A．60 B．36 C．30 D．72 答案：A 解析：种类一：一位男生在最后，此时有A＝2种排法，3位女生全排列有A＝6种排法，最后将剩余一位男生插入3女生所形成的4个空中，且不在女生最后，共3种排法，所以共2×6×3＝36种排法；种类二：一位女生在最后，可先排女生，又女生甲不在最后，所以女生甲有A＝2种排法，其他2位女生有A＝2种排法，最后2男生插入3女生所形成的4个空中，且不在女生最后，共A＝6种排法，共2×2×6＝24种排法；综上所述，共36＋24＝60种排法．故选A． 15．(15分)把1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列． (1)45 312是这个数列的第几项？(3分) (2)这个数列的第71项是多少？(5分) (3)求这个数列的各项和．(7分) 解：(1)先考虑大于45 312的数，分为以下两类： 第一类5开头的五位数有A＝24个， 第二类4开头的五位数有45 321一个， 所以不大于45 312的数有：A－A－1＝120－24－1＝95(个)， 即45 312是该数列中第95项． (2)1开头的五位数有A＝24个， 2开头的五位数有A＝24个， 3开头的五位数有A＝24个， 共有24×3＝72(个)． 所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35 412. (3)因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A＝24个五位数， 所以万位数上的数字之和为(1＋2＋3＋4＋5)·A·104， 同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有A＝24个五位数， 所以这个数列的各项和为(1＋2＋3＋4＋5)·A·(104＋103＋102＋101＋100)＝15×24×11 111 ＝3 999 960. 学生用书↓第16页 学科网（北京）股份有限公司 $$