第12讲 观察、抽象 （5个知识点+5种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

第12讲 观察、抽象 （5个知识点+5种题型+过关检测） 知识点1．认识立体图形 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内． 知识点2．几何体的表面积 （1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和） （2）常见的几种几何体的表面积的计算公式 ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②圆锥体表面积：πr2+（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） ③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长） 知识点3．认识平面图形 （1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 知识点4．简单几何体的三视图 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 知识点5．简单组合体的三视图 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 题型一、常见的几何体 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）用24块棱长分别为的长方体积木搭成的大长方体表面积最小是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查长方体的表面积计算，熟知搭建过程中大面重叠，可使搭成的长方体表面积最小是解决问题的关键．若要搭成的长方体表面积最小，则依据把较大的面重叠在一起这一原则可解决问题． 【详解】解：根据搭成的长方体表面积最小的要求，遵循把较大面重叠在一起的原则，进行如下搭建： 将三块长方体按面重叠得出一个大长方体，此时三条棱长为，，． 再用两个大长方体（即6个小长方体）按面重叠，可得棱长为，，的大长方体． 再用两个大长方体（即12个小长方体）按，面重叠，可得棱长为，，的大长方体． 再用两个大长方体（即24个小长方体）按，面重叠，可得棱长为，，的大长方体． 此时大长方体的表面积为：． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）一个长方体切 6 刀，可分成 24 个棱长为 1 厘米的小正方体，这个长方体的表面积是 平方厘米． 【答案】 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查立体图形，解题的关键是根据切割方法和小正方体的个数，明确切割方法以及原长方体的长宽高的值．一个长方体切6刀，可以分成24个棱长1厘米的小正方体，那么可以如图切割，正好是切了6刀，得到24个小正方体，因为每个小正方体的棱长是1厘米，所以原长方体的长宽高分别是4厘米、3厘米、2厘米，据此利用长方体的表面积公式计算即可解答问题． 【详解】解：一个长方体切6刀，可以分成24个棱长1厘米的小正方体，那么可以如图切割， ∴原长方体的长宽高分别是4厘米、3厘米、2厘米， 所以表面积是： （平方厘米） 答：原长方体的表面积是52平方厘米． 故答案为：52． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）根据图回答问题： (1)与图②具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么； (2)其他图形中具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么． 【答案】(1)图⑤⑦与图②具有共同特征，共同特征是它们都是锥体（答案不唯一） (2)图①③④⑥具有共同特征，共同特征是它们都是柱体（答案不唯一） 【知识点】常见的几何体 【分析】（1）由于图②、⑤、⑦都为锥体，所以它们具有共同特征； （2）由于图①、③、④、⑥它们都是柱体，所以它们具有共同特征． 【详解】（1）解：图⑤、⑦与图②具有共同特征，共同特征是它们都是锥体（答案不唯一）； （2）解：图①、③、④、⑥具有共同特征，共同特征是它们都是柱体（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了认识立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 题型二、组合几何体的构成 4．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）用n个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，则n为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【知识点】组合几何体的构成 【分析】用大正方体体积除以小正方体体积即可得到答案． 【详解】解：∵大正方体的体积为 ，每个小正方体的体积为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查立体图形认识，解题的关键是掌握体积公式． 5．（2022七年级上·全国·专题练习）十个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（    ） A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a2 【答案】A 【知识点】组合几何体的构成 【分析】由题意可得该图形的表面积为各个面的小正方形的面积之和，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得该图形的表面积为各个面的小正方形的面积之和， ∴该几何体前后左右上下各都有6个小正方形，共36个小正方形， ∵小正方体的棱长为 a， ∴该图形的表面积为 36a2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查几何图形与同底数幂的乘法，熟练掌握正方体的表面积及同底数幂的乘法是解题的关键． 6．（22-23七年级上·期中）图中的几何体由 个面围成． 【答案】9 【知识点】组合几何体的构成 【分析】可将几何体分成两个部分观察． 【详解】该几何体可分为上下两个部分，上面部分有4个面，下面部分有5个面，共有9个面． 故答案为：9 【点睛】本题考查立体几何的相关知识，解题的关键是具有空间想象能力． 题型三、立体图形的分类 7．