第四章 重点题型强化(一) 数列的通项-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

重点题型强化(一) 数列的通项 　 第四章　数列 1.会用观察归纳法和公式法求通项． 2.会用an与Sn的关系求通项． 3.会利用构造法解决由递推公式求通项问题． 学习目标 内容索引 随堂演练 1 课时测评 2 技法一　观察归纳法 分别写出下列数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； 解：观察可得该数列的奇数项为负，偶数项为正，且后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，所以该数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． 例1 (4)m，n，m，n，m，n，…. 解：因为这个数列的奇数项为m，偶数项为n， 规律方法 观察归纳法的适合类型及关注点 1．适合类型：已知数列的前几项求数列的通项公式． 2．关注点：根据前几项的规律重点关注如下几个特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号的特征等，并对此进行归纳、联想． 技法二　公式法 已知等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d， 例2 (2)设bn＝an＋2n，求数列 的前n项和Sn. 当an＝3n－5时，bn＝(3n－5)＋2n， 规律方法 公式法的适合类型 1．已知给出的数列是等差数列或者是等比数列时，可以直接利用等差、等比数列的通项公式进行求解． 2．已知给出的是an与Sn的关系式，可以利用公式an＝ 进行求解． 对点练1.数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn，n＝1，2，3，…. (1)求数列{an}的通项公式； 解：已知an＋1＝2Sn，则an＝2Sn－1(n≥2)， 两式相减可得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an， 即an＋1＝3an，即 ＝3(n≥2)． 所以当n≥2时，数列{an}是公比为3的等比数列，a2＝2S1＝2a1＝2， 则an＝a2·3n－2＝2·3n－2(n≥2)， 因为a1＝1，不符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝ (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解：由(1)知，Sn＝1＋2×30＋2×31＋…＋2×3n－2＝1＋ ＝1＋ 3n－1－1＝3n－1， 所以数列{an}的前n项和Sn＝3n－1. 技法三　构造法 模型1　形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)的递推关系求通项公式 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.求数列{an}的通项公式． 解：令an＋1＋t＝2(an＋t)，所以an＋1＝2an＋t， 又因为an＋1＝2an＋4，所以t＝4， 所以an＋1＋4＝2(an＋4)， 所以 ＝2， 因为a1＝－2，所以a1＋4＝2. 所以{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． 所以an＋4＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－4. 例3 规律方法 用待定系数法解决此类问题一般步骤 第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步：由待定系数法，解得t＝ ； 第三步：写出数列 的通项公式； 第四步：写出数列{an}的通项公式． 注意 形如an＋1＝pan＋qn＋r的模型，可以利用待定系数法构造等比数列 求解． 对点练2.(1)(2024·江苏宿迁高二月考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋4.则数列{an}的通项公式为___________． 令an＋1＋t＝3(an＋t)，所以an＋1＝3an＋2t，又因为an＋1＝3an＋4，所以2t＝4, 即t＝2，所以an＋1＋2＝3(an＋2)，所以 ＝3，因为a1＝1，所以a1＋2＝3.所以{an＋2}是以3为首项，3为公比的等比数列．所以an＋2＝3×3n－1＝3n，即an＝3n－2. an＝3n－2 (2)(2024·江苏南通高二阶段测试)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n－1.证明数列{an＋2n＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式． 答案：因为an＋1＝2an＋2n－1，所以an＋1＋2(n＋1)＋1＝2(an＋2n＋1)，即 ＝2，所以数列{an＋2n＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋2n＋1＝4×2n－1，所以an＝2n＋1－2n－1. 模型2　形如an＝pan－1＋tqn(p≠1)的递推关系求通项公式 已知数列{an}满足an＝3an－1＋3n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 解：因为an＝3an－1＋3n，等式两边同时除以3n， 例4 规律方法 利用同除法解决此类问题的一般步骤 第一步：等式两边同除以qn，不管这一项是qn－1或qn＋1，都同除以qn，为的是数列的下标和q的指数对应起来； 第二步：写出数列an与qn构造的式子； 第三步：写出数列{an}的通项公式． 注意 形如an＋1＝pan＋qan＋1an的模型，可以利用同除法构造等比数列求解． 对点练3.(2024·海南三亚高二月考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋4n，则数列{an}的通项公式为__________． an＝4n－3n 模型3　形如an＋1＝ (p，q，r≠0)的递推关系求通项公式 在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝ ，n∈N*，求{an}的通项公式． 例5 规律方法 利用取倒数法解决此类问题的一般步骤 第一步：等式两边同时取倒数； 第二步：变形构造出线性递推式an＝Aan－1＋B(n≥2，A，B是常数)； 第三步：利用待定系数法求出原数列的通项． √ √ √ 返回 课堂小结 方法 观察归纳法，公式法，构造法(待定系数、同除、取倒数) 易错 误区 构造的新的数列的首项易误认为还是a1 随堂演练 返回 √ 2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为 A．15 B．23 C．32 D．42 因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝3×23－1＝23.故选B． √ 3．已知数列{an}为等比数列，且a5a6＝2，数列{bn}满足b1＝1，且 ＝an，则b11＝____． 32 4．已知数列{an}的各项均为正数，a1＝6，点An(an， )在抛物线y2＝x＋1上，则数列{an}的通项公式是__________． an＝n＋5 因为点An(an， )在抛物线y2＝x＋1上，所以an＋1－an＝1，所以数列{an}是以1为公差的等差数列．因为a1＝6，所以an＝6＋(n－1)×1＝n＋5. 返回 课时测评 返回 1．在数列{an}中， ＝1＋ ，若an＝46，a1＝1，则n的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．9 B．10 C．11 D． 12 由 ＝1＋ ，得an＋1－an＝n，所以由an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，得an＝(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋2＋1＋1＝ ＋1.由an＝46，解得 ＋1＝46，所以n＝10(负值舍去)．故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．(2024·重庆高二月考)在数列{an}中，a1＝2，an＝n(an＋1－an)，则数列{an}的通项公式是 A．n B．n＋1 C．2n D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为 A． 3 B． 18 C． 54 D． 152 √ 由题意可得，当n＝1时，a2＝2a1＋2，即a1q＝2a1＋2①，当n＝2时，a3＝2(a1＋a2)＋2，即a1q2＝2(a1＋a1q)＋2②，联立①②可得a1＝2，q＝3，则a4＝a1q3＝2×33＝54.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．(多选)已知无穷数列{an}的前3项分别为2，4，8，则下列结论正确的是 A．若{an}是等比数列，则an＝2n B．若{an}满足an＋3＝an，则a2 024＝4 C．若{an}满足an＋3＝an，则a2 024＝8 D．若{an}满足an＋1＝2n＋an，则an＝n2－n＋2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 无穷数列{an}的前3项分别为2，4，8，若{an}是等比数列，则首项为2，公比为2，所以an＝2n，故A正确；若{an}满足an＋3＝an，则该数列是最小正周期为3的周期数列，a2 024＝a3×674＋2＝a2＝4，故B正确，C错误；若{an}满足an＋1＝2n＋an，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－ an－3)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，得an＝(2n－2)＋(2n－4)＋(2n－6)＋…＋4＋2＋2＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋2＝2× ＋2＝n2－n＋2，故D正确．故选ABD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．(开放题)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为_____________． an＝(2n－1)·3n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．已知数列{an}满足a1＝1，若an＋1＝ ，则数列{an}的通项公式an＝ ________；若an＋1＝ ，则数列{an}的通项公式an＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．(10分)(开放题)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4.有以下三个条件： ①an＋1＝4an－4an－1(n≥2)； ②nan＋1＝2(n＋1)an； 从上述三个条件中任选一个条件，求数列{an}的通项公式． 解：选①：由an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，得an＋1－2an＝2(an－2an－1)， 故{an＋1－2an}是首项为a2－2a1＝2，公比为2的等比数列， 则an＋1－2an＝2·2n－1＝2n， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以an＝n·2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)(开放题)已知数列{an}中，a1＝2，______，其中n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式；(3分) 从①前n项和Sn＝n2＋n，②an＋1－2＝an，③a4＝8且2an＋1＝an＋an＋2，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．(4分) 解：选①：因为a1＝2，Sn＝n2＋n， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n， 当n＝1时，等式也成立， 所以an＝2n，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选②：由a1＝2，an＋1－2＝an， 所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以an＝2＋(n－1)×2＝2n，n∈N*. 选③：由a1＝2，a4＝8且2an＋1＝an＋an＋2， 可得数列{an}为等差数列，设公差为d， 则d＝ ＝2， 所以an＝2＋(n－1)×2＝2n，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设bn＝2an，求证：数列{bn}是等比数列；(3分) 解：证明：bn＝2an＝22n＝4n，可得 ＝4， 所以数列{bn}是首项和公比均为4的等比数列． (3)求数列{an＋bn}的前n项和Tn. 解：因为an＋bn＝2n＋4n， 所以Tn＝(2＋4＋…＋2n)＋(4＋42＋…＋4n)＝n2＋n＋ ＝n2＋n＋ (4n＋1－4)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2n＝2an，则a2 024＝ A．22 024－2 B．22 025－2 C．22 026－2 D．22 023－2 √ 当n＝1时，S1＋2＝2a1，a1＝2，当n≥2时，Sn－1＋2(n－1)＝2an－1，Sn＋2n－Sn－1－2(n－1)＝2an－2an－1，即an＝2an－1＋2，所以an＋2＝2(an－1＋2)， ＝2，{an＋2}是以a1＋2＝4为首项，以2为公比的等比数列．所以an＋2＝4·2n－1，an＝2n＋1－2，a2 024＝22 025－2.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．设正项数列{an}满足a1＝1，an＝2a (n≥2)，则数列{an}的通项公式为______________． an＝22n－1－1 当n≥2时，对an＝2a 两边同时取对数，得log2an＝2log2an－1＋1，即log2an＋1＝2(log2an－1＋1)，设bn＝log2an＋1，则bn＝2bn－1(n≥2)，所以数列 是以b1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝2n－1，所以log2an＋1＝2n－1，所以an＝22n－1－1(n≥2)，当n＝1时，上式也成立，故an＝22n－1－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率．问经过多少年后，该项目的资金可以达到超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2≈0.3) 解：设该项目逐年的项目资金数依次为a1，a2，a3，…，an，n∈N*. 则由已知得an＋1＝an(1＋25%)－200， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a1＝1 000×(1＋25%)－200＝1 050， 所以a1－800＝250， 由题意知an≥4 000， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即n(1－3lg 2)≥4lg 2. 因为lg 2≈0.3，所以不等式化为0.1n≥1.2， 所以n≥12. 故经过12年后，该项目资金可达到超过翻两番的目标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(2024·江苏淮安高二期末)已知数列{an}满足a1＝2，an＝an－1＋ (n≥2且n∈N*)．若an<M恒成立，则M的最小值是 A．2 B． C． D．3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 数 列 返回 (3)，3，，，3，…； 因为a1＝1，an＋1＝，所以＝＝＋3，所以＋3＝2.又＋3＝4，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；＋3＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝，故B正确；an＋1－an＝－＝＝，因为n≥1，所以2n＋2－3>0，2n＋1－3>0，2n＋1>0，所以an＋1－an<0，所以{an}为递减数列，故C错误；＝2n＋1－3，则Tn＝(22＋23＋24＋…＋2n＋1)－3n＝－3n＝2n＋2－3n－4，故D正确．故选ABD． ，－ 选③：因为a1＋＋＋…＋＝(n∈N*)①， ＝ 16．(10分)(2024·湖南株洲高二检测)已知数列{an }满足a1＝，an＋1＝. (1)求证：数列为等比数列；(4分) 即＝1＋，所以＋＋…＋＝ ＋＝n＋＝n＋1－， $$