5.2.3 简单复合函数的导数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

5.2.3　简单复合函数的导数 [学习目标]　1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．　2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 知识点一　复合函数的概念 函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？ 提示：y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思． 复合函数的概念 　　一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． [微提醒]　内、外层函数通常为基本初等函数． (多选)下列哪些函数是复合函数(　　) A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2 C．y＝esin x D．y＝sin BCD　[A不是复合函数；BCD都是复合函数．故选BCD.] 方法技巧 　　若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． 即时练1.(多选)下列哪些函数是复合函数(　　) A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－ C．y＝2ln x D．y＝cos ACD　[B不是复合函数；ACD都是复合函数．故选ACD.] 知识点二　求复合函数的导数 如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示：y＝sin 2x＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x. 复合函数的求导法则 　　一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [微提醒]　(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构． (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则． (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 求下列函数的导数： (1)y＝(3x＋6)3; (2)y＝e－0.05x＋2； (3)y＝ln(2x＋1)． 解析：　(1)函数y＝(3x＋6)3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋6的复合函数，根据复合函数求导法则，有y′x＝y′u·u′x＝(u3)′·(3x＋6)′＝3u2×3＝9(3x＋6)2. (2)函数y＝e－0.05x＋2可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋2 的复合函数，根据复合函数求导法则，有y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－0.05x＋2)′＝－0.05eu＝－0.05e－0.05x＋2. (3)函数y＝ln(2x＋1)可以看作函数y＝ln u和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则，有y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(2x＋1)′＝2×＝. 学生用书第59页 方法技巧 简单复合函数求导的一般步骤 其一般步骤为“分解—求导—回代”，即： (1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； (2)利用求导法则分层求导； (3)最终结果要将中间变量换成自变量． 注意：不要漏掉第3步回代的过程． 即时练2.求下列函数的导数： (1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)； (3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝. 解析：　(1)因为y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，所以y′x＝y′u·u′x＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12. (2)因为y＝ln(6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成， 所以y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(6x＋4)′＝＝＝. (3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sin u和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′·(2x＋1)′＝2cos u＝2cos(2x＋1)． (4)函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y′x＝y′u·u′x＝()′·(3x＋5)′＝＝. 应用一　与复合函数有关的切线问题 求曲线y＝在点(1，)处的切线方程． 解析：　y′＝()′＝(3x2＋1) ·(3x2＋1)′ ＝··6x＝， 当x＝1时，y′＝，所以切线的斜率为k＝， 所以过点(1，)的切线方程