5.2.2 导数的四则运算法则-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

5．2.2　导数的四则运算法则 [学习目标] 知识层面 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则．　2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 素养层面 通过对导数运算法则的推导，提高逻辑推理的素养；通过对运算法则的应用，提高数学运算的素养. 知识点一　f(x)±g(x)的导数 问题1.利用定义求函数的导数的一般步骤是什么？ 提示：第一步：求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；第二步：求平均变化率＝；第三步：取极限，得导数y′＝f′(x)＝ . 问题2.令y＝f(x)＋g(x)，如何求该函数的导数？ 提示：Δy＝[f(x＋Δx)＋g(x＋Δx)]－[f(x)＋g(x)]， ＝＝＋， y′＝ ＝ ＝f′(x)＋g′(x)． 所以有[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)． 两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． [微提醒]　推广式[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)． (链教材P76例3)求下列函数的导数： (1)y＝x4＋x3＋cos x－ln 5；(2)y＝ln x－sin x； 学生用书↓第68页 (3)y＝5x＋log2x－3； (4)y＝x7＋；(5)y＝(＋1). 解：(1)y′＝(x4＋x3＋cos x－ln 5)′＝(x4)′＋(x3)′＋(cos x)′－(ln 5)′＝4x3＋3x2－sin x. (2)y′＝(ln x－sin x)′＝(ln x)′－(sin x)′＝－cos x. (3)y′＝(5x＋log2x－3)′＝(5x)′＋(log2x)′－3′＝5xln 5＋. (4)y′＝(x7＋)′＝(x7)′＋(x)′＝7x6＋. (5)因为y＝－＋，所以y′＝－x－－x－＝－. 规律方法 应用加法、减法运算法则求导时的注意点 1．判断函数的解析式是否是由基本初等函数的和与差构成的形式，若不是，应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式． 2．熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提． 对点练1.(1)(多选)设函数f(x)＝sin x－cos x的导函数为f′(x)，则(　　) A．f′(x)＋f(x)＝2sin x B．f′(x)＋f(x)＝2cos x C．f′(x)－f(x)＝2sin x D．f′(x)－f(x)＝2cos x (2) 函数f(x)＝ln x＋3x－1的图象在点(1，f(1))处的切线方程是(　　 ) A．4x－y＋2＝0 B．x＋4y＋2＝0 C．x－4y－2＝0 D．4x－y－2＝0 答案：(1)AD 　(2)D 解析：(1)易得f′(x)＝cos x＋sin x，所以f′(x)＋f(x)＝2sin x，f′(x)－f(x)＝2cos x．故选AD． (2)由f(x)＝ln x＋3x－1可得f′(x)＝＋3，故f′(1)＝4，而f(1)＝2，故图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝4(x－1)＋2＝4x－2，即4x－y－2＝0.故选D． 知识点二　f(x)g(x)和的导数 问题3.若函数f(x)＝x2，g(x)＝x，那么[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)，′＝吗？ 提示：不等；因为′＝3x2，f′(x)g′(x)＝2x，所以′≠f′(x)g′(x)． 因为′＝1，＝＝2x，所以′≠. 问题4.′，′与f′(x)，g′(x)之间有什么关系呢？ 提示：′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，′＝. 两个函数乘积或商的导数 1．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 2.′＝(g(x)≠0)． [微思考]　如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，则函数cf(x)的导数是什么？ 提示：由于常数函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的乘法法则，得[cf(x)]′＝cf′(x)． (链教材P77例4)求下列函数的导数： (1)y＝xnex; (2)y＝；(3)y＝；(4)y＝x2sin x＋. 解：(1)y′＝(xn)′ex＋xn(ex)′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)． (2)y′＝′＝＝. (3)y′＝′＝ ＝ ＝＝. (4)由y＝x2sin x＋， 可得y′＝2xsin x＋x2cos x＋＝2xsin x＋x2cos x－. 学生用书↓第69页 规律方法 利用导数运算法则的策略 1．分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． 2．如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． 3．利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 对点练2.求下列函数的导数： (1)y＝(x2－9)；(2)y＝sin x·(cos x＋1)；(3)f(x)＝； (4)y＝. 解：(1)y＝(x2－9)＝x3－9x－3x＋＝x3－12x＋，所以y′＝3x2－12－. (2)y＝sin x·(cos x＋1)＝sin xcos x＋sin x， 所以y′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＋cos x＝cos 2x＋cos x. (3)因为f(x)＝，则f′(x)＝＝. (4)y′＝＝＝. 导数四则运算法则的应用 (链教材P77例5)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80<x<100)．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是(　　) A．－40元/吨 B．－10元/吨 C．10元/吨 D．40元/吨 答案：D 解析：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为c(x)＝(80<x<100)，所以c′(x)＝′＝，又因为c′(90)＝＝40，所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/吨．