4.2 微专题2 概率、均值与方差的综合应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦概率、均值与方差的综合应用核心知识点，系统梳理利用概率比较事件可能性、均值反映平均水平、方差体现数据离散程度的原理，明确决策时概率优先、再均值、后方差的顺序，搭建从基础计算到实际决策的学习支架。 资料特色在于结合外卖薪资、投资回报等现实情境设计例题，通过多选题辨析概念（如二项分布方差计算）、决策问题演练（如公司选择、项目投资），培养学生用数学眼光发现问题、用数学思维推理分析、用数学语言表达决策过程的核心素养。课中助力教师分层教学，课后多样化练习帮助学生巩固提升。

微专题2　概率、均值与方差的综合应用 利用概率、均值与方差解决实际问题中的决策问题是近几年高考命题的热点之一，解决此类问题的主要途径有： 1．利用概率，概率越大，事件发生的可能性越大，是选择概率大的好还是选择概率小的好，要根据具体问题而定． 2．利用均值(数学期望)，随机变量的均值反映了随机变量的平均水平，究竟是均值大的好还是均值小的好也要就具体问题而定，如经济收入的均值是越大越好，生产中的次品数是均值越小越好． 3．利用方差，方差反映随机变量偏离平均值的程度，方差越大，随机变量的取值越分散，方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近． 注意：在做决策时，一般能通过概率决策的优先用概率，不能用概率决策的，再比较均值，在均值相等时再比较方差(或标准差)． 类型1　均值、方差的应用 【例1】　(多选题)下列选项中正确的有(　　) A．随机变量X～B(4，)，则D(3X＋1)＝8 B．将两颗骰子各掷一次，设事件A＝“两个点数不相同”，B＝“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)＝ C．口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量ξ，则 E(ξ)＝ D．已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为 AC　[对于A，因为随机变量X～B(4，)，所以 D(X)＝4××(1－)＝，则D(3X＋1)＝9D(X)＝8，故A正确； 对于B，根据条件概率的含义，P(A|B)其含义为在B发生的条件下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“两个点数不相同”的概率，“至少出现一个6点”的情况有6×6－5×5＝11(种)，“两个点数不相同”，则只有一个6点，共×5＝10(种)，故P(A|B)＝，故B错误； 对于C，ξ的所有可能取值为0，1，2，P(ξ＝k)＝，可得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝. ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，故C正确； 对于D，恰有1位患者被治愈的概率为×(1－)2＝，故D错误．] 类型2　决策问题 　均值在决策问题中的应用 【例2】　甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表： 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 乙公司送餐员送餐单数频数表： 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5 若将频率视为概率，回答下列问题． (1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值； (2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由． [解]　(1)设乙公司送餐员送餐单数为a， 当a＝38时，X＝38×6＝228，P＝＝； 当a＝39时，X＝39×6＝234，P＝＝； 当a＝40时，X＝40×6＝240，P＝＝； 当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝＝； 当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝＝， 故X的所有可能取值为228，234，240，247，254． 故X的分布列为 X 228 234 240 247 254 P 故E(X)＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝241.8(元)． (2)甲公司送餐员日平均送餐单数为 38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7， 则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)， 因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8<241.8，所以推荐小王去乙公司应聘． 　方差在决策问题中的应用 【例3】　某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%，亏损20%，不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，a.项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%，亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c. 经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等． (1)求a，b，c的值； (2)若将100万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． [解]　(1)依题意，得＋a＝1，解得a＝. 设投资项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润， 则X1和X2的分布列分别为 X1 0.4x －0.2x 0 P X2 0.3x －0.1x P b c 所以E(X1)＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x， E(X2)＝0.3bx－0.1cx. 因为E(X1)＝E(X2)， 所以0.3bx－0.1cx＝0.2x， 即0.3b－0.1c＝0.2． ① 又b＋c＝1， ② 由①②，解得b＝，c＝， 所以a＝，b＝，c＝. (2)选择项目B．理由如下： 当投入100万元资金时，由(1)知x＝100， 所以E(X1)＝E(X2)＝20， D(X1)＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600， D(X2)＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300． 因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从风险回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B． 微专题强化练(二)　概率、均值与方差的综合应用 一、选择题 1．在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试，假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有(　　) A．1人 B．2人 C．3人 D．4人 C　[5名同学投篮各10次，相当于各做了10次独立重复试验，他们投中的次数服从二项分布，则他们投中的均值分别为10×＝6，10×<6，10×>6，10×>6，10×<6． 故晋级下一轮的大约有3人．故选C．] 2．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．随机变量X服从两点分布，若P＝，则E＝ B．随机变量X～B，若E＝30，D＝10，则p＝ C．随机变量X服从正态分布N，且P(X≥5)＝0.158 7，则P(3<X<5)＝0.841 3 D．随机变量X服从正态分布N，且满足X＋2Y＝3，则随机变量Y服从正态分布N BD　[对于A，随机变量X服从两点分布，由P(X＝0)＝，得P＝，则E＝，A错误； 对于B，随机变量X～B，有E＝np＝30，D＝np＝10，解得p＝，B正确； 对于C，随机变量X～N， 则P(X≤3)＝P＝0.158 7， P＝1－P－P＝1－2P(X≥5)＝1－2×0.158 7＝0.682 6，C错误； 对于D，随机变量X，Y满足X＋2Y＝3，则Y＝，E＝E＝0，D＝D＝1，因此Y～N，D正确．故选BD．] 3．