5.2.3 简单复合函数的导数-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

5．2.3　简单复合函数的导数 [学习目标] 知识层面 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．　2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如y＝f(ax＋b)的导数)．　3.会解决与复合函数有关的简单问题. 素养层面 通过复合函数导数的运算，培养数学运算、逻辑推理的素养. 知识点一　 复合函数的概念 问题1.函数y＝ln(2x－1)和y＝(2x－1)ln x分别是如何构成的？ 提示：y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思． 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． [微提醒]　内、外层函数通常为基本初等函数． 函数y＝sin(2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是(　　) A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin(2x－1) 答案：C 解析：y＝sin(2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1.故选C． 规律方法 判断复合函数的复合关系的一般方法 从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系．这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数． 对点练1.(多选)下列哪些函数是复合函数(　　) A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－ C．y＝2ln x D．y＝cos 答案：ACD 解析：根据复合函数的定义可以选ACD． 学生用书↓第71页 知识点二　复合函数的求导法则 问题2.如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示：y＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x. 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [微提醒]　(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构．(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则．(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． (链教材P79例6)求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝cos(x2)； (3)y＝log2(2x＋1)； (4)y＝e3x＋2. 解：(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4， 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝. (2)令u＝x2，则y＝cos u，所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2). (3)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝＝. (4)设y＝eu，u＝3x＋2，则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2. 规律方法 1．求复合函数的导数的步骤 2．求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数； 　(2)求导时分清是对哪个变量求导； (3)计算结果尽量简洁．　　 对点练2.求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝e－xsin 2x； (3)y＝ln －1； (4)y＝cos (－2x)＋32x＋1. 解：(1)因为y＝， 所以y′＝＝. (2)y′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x ＝e－x(2cos 2x－sin 2x)． (3)因为y＝ln －1＝ln (2x＋1)－1， 所以y′＝××(2x＋1)′＝. (4)y′＝2sin(－2x)＋(2x＋1)′32x＋1ln 3 ＝－2sin 2x＋2·32x＋1ln 3. 简单复合函数的导数的综合应用 曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A． B．2 C．3 D．0 答案：A 解析：设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．因为y′＝，所以y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，所以y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．所以切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.故选A． 设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，求a的值． 解：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2. 因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax， 所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2. 学生用书↓第72页 [变式探究] 1．(变条件，变设问)本例3－1的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最短距离为2”，求m的值． 解：设切点P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝＝2， 所以x0＝1，即切点P(1，0)， 所以＝2，解得m＝8，或－12(舍)． 即实数m的值为8. 2．(变条件，变设问)把本例3－1条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln (x＋1)的切线”，求b的值． 解：函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝， 函数y＝ln (x＋1)的导函数为y′＝. 设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln (x＋1)上的切点横坐标分别为m，n， 则该直线方程可以写成y＝(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝(x－n)＋ln (n＋1)． 整理后对比得 解得因此b＝1－ln 2. 规律方法 利用导数的几何意义解题时的注意点 1．求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出． 2．切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组． 3．如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件． 4．与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个． 对点练3.已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f′(x)是f(x)的导函数，且a＝f′，求曲线y＝x3在x＝a处的切线方程． 解：由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x， 得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x， 则a＝f′＝3－2sin ＋2cos ＝1. 由y＝x3得y′＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3. 又x＝1时y＝1， 所以所求切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. 对点练4.设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，ω>0，0<φ<π的导函数为y＝f′(x)，若g(x)＝f(x)＋f′(x)为奇函数，且g(x)的最大值为2.求g(x)的表达式． 解：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)， 所以f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)， 则g(x)＝sin(ωx＋φ)＋ωcos(ωx＋φ)， g(x)max＝＝2，因为ω>0，所以ω＝1. 则g(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)＝2sin， 又因为函数y＝g(x)为奇函数， 则φ＋＝kπ，k∈Z， 因为0<φ<π，所以φ＝， 所以g(x)＝2sin＝－2sin x为奇函数， 所以g(x)＝－2sin x. 知识 1.复合函数的概念.2.复合函数的求导法则.3.复合函数的导数的应用 方法 转化法 易错 误区 求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化 1．(2024·重庆高二期末)函数y＝cos 2x的导函数为(　　) A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x C．y＝2sin 2x D．y＝－2sin 2x 答案：D 解析：y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x.故选D． 2．设函数f(x)＝ln (2x)＋，则f′(1)＝(　　) A． B．1 C．－ D．1－ 答案：B 解析：f′(x)＝，则f′(1)＝1.故选B． 3．(多选)(2024·山东德州高二期中)下列求函数的导数正确的是(　　) A．′＝ B．(e5x－4)′＝e5x－4 C．()′＝ D．′＝－2cos 答案：AC 解析：′＝，(e5x－4)′＝5e5x－4，()′＝··(2x－1)′＝，′＝2cos.故选AC． 4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________． 答案：2 解析：设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又曲线的导数为y′＝，所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，所以x0＝－1，所以a＝2. 课时测评19　简单复合函数的导数 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．函数y＝(2 024－8x)3的导数y′等于(　　) A．3(2 024－8x)2 B．－24x C．－24(2 024－8x)2 D．24(2 024－8x)2 答案：C 解析：y′＝3(2 024－8x)2×(2 024－8x)′＝3(2 024－8x)2×(－8)＝－24(2 024－8x)2.故选C． 2．若f(x)＝ex ln 2x，则f′(x)＝(　　) A．exln 2x＋ B．ex ln 2x－ C．ex ln 2x＋ D． 答案：C 解析：f′(x)＝ex ln 2x＋ex×＝ex ln 2x＋.故选C . 3．曲线y＝2xex－2在点(2，4)处切线的斜率等于(　　) A．2e B．e C．6 D．2 答案：C 解析：因为y＝2xex－2，所以y′＝2ex－2＋2xex－2，所以k＝y′|x＝2＝2e0＋4e0＝6.故选C． 4．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x 答案：ACD 解析：对于A，y＝cos ，则y′＝sin ，故A错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故B正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故C错误；对于D，y＝x sin 2x，则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故D错误．故选ACD． 5．(2024·河南驻马店高二期中)已知函数f(x)＝cos 2x·ln x，则f(x)的导函数为(　　 ) A．sin 2xln x＋ B．－sin 2xln x＋ C．－2sin 2xln x＋ D．2cos 2xln x＋ 答案：C　 解析：因为f(x)＝cos 2x·ln x，所以f′(x)＝(cos 2x)′·ln x＋cos 2x·(ln x)′＝－2sin 2xln x＋.故选C． 6．(多选)曲线y＝e2xcos 3x在点(0，1)处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为(　　) A．y＝2x＋6 B．y＝2x－4 C．y＝3x＋1 D．y＝3x－4 答案：AB 解析：由题设，y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，所以y′|x＝0＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b，则＝，解得b＝6或－4.所以直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.故选AB． 7．已知函数f(x)＝(2x－1)2＋5x，则f′(x)＝______________；曲线y＝f(x)在点(2，19)处的切线方程是__________________________． 答案：8x＋1　17x－y－15＝0 解析：f′(x)＝4(2x－1)＋5＝8x＋1.又f′(2)＝17，故切线方程是y－19＝17(x－2)，即17x－y－15＝0. 8．(2024·山东青岛高二期中)一个小球做简谐振动，其运动方程为x(t)＝2sin，其中x(t)(单位：cm)是小球相对于平衡点的位移，t(单位：s)为运动时间，则小球在t＝2时的瞬时速度为______cm/s. 答案：π 解析：因为x′(t)＝2πcos，所以x′(2)＝2πcos＝2πcos＝π，即小球在t＝2时的瞬时速度为π cm/s. 9．曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为____________． 答案：e2 解析：因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线的斜率为e2.于是切线方程为y－e2＝e2(x－4)．令x＝0，解得y＝－e2；令y＝0，解得x＝2.所以面积S＝×e2×2＝e2. 10．(10分)求下列函数的导数： (1)y＝a2x－3；(2分) (2)y＝x2cos ；(2分) (3)y＝e－xln x；(3分) (4)y＝.(3分) 解：(1)因为y＝a2x－3， 所以y′＝a2x－3ln a·(2x－3)′＝2a2x－3ln a. (2)因为y＝x2cos ， 所以y′＝2x cos ＋x2′ ＝2x cos －x2sin ′ ＝2x cos －2x2sin . (3)因为y＝e－xln x， 所以y′＝(e－x)′ln x＋e－x·＝－e－xln x＋＝. (4)因为y＝＝(1－2x)－， 所以y′＝－(1－2x)－×(－2)＝. (11—13每题5分，共15分) 11．(2024·吉林延边高二期中)若f(x)＝x2e1－mx＋mx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则m＝(　　) A．1 B．1或2 C．－1或2 D．2 答案：B 解析：f′(x)＝2xe1－mx＋x2·e1－mx·(－m)＋m＝2xe1－mx－mx2e1－mx＋m，根据导数的几何意义可得f′(1)＝2e1－m－me1－m＋m＝2，所以(e1－m－1)(2－m)＝0，所以e1－m－1＝0，或2－m＝0，所以m＝1，或m＝2.故选B． 12．设f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f(1＋n)(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 025(x)＝(　　) A．22 025(cos 2x－sin 2x) B．22 024(－cos 2x－sin 2x) C．22 025(cos 2x＋sin 2x) D．22 024(－cos 2x－sin 2x) 答案：A 解析：因为f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，所以f1(x)＝f′0(x)＝2(cos 2x－sin 2x)，f2(x)＝f′1(x)＝22(－sin 2x－cos 2x)，f3(x)＝f′2(x)＝23(－cos 2x＋sin 2x)，f4(x)＝f′3(x)＝24(sin 2x＋cos 2x)，通过以上可以看出fn(x)满足以下规律：对任意n∈N，fn＋4(x)＝24fn(x)．故f2 025(x)＝f506×4＋1(x)＝22 025(cos 2x－sin 2x)．故选A． 13．(新情境)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一，借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ex2，则f′(x)＝________，其在点(0，1)处的切线方程为________． 答案：2xex2　y＝1 解析：因为f(x)＝ex2，故f′(x)＝(x2)′ex2＝2xex2，则f′(0)＝0，故曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝1. 14．(10分)(2024·上海松江高二期中)已知函数f(x)＝sin2x＋sin 2x. (1)求f′(x)的解析式；(4分) (2)求曲线y＝f(x)在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．(6分) 解：(1)f′(x)＝2sin xcos x＋2cos 2x＝sin 2x＋2cos 2x. (2)由(1)知f′＝1，f＝，得切线方程为y＝x－＋， 与x，y轴的交点分别为，， 故所围成的三角形的面积S＝×＝. 15．(5分)(开放题)(2024·江苏南通高二期末)写出一个同时具有性质①②的函数f(x)＝____________．(f(x)不是常值函数)．① f′(x)为偶函数；② f′(x＋π)＝f′(x)． 答案：sin 2x(答案不唯一) 解析：由f′(x＋π)＝f′(x)知函数f′(x)的周期为π，则f′(x)＝cos 2x，同时满足f′(x)为偶函数，所以f(x)＝sin 2x满足条件. 16．(15分)(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′；(5分) (2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．(10分) 解：(1)因为f(x)＝eπx sin πx， 所以f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx ＝πeπx(sin πx＋cos πx)． 所以f′＝πe＝πe. (2)设切点坐标为P(x0，y0)， 由题意可知y′|x＝x0＝0. 又y′＝，所以y′|x＝x0＝＝0， 解得x0＝0，此时y0＝1. 即切点坐标为P(0，1)，切线方程为y－1＝0. 学生用书↓第73页 学科网（北京）股份有限公司 $$