故选D． 已知f(x)＝aln x－.求： (1)当a＝1时，求f′(x)； (2)当f′(2)＝1时，求a的值； (3)f(x)在(1，f(1)处的切线与直线2x－y＝0平行，求a的值． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln x－，f′(x)＝＋. (2)由题知f′(x)＝＋，因为f′(2)＝1， 所以f′(2)＝＋＝1，解得a＝， 所以a＝. (3)由(2)知f′(x)＝＋， 因为f(x)在(1，f(1)处的切线与直线2x－y＝0平行， 所以f′(1)＝a＋1＝2，解得a＝1.此时f(1)＝－1，所以切线方程为y＋1＝2(x－1)，即y＝2x－3满足与直线2x－y＝0平行，所以a＝1. 规律方法 1．此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． 2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 3．分清“在某点”和“过某点”切线的不同． 对点练3.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0. (1)求a，b的值； (2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 解：(1)f(x)＝x3＋ax＋b的导数为f′(x)＝3x2＋a. 由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16. (2)因为切线与直线l：y＝－＋3垂直， 所以切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)， 由(1)可知f(x)＝x3＋x－16，则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1. 由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18， 即切点坐标为(1，－14)，或(－1，－18)． 所以切线方程为y＝4(x－1)－14，或y＝4(x＋1)－18，即y＝4x－18，或y＝4x－14. 知识 1.导数的运算法则. 2.综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数 方法 转化法 易错 误区 对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则 学生用书↓第70页 1．(2024·吉林长春高二期末)函数y＝x3－3x2－5x＋6的导数为(　　) A．y′＝3x2－6x＋1 B．y′＝3x2－6x－5 C．y′＝x2－3x＋1 D．y′＝x2－3x－5 答案：B 解析：根据导数的运算法则可知，y′＝3x2－6x－5.故选B． 2．设函数y＝－2exsin x，则y′等于(　　) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 答案：D　 解析：y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．故选D． 3．(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．′＝1＋ B．′＝ C．[(3x＋5)2]′＝2(3x＋5)2 D．(2x＋cos x)′＝2xln 2－sin x 答案：BD　 解析：对于A，′＝1－，故A错误；对于B，′＝＝，故B正确；对于C，[(3x＋5)2]′＝(9x2＋30x＋25)′＝18x＋30，故C错误；对于D，(2x＋cos x)′＝2xln 2－sin x，故D正确．故选BD． 4．设函数f(x)＝在点(－1，0)处的切线与直线y＝kx＋b垂直，则k＝________． 答案：2 解析：f′(x)＝＝，故f′(－1)＝－，因为切线与直线y＝kx＋b垂直，故－×k＝－1，即k＝2. 课时测评18　导数的四则运算法则 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．(2024·四川成都高二期中)函数f(x)＝x－sin x的导函数为(　　) A．f′(x)＝x－cos x B．f′(x)＝1－cos x C．f′(x)＝x＋cos x D．f′(x)＝1＋cos x 答案：B 解析：f′(x)＝1－cos x．故选B． 2．(2024·山东聊城高二期中)已知函数f(x)＝xcos x－sin x，则f′的值为(　　) A． B．－ C．－1 D．－π 答案：B 解析：因为f(x)＝xcos x－sin x，所以f′(x)＝cos x＋x(－sin x)－cos x＝－xsin x，所以f′＝－sin＝－.故选B． 3．已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝(　　) A．0 B．－4 C．－2 D．2 答案：B 解析：由条件知f′(x)＝2x＋2f′(1)，所以f′(1)＝2×1＋2f′(1)，得f′(1)＝－2.所以f′(x)＝2x－4，所以f′(0)＝－4.故选B． 4．(多选)(2024·福建漳州高二期末)下列求导运算正确的是(　　) A．′＝1＋ B．(xln x)′＝ln x＋1 C．(x2cos x)′＝－2xsin x D．′＝ 答案：BD 解析：对于A，′＝x′＋′＝1－，故A错误；对于B，(xln x)′＝ln x＋1，故B正确；对于C，(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故C错误；对于D，′＝＝，故D正确．故选BD． 5．(多选)(2024·辽宁葫芦岛高二期末)若函数f(x)的导函数为奇函数，则f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝x4＋2 B．f(x)＝x3－2x C．f(x)＝x－x2 D．f(x)＝xsin x 答案：AD　 解析：对于A，因为f(x)＝x4＋2，所以f′(x)＝4x3是奇函数，故A正确；对于B，因为f(x)＝x3－2x，所以f′(x)＝3x2－2是偶函数，故B错误；对于C，因为f(x)＝x－x2，所以f′(x)＝1－2x不是奇函数，故C错误；对于D, 因为f(x)＝xsin x，所以f′(x)＝sin x＋xcos x是奇函数，故D正确．故选AD． 6．若函数f(x)＝，则f′(x)＝________． 答案： 解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝. 7．(开放题)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)＝sin x，则函数f(x)的解析式可能是_________________________，也可能是_________________________． 答案：f(x)＝－cos x(答案不唯一)　f(x)＝－cos x＋1(答案不唯一) 解析：由于(cos x)′＝－sin x，所以f(x)的解析式可能是f(x)＝－cos x，或f(x)＝－cos x＋1.(注：其他满足题意的解析式均可．) 8．曲线C：y＝x ln x在点M(e，e)处的切线方程为________________． 答案：y＝2x－e 解析：y′＝ln x＋1，y′|x＝e＝ln e＋1＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，化简得y＝2x－e. 9．(10分)求下列函数的导数： (1)y＝x2cos x；(2分) (2)y＝；(2分) (3)y＝ln x＋4x；(3分) (4)y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)．(3分) 解：(1)y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x. (2)法一：y′＝′＝＝. 法二：因为＝＝1－， 所以′＝′＝. (3)y′＝(ln x＋4x)′＝(ln x)′＋(4x)′＝＋4x ln 4. (4)因为y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)＝(x2－1)(x2＋1)＝x4－1，所以y′＝(x4－1)′＝4x3. 10．(10分)(2024·江苏扬州高二期中)已知二次函数f(x)＝ax2＋ax－2b，其图象过点(2，－4)，且f′(1)＝－3. (1)求a，b的值；(4分) (2)设函数g(x)＝xln x＋f(x)，求曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程．(6分) 解：(1)因为f(x)＝ax2＋ax－2b， 则f′(x)＝2ax＋a， 所以解得 (2)因为g(x)＝xln x－x2－x＋2的定义域为(0，＋∞)，且g′(x)＝ln x＋1－2x－1＝ln x－2x， 所以g′(1)＝－2，g(1)＝0，故切点坐标为(1，0)， 所以曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0. (11—13每题5分，共15分) 11．(多选)以下四个式子分别是函数在其定义域内的求导，其中正确的是(　　) A．′＝ B．(2cos x)′＝－2sin x C．′＝3x D．(lg x)′＝ 答案：BC 解析：′＝－，(2cos x)′＝－2sin x，′＝3x，(lg x)′＝.故选BC． 12．已知函数f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝－x ln(－x)＋1，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为(　　) A．y＝－x B．y＝－x＋2 C．y＝x D．y＝x－2 答案：C 解析：因为x>0时，f(x)＝f(－x)＝x ln x＋1，f(1)＝1，f′(x)＝ln x＋1，f′(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即y＝x.故选C． 13．已知f(x)＝xex，则f′(1)＝________；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则实数a的取值范围是________． 答案：2e　(－4，0) 解析：f′(x)＝(x＋1)ex，所以f′(1)＝2e，设点B(x0，x0ex0)为曲线C上任意一点．因为y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线C在点B处的切线方程为y－x0ex0＝(x0＋1)ex0(x－x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0－x0ex0＝(x0＋1)ex0(a－x0)，即x－ax0－a＝0无实数根，所以Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0.所以实数a的取值范围是(－4，0)． 14．(10分)已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C． (1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围；(4分) (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．(6分) 解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3， 则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由条件和(1)中结论可知， 解得－1≤k＜0或k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3＜0，或x2－4x＋3≥1， 得x∈(－∞，2－]∪(1，3)∪[2＋，＋∞)． 15．(5分)(新定义)(2024·江西抚州高二期末)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析作出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在区间(a，b)内的导函数为f′(x)，f′(x)在区间(a，b)内的导函数为f″(x)，在区间(a，b)内f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在区间(a，b)内为“凸函数”，则下列函数在其定义域内是“凸函数”的是(　　) A．f(x)＝x＋2sin x B．f(x)＝x－ex C．f(x)＝x－ln x D．f(x)＝ 答案：B 解析：对于A，f′(x)＝1＋2cos x，则f″(x)＝－2sin x，显然定义域内f″(x)有正有负，故不是“凸函数”；对于B，f′(x)＝1－ex，则f″(x)＝－ex<0，故是“凸函数”；对于C，f′(x)＝1－，则f″(x)＝>0，故不是“凸函数”；对于D，f′(x)＝，则f″(x)＝，显然定义域内f″(x)有正有负，故不是“凸函数”．故选B． 16．(10分)已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式；(4分) (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．(6分) 解：(1)由题意得f′(x) ＝ ＝＝， 因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切， 所以解得 则f(x)＝. (2)由(1)可得，f′(x)＝， 所以直线l的斜率 k＝f′(x0)＝＝4， 令t＝，则t∈(0，1]， 所以k＝4(2t2－t)＝8－， 则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4， 所以直线l的斜率k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$