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采取，单独采取甲、乙预防措施所需费用分别为45万元和30万元，采取相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防措施允许单独采取、联合采取或不采取，那么总费用(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望)最少的是(　　) A．不采取任何预防措施 B．单独采取甲预防措施 C．单独采取乙预防措施 D．联合采取甲、乙两种预防措施 D　[①不采取预防措施时，总费用即损失的期望为400×0.3＝120(万元)； ②若单独采取甲预防措施，则采取预防措施所需费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失的期望为400×0.1＝40(万元)，所以总费用为45＋40＝85(万元)； ③若单独采取乙预防措施，则采取预防措施所需费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，损失的期望为400×0.15＝60(万元)，所以总费用为30＋60＝90(万元)； ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则采取预防措施所需费用为45＋30＝75(万元)，发生突发事件的概率为＝0.015，损失的期望为400×0.015＝6(万元)，所以总费用为75＋6＝81(万元)． 综合①②③④，比较其总费用，可知选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少，故选D．] 4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考查后，X，Y的分布列如下，则(　　) X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 A　[由分布列可得，E＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6， E＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7， ∵E>E，∴甲比乙质量好，故选A．] 5．(多选题)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物．下面是两种化验方案： 方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止； 方案乙：先取3只动物的血液进行混合，然后检查，若呈阳性，对这3只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不成阳性，则检查剩下的两只动物中1只动物的血液． 则下列说法正确的是(　　) A．若利用方案甲，化验次数为4次的概率为0.2 B．若利用方案甲，平均检查次数为2.8 C．若利用方案乙，化验次数为2次的概率为0.6 D．若利用方案乙，平均检查次数为2.4 BCD　[对于A，利用方案甲，化验次数为4次的概率为P4＝＝＝0.4； 对于B，利用方案甲，一次抽中的概率为，2次抽中的概率为＝，3次抽中的概率为＝，所以平均检查次数为＋2×＋3×＋4×＝＝2.8； 对于C，利用方案乙，化验次数为2次的概率为＝＝＝0.6； 对于D，利用方案乙，1次抽中的概率为0，2次抽中的概率为0.6，3次抽中的概率为0.4，所以平均检查次数为1×0＋2×0.6＋3×0.4＝2.4．故选BCD．] 二、填空题 6．抽样表明，某地区新生儿体重X近似服从正态分布N(μ，σ2)．已知X～N(μ，σ2)时，P(|X－μ|≤3σ)≈99.7%.假设随机抽取r个新生儿体检，记ξ表示抽取的r个新生儿体重在[μ－3σ，μ＋3σ]以外的个数．若ξ的数学期望E(ξ)<0.05，则r的最大值是________． 16　[根据正态分布的3σ原则可知新生儿落在[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率约为0.997，所以落在[μ－3σ，μ＋3σ]外的概率为0.003，所以E(ξ)＝0.003r<0.05，所以r<≈16.7． 因为r为正整数，故r的最大值为16．] 7．某生将参加创新知识大赛，答题环节有6道题目，每答对1道得2分，答错减1分，已知该生每道题目答对的概率是，且各题目答对正确与否相互之间没有影响，X表示该生得分，则E＝_________，D＝________． 6　12　[依题意，设Y表示该生答对问题的个数，则Y服从二项分布Y～B， 所以E＝6×＝4，D＝6×＝，又因为X＝2Y－＝3Y－6， 所以E＝3E－6＝3×4－6＝6，D＝32D＝9×＝12．] 三、解答题 8．血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性．若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒．根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性(即样本携带病毒)的概率均为p.现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测．多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性．现有以下两种方案． 方案一：逐个化验． 方案二：平均分成两组化验． 在该疾病发生初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”． (1)若p＝，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列； (2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p的取值范围． [解]　(1)由题意知，X～B， 则P＝＝， P＝＝， P＝＝＝， P＝＝， P＝＝， 则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P (2)方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4； 方案二中，设化验次数为Y，则Y的可能取值为2，4，6，每组两个样本化验呈阴性的概率为，设x＝. 则P＝x2， P＝x， P＝， 所以E＝x＋6×＝6－4x， 若方案二比方案一更“优”，则E＝6－4x<4，解得x>， 即x＝>，解得0<p<1－. 所以当p∈(0，1－)时，方案二比方案一更“优”． 9．某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，下表是样本的尺寸xi(i＝1，2，3，…，10，单位：mm)： 100.03 100.4 99.92 100.52 99.98 100.35 99.92 100.44 100.66 100.78 用样本的平均数作为μ的估计值，用样本的标准差s作为σ的估计值． (1)按照技术标准的要求，若样本尺寸均在[μ－3σ，μ＋3σ]范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格． (2)该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制订了两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响)． 方案1：每个零件均按70元销售； 方案2：若零件的实际尺寸在[99.7，100.3]范围内，则该零件为A级零件，每个零件定价100元，否则为B级零件，每个零件定价60元． 哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明． 附：＝1 003，＝)． 已知X～N(μ，σ2)时，P(|X－μ|≤2σ)≈95.4%. [解]　(1)由表格中数据可得 ＝＝100.3，s2＝)＝0.09． 故可得μ＝100.3，σ＝0.3， 所以μ－3σ＝99.4，μ＋3σ＝101.2， 结合题中表中数据知所有样本都在区间[99.4，101.2]内，故该切割设备质量合格． (2)方案1：每个零件售价为70元． 方案2：设生产的零件售价为随机变量ξ，故ξ的取值是60，100． 由(1)可知，该设备生产的零件尺寸X～N(100.3，0.32)，所以P(ξ＝100)＝P(99.7≤X≤100.3)＝P(μ－2σ≤X≤μ)＝0.477； P(ξ＝60)＝1－P(ξ＝100)＝0.523． 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 60 100 P 0.523 0.477 故E(ξ)＝60×0.523＋100×0.477＝79.08>70． 综上，可得方案2的利润更大． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $