5.2.2 导数的四则运算法则（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦“导数的四则运算法则”核心知识点，前承基本初等函数导数公式，通过和差、积、商运算法则的系统梳理，为后续复合函数求导等内容搭建学习支架，形成完整知识脉络。 资料以质点运动、网购支付等实际情境导入，引导学生用数学眼光观察现实问题。通过具体函数实例猜想法则，培养数学思维，结合切线方程、动车加速度等应用案例，强化数学语言表达。分层训练与规律总结助力教师授课，也方便学生课后查漏补缺，提升数学运算与建模能力。

5.2.2　导数的四则运算法则 课标要求 情境导入 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则（数学运算）. 2.会用导数的四则运算法则求解相关问题（数学运算、数学建模）. 　　利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，但实际生活中所涉及到的函数模型多数为基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，如某质点的运动距离s与时间t的关系为s（t）＝t2＋；某商品网购量x（件）与支付款y（元）之间的关系为y＝10x－ln x（x≥1）等.由基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得到的函数该如何求导呢？ 　　 知识点一｜f（x）±g（x）的导数 问题1　设f（x）＝x2，g（x）＝x，试计算f'（x），g'（x），[f（x）＋g（x）]'以及[f（x）－g（x）]'，并猜想它们有什么关系？ 提示：f'（x）＝2x，g'（x）＝1，[f（x）＋g（x）]' ＝ ＝（Δx＋2x＋1）＝2x＋1， 同理[f（x）－g（x）]'＝2x－1. 猜想[f（x）＋g（x）]'＝f'（x）＋g'（x），[f（x）－g（x）]'＝f'（x）－g'（x）. 【知识梳理】 两个函数和或差的导数：[f（x）±g（x）]'＝　f'（x）±g'（x）　. 　　提醒：推广式[f1（x）±f2（x）±…±fn（x）]'＝f'1（x）±f'2（x）±…±f'n（x）. 【例1】　（链接教材P76例3）求下列函数的导数： （1）y＝x＋cos x－2； （2）y＝2x＋； （3）y＝x2－2sin cos . 解：（1）y'＝（x）'＋（cos x）'－（2）'＝1－sin x. （2）y'＝（2x）'＋（）'＝2xln 2＋. （3）y＝x2－2sin cos＝x2－sin x， 则y'＝（x2）'－（sin x）'＝2x－cos x. 【规律方法】 应用加法、减法运算法则求导时的注意点 （1）判断函数的解析式是否是由基本初等函数的和与差构成的形式，若不是，应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式； （2）熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提. 训练1　求下列函数的导数： （1）y＝x5－x3＋； （2）y＝lg x－2cos2. 解：（1）y'＝（x5）'－（x3）'＋'＝5x4－3x2－. （2）y＝lg x－－1＝lg x－cos x－1， 则y'＝（lg x）'－（cos x）'－（1）'＝＋sin x. 知识点二｜f（x）g（x）和的导数 问题2　试用f（x）＝x2，g（x）＝x，说明[f（x）g（x）]'与f'（x）g'（x），以及与是否相等？ 提示：f'（x）＝2x，g'（x）＝1， [f（x）g（x）]'＝（x3）'＝3x2≠2x·1； ＝（x）'＝1≠， 即[f（x）g（x）]'≠f'（x）g'（x），≠. 【知识梳理】 1.[f（x）g（x）]'＝　f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　，特别地，[cf（x）]'＝　cf'（x）　. 2.＝　（g（x）≠0）　，特别地，＝　－　（f（x）≠0）. 　　提醒：注意求导的先后顺序，特别是商的导数. 【例2】　（链接教材P77例4）求下列函数的导数： （1）y＝x2＋xln x； 解： y'＝（x2＋xln x）'＝（x2）'＋（xln x）'＝2x＋（x）'ln x＋x（ln x）'＝2x＋ln x＋x·＝2x＋ln x＋1. （2）y＝； 解： y'＝'＝ ＝＝. （3）y＝； 解：y'＝'＝＝. （4）y＝（2x2－1）（3x＋1）. 解：法一　y'＝'＝（2x2－1）'·（3x＋1）＋（2x2－1）（3x＋1）' ＝4x（3x＋1）＋（2x2－1）×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. 法二　∵y＝（2x2－1）（3x＋1）＝6x3＋2x2－3x－1， ∴y'＝（6x3＋2x2－3x－1）'＝（6x3）'＋（2x2）'－（3x）'－（1）'＝18x2＋4x－3. 【规律方法】 1.如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等. 2.利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 训练2　求下列函数的导数： （1）y＝（x2＋1）（x－1）； 解：∵y＝（x2＋1）（x－1）＝x3－x2＋x－1， ∴y'＝3x2－2x＋1. （2）y＝x2＋tan x； 解：∵y＝x2＋，∴y'＝（x2）'＋' ＝2x＋ ＝2x＋. （3）y＝. 解：y'＝ ＝＝ . 知识点三｜导数运算法则的应用 角度1　导数在实际生活中的应用 【例3】　（链接教材P77例5）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h（t）＝，当t＝3时，水面下降的速度为（　　） A.－ cm/s　　　　　　 B. cm/s C.－ cm/s D. cm/s 解析：B　由题意得，h'（t）＝＝，所以h'（3）＝＝－，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B. 角度2　曲线的切线问题 【例4】　（1）曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为（　A　） A.y＝－2x＋1 B.y＝－3x＋2 C.y＝2x－3 D.y＝x－2 解析： y＝的导数为y'＝－，在点（1，－1）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝－2，∴曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1. （2）若曲线f（x）＝xsin x在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝（　D　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析：由题可得f'（x）＝sin x＋xcos x，f'（）＝1.∴曲线f（x）＝xsin x在x＝处的切线的斜率为1.∵曲线f（x）＝xsin x在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，且直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，∴（－）×1＝－1，解得a＝2.故选D. 角度3　含f'（c）函数的求导问题 【例5】　设函数f（x）的导数为f'（x），且f（x）＝x3＋f'（）x2－x，则f'（1）＝　0　. 解析：因为f（x）＝x3＋f'（）x2－x，所以f'（x）＝3x2＋2f'（）x－1，所以f'（）＝3×（）2＋2f'（）×－1，则f'（）＝－1.所以f'（x）＝3x2－2x－1，故f'（1）＝0. 【规律方法】 1.解决有关切线问题的关注点 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以转化为这三个要素间的关系； （2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点. 2.含f'（c）函数的求导问题的解题策略 含f'（c）函数在求导时一定要抓住f'（c）为常数这一特点，也就是说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把f'（c）一律充当常系数处理. 训练3　（1）若函数f（x）满足f（x）＝－f'（1）·x2－x，则f'（1）＝（　A　） A.0 B.2 C.1 D.－1 解析： f'（x）＝x2－2f'（1）x－1，令x＝1，则f'（1）＝12－2f'（1）－1，解得f'（1）＝0.故选A. （2）曲线y＝（x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积为　1　. 解析：由题意可知，y'＝x·ex，y'｜x＝1＝2，∴切线方程为y＝2（x－1），即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.∴曲线y＝（x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积S＝×2×1＝1. 1.函数y＝x2sin x的导数为（　　） A.y'＝2x＋cos x B.y'＝x2cos x C.y'＝2xcos x D.y'＝2xsin x＋x2cos x 解析：D　y'＝（x2sin x）'＝（x2）'·sin x＋x2·（sin x）'＝2xsin x＋x2cos x. 2.函数f（x）＝的导数f'（x）＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　f'（x）＝'＝＝＝. 3.某物体作直线运动，其运动规律是s＝t2＋（t的单位：s，s的单位：m），则它在第4 s时的瞬时速度应该为　　　m/s. 解析：由题意得s＝t2＋，可得瞬时速度v＝s'＝2t－，故它在第4 s时的瞬时速度应该为2×4－＝（m/s）. 4.若函数f（x）＝f'（－1）x2－2x＋3，则f'（－1）＝　－1　. 解析：因为f（x）＝f'（－1）x2－2x＋3，所以f'（x）＝f'（－1）x－2.所以f'（－1）＝f'（－1）×（－1）－2，所以f'（－1）＝－1. 课堂小结 1.理清单 （1）导数的四则运算法则； （2）导数四则运算法则的应用. 2.应体会 导数四则运算法则的应用体现了转化与化归思想. 3.避易错 对于函数求导，一般要遵循先化简、变形，再求导的基本原则. 1.函数y＝的导数是（　　） A.y'＝－ B.y'＝－sin x C.y'＝－ D.y'＝－ 解析：C　y'＝'＝ ＝＝－. 2.已知函数f（x）＝x（19＋ln x），若f'（x0）＝20，则x0＝（　　） A.e2 B.1 C.ln 2 D.e 解析：B　 f'（x）＝19＋ln x＋x·＝20＋ln x，由f'（x0）＝20，得20＋ln x0＝20，则ln x0＝0，解得x0＝1.故选B. 3.曲线y＝sin x＋ex在点（0，1）处的切线方程是（　　） A.x－3y＋3＝0 B.x－2y＋2＝0 C.2x－y＋1＝0 D.3x－y＋1＝0 解析：C　y'＝（sin x＋ex）'＝cos x＋ex，当x＝0时，y'＝2，故曲线在点（0，1）处的切线方程是y－1＝2（x－0），即2x－y＋1＝0. 4.据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境.“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人.假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度v与行驶时间t的关系为v＝1.4t＋0.3t2，t∈，则当t＝10 s时，“高原版”复兴号动车的加速度为（　　） A.4.4 m/s2 B.7.4 m/s2 C.17 m/s2 D.20 m/s2 解析：B　因为v＝1.4t＋0.3t2，t∈，所以v'＝0.6t＋1.4，故当t＝10时，v'＝6＋1.4＝7.4，即t＝10 s时，“高原版”复兴号动车的加速度为7.4 m/s2，故选B. 5.已知f（x）＝x2＋sin，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的大致图象是（　　） 解析：A　∵f（x）＝x2＋sin＝x2＋cos x，∴f'（x）＝x－sin x.易知f'（x）＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D.由f'＝－＜0，排除C，故选A. 6.〔多选〕若函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（　　） A.f（x）＝3cos x B.f（x）＝x＋sin x C.f（x）＝x＋ D.f（x）＝ex＋x 解析：BC　由题意可知，f'（x）必为偶函数.对于A选项，f'（x）＝－3sin x为奇函数；对于B选项，f'（x）＝1＋cos x为偶函数；对于C选项，f'（x）＝1－为偶函数；对于D选项，f'（x）＝ex＋1为非奇非偶函数.