（21-22七年级上·全国·课后作业）在下列选项的四个几何体中，与其他类型不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】立体图形的分类 【分析】根据立体图形的特点进行判定即可得到答案． 【详解】解：A、C、D是柱体，B是锥体，所以，四个几何体中，与其他类型不同的是B． 故选B． 【点睛】本题主要考查了立体图形的识别，解题的关键在于能够准确找到立体图形的特点 8．（2021·江苏盐城·二模）将一个内部直径为、高为的圆柱形水桶内装满水，然后倒入一个长方形鱼缸中，水只占鱼缸容积的一半，则鱼缸容积为 ． 【答案】 【知识点】立体图形的分类 【分析】利用圆柱体体积求法得出水的体积，进而得出鱼缸容积． 【详解】解：一个内径为、高为的圆柱形水桶内装满水， 水的体积为：， 倒入一个长方形鱼缸中，水只占鱼缸的一半， 鱼缸容积为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何图形，正确掌握圆柱体体积公式是解题关键． 9．（2021七年级上·全国·专题练习）将图中的几何体进行分类，并说明理由． 【答案】见解析． 【知识点】立体图形的分类 【分析】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分． 【详解】解：若按形状划分：（1）（2）（6）（7）是一类，组成它的各面全是平面；（3）（4）（5）是一类，组成它的面至少有一个是曲面． 若按构成划分：（1）（2）（4）（7）是一类，是柱体；（5）（6）是一类，即锥体；（3）是球体． 【点睛】本题主要考查了几何体的分类，解题的关键在于先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)． 题型四、几何体中的点、棱、面 10．（21-22七年级上·江苏盐城·阶段练习）三棱柱有 个顶点． 【答案】6 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了立体几何的认识．根据三棱柱的特点即可求解． 【详解】解：三棱柱的有6个顶点， 故答案为：6． 11．（2023七年级上·江苏·专题练习）已知一个直棱柱共有12个顶点，它的底面边长都是，侧棱长都是，则它的侧面积是（　　）． A．120 B．100 C．80 D．20 【答案】A 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】根据题意，判断这个直棱柱是六棱柱，利用棱柱侧面积公式即可解答．本题考查了正棱柱侧面积的计算，熟记侧面积计算公式是解答此题的关键． 【详解】解：∵一个直棱柱共有12个顶点， ∴这个直棱柱是六棱柱， ∵它的底面边长都是，侧棱长都是， ∴它的侧面积是， 故选：A． 12．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）一个正棱柱，它有条棱，一条侧棱长为，一条底面边长为． (1)该棱柱是 棱柱，它有 个面、 个顶点． (2)求棱柱的侧面积是多少？ 【答案】(1)四，，； (2)棱柱的侧面积是． 【知识点】常见的几何体、几何体中的点、棱、面 【分析】（）根据正棱柱的特点直接进行求解即可； （）根据侧面积底面周长高进行求解即可； 本题主要考查了几何体的认识和几何体的表面积，熟练掌握棱柱的特点及侧面积的求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由正棱柱有条棱可知， 所以当有条棱时，，即为正四棱柱， 因此正四棱柱有个面，个顶点， 故答案为：四，，； （2）由（）得为正四棱柱，则侧面积为， 答：棱柱的侧面积是． 题型五、从不同方向看几何体 13．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）如图，用个相同的小正方体搭成右面三个立体图形，从（    ）看这三个立体图形所看到的形状是完全一样的． A．正面 B．左面 C．右面 D．上面 【答案】A 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，掌握从正面、左面、右面和上面观察的方法是解题的关键．从每个视角观察物体，都需要把观测点转移到这一方向上，从正面、左面、右面观察时注意平视，而从上面观察时，注意俯视． 【详解】 解：A、三个立体图形从前面看到都是，选项符合题意； B、三个立体图形从左面看到分别是，，，选项不符合题意； C、三个立体图形从右面看到分别是，，，选项不符合题意； D、三个立体图形从上面看到分别是，，，选项不符合题意； 故选：A． 14．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）图中的立体图形是14个棱长为5厘米的立方体组成，则这个立体图形（包括底面）的表面积是 ． 【答案】/平方厘米 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】主要考查了立体图形的视图问题，解题的关键是能把从不同的方向上看到的图形面积抽象出来，从而求得总面积．该立体图形的表面积=上面的表面积+下面的表面积+正面的表面积+后面的表面积+两个侧面的表面积． 【详解】解：①从上面和下面看到的面积和为： ②从正面和后面看到的面积为： ③从两个侧面看到的面积为： ∴这个立体图形的表面积为：． 故答案为：． 15．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是由多个小正方体组合成的立体图形，      (1)分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． (2)如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂 个面． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． （1）根据简单组合体的三视图的画法画出图形即可； （2）根据三视图的面数与被遮挡的面数进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：（个）， 故答案为：． 一．选择题 1．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学，它有6条棱，则该模型对应的立体图形可能是　　 A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【分析】根据三棱锥的特点，可得答案． 【解答】解：侧面是三角形，说明它是棱锥，底面是三角形，说明它是三棱锥， 故选：． 【点评】本题考查了认识立体图形，熟记常见几何体的特征是解题关键． 2．下面四个几何体，同一个几何体从正面看和从左面看的形状图相同，这样的几何体共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据几何体的三视图解答即可． 【解答】解：正方体、球，圆锥与圆柱四种几何体从正面看和从左面看，看到的相同， 故选：． 【点评】此题考查几何体的三视图，关键是根据几何体的三视图解答． 3．如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的俯视图是　　 A． B． C． D． 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可． 【解答】解：从上面看得该几何体的俯视图是： ． 故选：． 【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 4．我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它从正面看是　　 A． B． C． D． 【分析】根据从物体的正面观察得的视图，进而得出答案． 【解答】解：该几何体从正面看是：． 故选：． 【点评】本题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键． 5．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是　　 A．B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看，紫砂壶的壶嘴在正中间，只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 6．下列几何体中，属于棱柱的是　　 A． B． C． D． 【分析】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【解答】解：、圆锥属于锥体，故此选项不合题意； 、圆柱属于柱体，故此选项不合题意； 、棱锥属于锥体，故此选项不合题意； 、长方体属于棱柱，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查棱柱的定义，属于基础题，掌握基本的概念是关键． 7．把两个棱长都是2分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正方体的表面积的和减少了　　平方分米． A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】两个棱长都是2分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正方体的表面积的和减少了两个正方体的面． 【解答】解：（平方分米）， 故选：． 【点评】本题考查了正方体、长方体的表面积的计算，两个正方体拼成一个长方体，减少的表面积正好是2个正方体的面． 8．如图，由27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，剩下的图形表面积最大的取法为　　 A．取走①号 B．取走②号 C．取走③号 D．取走④号 【分析】弄清取出小正方体后，其剩下的图形的表面积与原正方体的面表积的关系即可． 【解答】解：取走①号或③号剩下的图形表面积不变，取走②号剩下的图形表面积增大两个小正方体的面，取走④号剩下的图形表面积增大4个小正方体的面， 故选：． 【点评】本题主要考查几何体的表面积，关键是挖去的正方体中相对的面的面积都相等． 9．直径为60厘米的圆，在生活中可能是　　 A．杯盖的面 B．井盖的面 C．一元硬币的面 D．蒙古包占地的面 【分析】根据题意，直径为60厘米，在生活中可能是井盖的面的大小，据此解答即可． 【解答】解：杯盖的面、一元硬币的面都小于直径60厘米的圆，蒙古包的占地面积大于直径60厘米的圆，只有井盖的面接近直径60厘米的圆． 故选：． 【点评】此题考查了认识平面图形，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择． 10．如图，在一块木板上钉上九颗钉子，每行和每列的距离都是一样的，以钉子为顶点拉上橡皮筋可以组成正方形，这样做组成的正方形的个数是　　 A．5个 B．6个 C．4个 D．7个 【分析】正方形的定义即为：四条边相等且四个角都是直角的四边形，所以在该九个点中任取四个点，组成的四边形能满足定义即可． 【解答】解：如图所示，将木板上的九个点分别标号为， 一共可能组成正方形的组合有6种，按照序号依次连接，即可得到正方形：①1、2、5、4；②2、3、6、5；③4、5、8、7；④5、6、9、8；⑤2、4、8、6；⑥1、3、9、7， 故选：． 【点评】本题主要考查正方形的定义，即四条边相等且四个角都是直角的四边形，解题的关键在于不要遗漏所能构成正方形的可能情况． 一、填空题 11．平面图形的概念：有些几何图形的各部分 ，它们是平面图形． 【答案】都在同一平面 【解析】略 12．一个直棱柱有15条棱，则这个直棱柱有 个顶点，有 个面． 【答案】 10 7 【分析】本题考查了棱柱的相关知识，解答关键是熟记一个n棱柱棱的条数与n的关系．根据一个n棱柱有条棱，个顶点，个面，即可求解． 【详解】解：∵一个棱柱有15条棱，， ∴该棱柱为五棱柱， ∴底面是五边形，共个顶点，个面． 故答案为：10，7． 13．下列几何体中，属于棱柱的有 ．（填序号）    【答案】③④⑤⑥ 【分析】根据几何体的分类即可求得答案． 【详解】①为圆柱体，不属于棱柱； ②为圆锥体，不属于棱柱； ③为长方体，属于棱柱； ④为正方体，属于棱柱； ⑤为长方体，属于棱柱； ⑥为六棱柱，属于棱柱； ⑦为球体，不属于棱柱． 故答案为：③④⑤⑥． 【点睛】本题主要考查几何体的分类，牢记几何体的分类是解题的关键． 14．如图：在桌上摆有一些大小相同的正方体木块，其从正面和从左面看到的形状图如图所示，则要摆出这样的图形至少需要 块正方体木块． 【答案】6 【分析】本题考查由从不同方向看几何体．利用从正面和从左面看到的形状图进而得出每层的最少数量，进而得出答案． 【详解】解：易得第一层最少有4个正方体，第二层最少有2个正方体， 故最少有6个小正方形． 故答案为：6． 15．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这个几何体的形状如图所示，则这个几何体由 个小立方块构成．    【答案】5或6 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，有丰富的空间想象能力是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，小正方形上的数字表示该位置摆放的小立方块的数量，该几何体从上面看到的形状有以下三种情况：   ，， 这个几何体由5或6个小立方块构成， 故答案为：5或6． 16．用小立方块搭一个几何体，如图分别是从它的正面和上面看到的形状图，则它最少需要 个立方块．    【答案】 【分析】易得这个几何体共有层，由上面看可得第一层立方块的个数，由正面看可得第二层和第三层最少或最多的立方块的个数，相加即可． 【详解】根据从正面看和上面看，即可确定立方块的个数：     ， 它最少需要个立方块， 故答案为：． 【点睛】此题考查了从不同方向看物体，解题的关键是灵活运用不同方向看物体的知识确定立方块个数． 17．如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图：构成这个立体图形的小正方体的个数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查由三视图判断几何体的正方体的个数，先根据从上面看得到的图形得到几何体有两行两列，根据从左面看得到的图得到第一行只有1个，根据从正面看得到的图形得到第二行的分别是3个与2个即可得到答案 【详解】解：由题意可得， 由从上面看得到的图形得， 几何体有两行两列， 由从左面看得到的图得， 第一行只有1个， 由从正面看得到的图形得， 第二行的分别是3个与2个， ∴正方体的个数为：（个）， 故答案为：6． 18．下列说法正确的是 （不定项） A．两个连续自然数相乘，积一定是偶数 B．两个分数的大小相等，它们的分数单位也相等 C．求长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高 D．一个几何体如果从正面和上面看到的都是，那么从左面看到的也一定就是 【答案】AC 【分析】两个连续的自然中，必然有一个奇数，一个偶数，而奇数和偶数的乘积一定是偶数，据此可判断A；，但是分数单位为，的分数单位为，据此可判断B；根据长方体，正方体体积计算公式可判断C；根据解析中的举例即可判定D． 【详解】解：A、两个连续的自然中，必然有一个奇数，一个偶数，故两个连续自然数相乘，积一定是偶数，原说法正确； B、两个分数的大小相等，它们的分数单位不一定相等，例如，但是分数单位为，的分数单位为，原说法错误； C、求长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高，原说法正确； D、如图所示，从上面看到的图形，数字表示每个位置的小立方体个数，那么从正面和上面看到的都是，但是从左面看到的图形不是，原说法错误； 故答案为：AC． 【点睛】本题主要考查了分数单位的认识，奇数与偶数，从不同的方向看几何体，长方体和正方体的体积计算，熟知相关知识是解题的关键． 二、解答题 19．小丽利用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直五棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个五棱柱有多少个面？它的侧面是什么形状？这个五棱柱一共有多少条棱？ (2)这个五棱柱所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)这个五棱柱有个面，五棱柱每个侧面为长方形，一共有条棱． (2)这个五棱柱所有侧面的面积之和是． 【分析】本题考查了棱柱的特征，侧棱，侧面积： （1）直接根据五棱柱的特征，即可求解． （2）根据侧面是长方形，侧面长方形的长为，宽为． 【详解】（1）根据题意，这个五棱柱有个面，五棱柱每个侧面为长方形，一共有条棱． （2）侧面长方形的长为，宽为． ． 所以，这个五棱柱所有侧面的面积之和是． 20．如图，是由10块小正方体组合成的立体图形，分别画出从正面、左面、上面观察到的图形．    【答案】见解析 【分析】从正面看到的形状是3列，从左往右正方形的个数依次是3，1，2；从左面看到的形状是3列，从左往右正方形的个数依次是3，2，1；从上面看到的形状是3列，从左往右正方形的个数依次是，3，2，1；依此作图即可． 【详解】解：如图所示：    【点睛】本题主要考查了从不同方向看几何体，熟练掌握观测者从三个不同位置观察同一个几何体是解题的关键． 21．如图2是由9个完全相同的小正方体搭成的一个几何体 (1)请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状（在图1所提供的方格内涂上相应的阴影即可）； (2)如果小明还想添加一些相同的小正方体，并保持从上面和左面看得到的形状图不变，最多可以再添几个小正方体? 【答案】(1)见解析 (2)7个 【分析】本题考查作图——从不同方向看几何体．由立体图形可知从不同方向看得到的图形形状，并能得出有几列及每一列上的数字是解题的关键． （1）由已知条件可知，从正面看有4列，每列小正方形数目分别为1，3，1，1；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，2；从上面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1．据此可画出图形； （2）保持从上面和左面看得到的形状图不变，最多可往第1列的几何体上放2个小正方体，第3列的几何体上放2个小正方体，第3列的几何体上放个小正方体即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵保持从上面和左面看得到的形状图不变， ∴最多可往第1列的几何体上放2个小正方体， 第3列的几何体上放2个小正方体， 第4列的几何体上放个小正方体即可． ∴（个）． 故最多可以再添7个小正方体． 22．在对第一章“丰富的图形世界”复习前，老师让学生整理正方体截面的形状并探究多面体（由若干个多边形所围成的几何体）的棱数、面数、顶点数之间的数量关系，如图是小颖用平面截正方体后剩余的多面体，请解答下列问题： (1)根据上图完成下表： 多面体 V（顶点数） F（面数） E（棱数） （1） 　 　 7 15 （3） 6 　 　 9 （5） 8 6 　 　 (2)猜想：一个多面体的V（顶点数），F（面数），E（棱数）之间的数量关系是　 　； (3)计算：已知一个多面体有20个面、30条棱，那么这个多面体有　 　个顶点． 【答案】(1)10，5，12 (2) (3)12 【分析】本题考查了立体图形的顶点，棱，面，解题的关键是根据题意得出多面体的顶点数面数棱数． （1）只要将图（2）、（3）、（4）、（5）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可； （3）根据（2）中得到的公式进行计算即可． 【详解】（1）解：观察图形，多面体（1）的顶点数为10；多面体（3）的面数为5；多面体（5）的棱数为12， 故答案为10，5，12； （2）解：观察表格可以看出：顶点数面数棱数， 即关系式为：， 故答案为； （3）解：由题意得：， 解得， 故答案为12． 23．观察下列多面体，并把下表补充完整. 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 棱数 9 面数 5 （1）根据表中的规律判断，十二棱柱有___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱； （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为___________棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有___________个侧面，共___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱； （4）观察上表中的结果，请写出，，之间关系式___________． 【答案】填表见解析；（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】由三棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；四棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；五棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；六棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：，即可填表． 根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出（1）（2）和（3）的答案； （4）根据表格可总结出规律得出之间的关系． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形                                     顶点数         棱数 面数 （1）十二棱柱有个面，共有个顶点，共有条棱． 故答案为：14，24，36； （2）某个棱柱由个面构成，则这个棱柱为棱柱． 故答案为：28； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱． 故答案为：，，，； （4）之间的关系：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何规律型问题，熟记常见棱柱的特征，进而可以总结一般规律：棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 24．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体. (1)根据要求填写表格： 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图1 　　 　　 　　 图2 　　 　　 　　 图3 　　 　　 　　 (2)猜想f、v、e三个数量间有何关系； (3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数. 【答案】(1)7，9，14.6，8，12，7，10，15； (2)； (3)它的面数是2012 【分析】（1）根据图形数出即可； （2）根据（1）中结果得出； （3）代入求出即可； 【详解】（1）图1，面数，顶点数，棱数， 图2，面数，顶点数，棱数， 图3，面数，顶点数，棱数， 故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15． （2）由表格数据可得：． （3）∵ ∴， ， 即它的面数是2012． 【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律 25．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有______条棱，正八面体有______顶点，正十二面体有______条棱； (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______； (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 【答案】(1)6，6，30 (2) (3)12 (4) 【分析】（1）观察图形，即可得出各个几何体的顶点数，面数和棱数； （2）观察图形及表格变化，总结出一般规律即可； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为，列出方程求解即可； （4）先根据顶点数，求出棱数，再根据（1）中的顶点，面和棱的关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：正四面体有6条棱，正八面体有6顶点，正十二面体有30条棱； 故答案为：6，6，30； （2）顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是； 故答案为：； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为， ， 解得：， 故答案为：12； （4）∵该多面体有48个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴该多面体有条棱， 设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， 则该多面体一共有个面， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，解题的关键是仔细观察图形，得出欧拉公式：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是：． 26．综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子． 如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，请你用含，的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积________． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入如表： 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（   ） A．一直增大　B．一直减小　C．先增大后减小　D．先减小后增大 (4)为了得到边长为的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到；当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)C (4) 【分析】本题考查认识立体图形，掌握长方体的展开与折叠以及底面积、体积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据长方体的展开与折叠的特征即可得出长方体盒子的高，再根据盒子“底面”的长、宽根据面积公式即可得出答案，根据体积计算公式进行计算即可； （2）把，，以及，代入进行计算即可； （3）根据表格的数据变化情况即可求解； （4）求出当，时，计算的值即可． 【详解】（1）解：如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为，底面积为，这个无盖长方体纸盒的容积； 故答案为：； （2）解：当，时，， 当，时，， 填表如下 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 （3）解：由统计表中的数据发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小， 故选：C； （4）解：当，时，体积最大， 最大体积为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 观察、抽象 （5个知识点+5种题型+过关检测） 知识点1．认识立体图形 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内． 知识点2．几何体的表面积 （1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和） （2）常见的几种几何体的表面积的计算公式 ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②圆锥体表面积：πr2+（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） ③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长） 知识点3．认识平面图形 （1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 知识点4．简单几何体的三视图 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 知识点5．简单组合体的三视图 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 题型一、常见的几何体 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）用24块棱长分别为的长方体积木搭成的大长方体表面积最小是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）一个长方体切 6 刀，可分成 24 个棱长为 1 厘米的小正方体，这个长方体的表面积是 平方厘米． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）根据图回答问题： (1)与图②具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么； (2)其他图形中具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么． 题型二、组合几何体的构成 4．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）用n个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，则n为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 5．（2022七年级上·全国·专题练习）十个棱长为a的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（    ） A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a2 6．（22-23七年级上·期中）图中的几何体由 个面围成． 题型三、立体图形的分类 7．（21-22七年级上·全国·课后作业）在下列选项的四个几何体中，与其他类型不同的是（    ） A． B． C． D． 8．（2021·江苏盐城·二模）将一个内部直径为、高为的圆柱形水桶内装满水，然后倒入一个长方形鱼缸中，水只占鱼缸容积的一半，则鱼缸容积为 ． 9．（2021七年级上·全国·专题练习）将图中的几何体进行分类，并说明理由． 题型四、几何体中的点、棱、面 10．（21-22七年级上·江苏盐城·阶段练习）三棱柱有 个顶点． 11．（2023七年级上·江苏·专题练习）已知一个直棱柱共有12个顶点，它的底面边长都是，侧棱长都是，则它的侧面积是（　　）． A．120 B．100 C．80 D．20 12．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）一个正棱柱，它有条棱，一条侧棱长为，一条底面边长为． (1)该棱柱是 棱柱，它有 个面、 个顶点． (2)求棱柱的侧面积是多少？ 题型五、从不同方向看几何体 13．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）如图，用个相同的小正方体搭成右面三个立体图形，从（    ）看这三个立体图形所看到的形状是完全一样的． A．正面 B．左面 C．右面 D．上面 14．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）图中的立体图形是14个棱长为5厘米的立方体组成，则这个立体图形（包括底面）的表面积是 ． 15．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是由多个小正方体组合成的立体图形，      (1)分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． (2)如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂 个面． 一．选择题 1．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学，它有6条棱，则该模型对应的立体图形可能是　　 A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 2．下面四个几何体，同一个几何体从正面看和从左面看的形状图相同，这样的几何体共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的俯视图是　　 A． B． C． D． 4．我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它从正面看是　　 A． B． C． D． 5．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是　　 A．B． C． D． 6．下列几何体中，属于棱柱的是　　 A． B． C． D． 7．把两个棱长都是2分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正方体的表面积的和减少了　　平方分米． A．4 B．8 C．12 D．16 8．如图，由27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，剩下的图形表面积最大的取法为　　 A．取走①号 B．取走②号 C．取走③号 D．取走④号 9．直径为60厘米的圆，在生活中可能是　　 A．杯盖的面 B．井盖的面 C．一元硬币的面 D．蒙古包占地的面 10．如图，在一块木板上钉上九颗钉子，每行和每列的距离都是一样的，以钉子为顶点拉上橡皮筋可以组成正方形，这样做组成的正方形的个数是　　 A．5个 B．6个 C．4个 D．7个 一、填空题 11．平面图形的概念：有些几何图形的各部分 ，它们是平面图形． 12．一个直棱柱有15条棱，则这个直棱柱有 个顶点，有 个面． 13．下列几何体中，属于棱柱的有 ．（填序号）    14．如图：在桌上摆有一些大小相同的正方体木块，其从正面和从左面看到的形状图如图所示，则要摆出这样的图形至少需要 块正方体木块． 15．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这个几何体的形状如图所示，则这个几何体由 个小立方块构成．    16．用小立方块搭一个几何体，如图分别是从它的正面和上面看到的形状图，则它最少需要 个立方块．    17．如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图：构成这个立体图形的小正方体的个数是 ． 18．下列说法正确的是 （不定项） A．两个连续自然数相乘，积一定是偶数 B．两个分数的大小相等，它们的分数单位也相等 C．求长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高 D．一个几何体如果从正面和上面看到的都是，那么从左面看到的也一定就是 二、解答题 19．小丽利用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直五棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个五棱柱有多少个面？它的侧面是什么形状？这个五棱柱一共有多少条棱？ (2)这个五棱柱所有侧面的面积之和是多少？ 20．如图，是由10块小正方体组合成的立体图形，分别画出从正面、左面、上面观察到的图形．    21．如图2是由9个完全相同的小正方体搭成的一个几何体 (1)请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状（在图1所提供的方格内涂上相应的阴影即可）； (2)如果小明还想添加一些相同的小正方体，并保持从上面和左面看得到的形状图不变，最多可以再添几个小正方体? 22．在对第一章“丰富的图形世界”复习前，老师让学生整理正方体截面的形状并探究多面体（由若干个多边形所围成的几何体）的棱数、面数、顶点数之间的数量关系，如图是小颖用平面截正方体后剩余的多面体，请解答下列问题： (1)根据上图完成下表： 多面体 V（顶点数） F（面数） E（棱数） （1） 　 　 7 15 （3） 6 　 　 9 （5） 8 6 　 　 (2)猜想：一个多面体的V（顶点数），F（面数），E（棱数）之间的数量关系是　 　； (3)计算：已知一个多面体有20个面、30条棱，那么这个多面体有　 　个顶点． 23．观察下列多面体，并把下表补充完整. 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 棱数 9 面数 5 （1）根据表中的规律判断，十二棱柱有___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱； （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为___________棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有___________个侧面，共___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱； （4）观察上表中的结果，请写出，，之间关系式___________． 24．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体. (1)根据要求填写表格： 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图1 　　 　　 　　 图2 　　 　　 　　 图3 　　 　　 　　 (2)猜想f、v、e三个数量间有何关系； (3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数. 25．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有______条棱，正八面体有______顶点，正十二面体有______条棱； (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______； (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 26．综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子． 如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，请你用含，的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积________． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入如表： 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（   ） A．一直增大　B．一直减小　C．先增大后减小　D．先减小后增大 (4)为了得到边长为的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到；当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$