故选B、C. 7.〔多选〕已知函数f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，其导函数为f'（x），则（　　） A.f（0）＝－1 B.f'（0）＝1 C.f（0）＝1 D.f'（0）＝－1 解析：BC　因为f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，所以f（0）＝2－f'（0）.因为f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）·sin x，所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故选B、C. 8.已知函数f（x）＝若f'（a）＝12，则实数a＝　或－4　. 解析：f'（x）＝若f'（a）＝12，则或解得a＝或a＝－4. 9.曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是　　. 解析：设曲线y＝xln x在点（x0，y0）处的切线与直线x－y－2＝0平行.∵y'＝ln x＋1，∴y'＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是. 10.求下列函数的导数： （1）y＝ln x＋； （2）y＝； （3）y＝（x2＋9）（x－）； （4）y＝. 解：（1）y'＝（ln x＋）'＝（ln x）'＋（）'＝－. （2）y'＝（）'＝＝－. （3）y＝x3＋6x－，y'＝3x2＋＋6. （4）y'＝ ＝＝. 11.已知函数f（x）＝（x－2 023）（x－2 024）（x－2 025）（x－2 026），则f（x）的图象在x＝2 025处的切线方程为（　　） A.2x＋y－4 050＝0 B.x＋y－2 025＝0 C.2x－y－4 050＝0 D.x－y－2 025＝0 解析：A　因为f（x）＝（x－2 023）（x－2 024）·（x－2 025）（x－2 026）＝（x－2 025）（x－2 023）·（x－2 024）（x－2 026），则f'（x）＝（x－2 023）·（x－2 024）（x－2 026）＋·'，所以f'＝2×1×＝－2，又f（2 025）＝0，所以f（x）的图象在x＝2 025处的切线方程为y＝－2，即2x＋y－4 050＝0，故选A. 12.〔多选〕给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝[f'（x）]'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数.以下四个函数在（0，）上是凸函数的是（　　） A.f（x）＝sin x＋cos x B.f（x）＝ln x－2x C.f（x）＝－x3＋2x－1 D.f（x）＝xex 解析：ABC　对于A，f（x）＝sin x＋cos x，f'（x）＝cos x－sin x，则f″（x）＝－sin x－cos x，当x∈（0，）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于B，f（x）＝ln x－2x，f'（x）＝－2，则f″（x）＝－，当x∈（0，）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于C，f（x）＝－x3＋2x－1，f'（x）＝－3x2＋2，f″（x）＝－6x，当x∈（0，）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于D，f（x）＝xex，f'（x）＝（x＋1）ex，f″（x）＝（x＋2）ex，则f″（x）＞0在x∈（0，）上恒成立，故不是凸函数. 13.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，直线y＝kx＋2与函数f（x）的图象相切，如图所示，则函数g（x）＝xf（x）的图象在点（3，g（3））处的切线方程为　y＝3　. 解析：因为直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，由图象可知f（3）＝1，又点（3，1）在直线l上，所以3k＋2＝1，从而k＝－，所以f'（3）＝k＝－，因为g（x）＝xf（x），所以g（3）＝3f（3）＝3，g'（x）＝f（x）＋xf'（x），则g'（3）＝f（3）＋3f'（3）＝1＋3×＝0，即函数g（x）＝xf（x）的图象在点（3，g（3））处的切线斜率为0，所以函数g（x）＝xf（x）的图象在点（3，g（3））处的切线方程为y＝3. 14.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3（a≠0），其导函数f'（x）＝2x－8. （1）求a，b的值； （2）设函数g（x）＝exsin x＋f（x），求曲线g（x）在x＝0处的切线方程. 解：（1）因为f（x）＝ax2＋bx＋3（a≠0）， 所以f'（x）＝2ax＋b， 又f'（x）＝2x－8， 所以a＝1，b＝－8. （2）由（1）可知g（x）＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g'（x）＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以g'（0）＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7， 又g（0）＝3，所以曲线g（x）在x＝0处的切线方程为y－3＝－7（x－0），即7x＋y－3＝0. 15.已知函数f（x）＝，且f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切. （1）求函数f（x）的解析式； （2）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围. 解：（1）由题意得 f'（x）＝ ＝＝， 因为f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切， 所以 解得 则f（x）＝. （2）由（1）可得，f'（x）＝， 所以直线l的斜率 k＝f'（x0）＝＝4， 令t＝，则t∈（0，1]， 所以k＝4（2t2－t）＝8－， 则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4， 所以直线l的斜率k的取值范围是. 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $