精品解析：北京市第一七一中学2024-2025学年高二上学期期中调研数学试卷

北京市第一七一中学2024—2025学年度第一学期 高二年级数学期中调研试题 （时长：120分钟 总分值：150分） 一､选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一般方程得到直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出即可； 【详解】由题意可得直线的斜率为，即， 又，所以， 故选：D. 2. 已知圆的方程是，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ） A. 与5 B. 与 C. 与5 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的标准方程即可得到圆心坐标与半径长度 【详解】由圆的一般方程为，配方得圆的标准方程为 所以圆心坐标为半径为 故选：B 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】求出两个圆的圆心距即可判断得解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 显然，所以圆与外切. 故选：D 4. 圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，根据两直线垂直求出线段的垂直平分线所在直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线的方程. 【详解】圆的圆心坐标为， 由圆的几何性质可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直， 直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 因此，线段的垂直平分线的方程是，即. 故选：C. 5. “”是“直线与直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出当时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】当时，，即，解得或. 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时； 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时. 因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 8.5 D. 9.5 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数求出的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可求解. 【详解】由题意可得：，解得：， 将这组数据从小到大的顺序排列为， 因为为整数， 所以这组数据的75百分位数为， 故选：C. 7. 已知为椭圆上的点，点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为1，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为18，列出a,c的方程组，进而解出a,c，最后求出离心率. 【详解】因为点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为18， 所以， 所以椭圆的离心率为：. 故选：B. 8. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】 故选：B 9. 设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可. 【详解】，圆心，半径， 选项A，由直线斜率为，可得动直线为为平行直线系， 圆心到直线的距离， 当或时，，直线与圆不相交，不满足题意，故A错误； 选项B，由直线可化为， 则直线恒过，因为，点在圆外， 故直线不一定与圆相交，故B错误； 选项C，由直线恒过，点在圆上， 当时，直线方程可化为， 此时圆心到直线的距离， 圆与直线相切，不满足题意，故C错误； 选项D，由直线方程可化为， 则直线恒过，且点在圆内，故直线恒与圆相交， 当直线过圆心时，弦长最长，由在直线上， 可得，取到最大值； 如图，取中点，则，圆心到直线的距离 ，当取最大值时，弦长最短， 即当直线与垂直时，弦长最短，由的斜率为 此时直线斜率为，即当时，取到最小值.故D正确. 故选：D. 10. 曲线.给出下列结论: ①曲线关于原点对称; ②曲线上任意一点到原点的距离不小于1; ③曲线只经过个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中,所有正确结论的序号是 A. ①② B. ② C. ②③ D. ③ 【答案】C 【解析】 【分析】 将代入，化简后可确定①的真假性.对分成等种情况进行分类讨论，得出，由此判断曲线上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线的两个整点，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确. 【详解】①，将代入曲线，得，与原方程不相等，所以曲线不关于原点对称，故①错误. ②，对于曲线，由于，所以，所以对于任意一个，只有唯一确定的和它对应.函数是单调递减函数.当时，有唯一确定的；当时，有唯一确定的.所以曲线过点，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于.当时，，所以.当时，，所以.当时，，且 ， 所以. 综上所述，曲线上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确. ③，由②的分析可知，曲线过点，这是两个整点.由可得，当且时，若为整数，必定不是某个整数的三次方根，所以曲线只经过两个整点.故③正确. 综上所述，正确的为②③. 故选：C 【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题. 二､填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 直线与直线之间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】代入平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】直线， 则与之间的距离. 故答案为： 12. 已知空间，，，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案. 【详解】由，且，，则，解得， 故. 故答案为：. 13. 在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可. 【详解】 如图所示，取的中点F，易得，则或其补角为所求角， 不妨设正方体棱长为2，则， 由余弦定理知：， 则为锐角，即异面直线与所成角. 故答案为：. 14. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【详解】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理， 显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小． 圆心到直线的距离为：, 切线长的最小值为：故本题正确答案为. 15. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，可得平面，可判断点的轨迹在线段上，可求出点到棱的最大值，即可得出. 【详解】由正方体的性质可知，当位于点时，，满足题意， 当点位于中点时，, 则, 所以，故， 又，所以平面，故点的轨迹在线段上， 由，可得为锐角，而, 所以点到棱的最大值为， 所以面积的最大值为. 故答案为： 三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程，并把答案写在答题纸中相应位置上. 16. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人,他们的月收入均在内.现根据所得数据画出了该样本的频率分布直方图如下.(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示月收入在内) (1)求某居民月收入在内的频率； (2)根据该频率分布直方图估计居民的月收入的中位数； (3)为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系,需再从这10000人中利用分层抽样的方法抽取100人作进一步分析,则应从月收入在内的居民中抽取多少人? 【答案】（1）0.25；(2) 2500；(3) 15. 【解析】 【详解】(1) 由频率分布直方图可知，居民月收入在内的频率为(0.0002+0.0003)×500=0.25． (2) 由频率分布直方图可知 0.0001×500=0.05, 0.0004×500=0.20, 0.0005×500=0.25, 从而有0.0001×500+0.0004×500+0.0005×500=0.5, 所以可以估计居民的月收入的中位数为2500(元)． (3) 由频率分布直方图可知，居民月收入在内的频率为 0.0003×500=0.15, 所以这10000人中月收入在内的人数为0.15×10000=1500(人), 再从这10000人中利用分层抽样的方法抽取100人,则应从月收入在内的居民中抽取(人). 17. 如图，在边长为的正方体中，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，因此，平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离； （3）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以，点到平面的距离为. 【小问3详解】 解：因为， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆直线交于，两点，____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 【答案】（1） （2）选择①，或；选择②或③，或3. 【解析】 【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可； （2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可. 【小问1详解】 设圆心坐标为，半径为. 由圆的圆心在直线上，知：. 又圆与轴相切于点， ，，则. 圆圆心坐标为，则圆的方程为 【小问2详解】 如果选择条件①：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或. 如果选择条件②：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或3. 如果选择条件③：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或3. 19. 已知分别是椭圆的左、右焦点，，点在椭圆上且满足. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标求出c，进而根据椭圆定义求出a，然后求出b，最后求得答案； （2）设直线的方程为，，直线与轴交于点，则，将直线方程代入椭圆方程并化简，进而结合根与系数的关系求得答案. 【小问1详解】 由题意，，所以，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，由得：， 则即：. . 设直线与轴交于点，则 所以的面积为 ，化简得：解得：所以. 直线的方程为或. 20. 如图，四棱锥中，平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值是，求的值； （3）若，在线段上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）因为 平面，, 所以 平面, 又因为 平面，所以 ． 在中，，是的中点， 所以 ． 又因为 , 平面, 所以 平面． （2） （3）结论：不存在．理由如下： 证明：设． 当时，，， 由知,，这与矛盾, 所以在线段上不存在点，使得． 【解析】 【分析】（1）推导出平面． ．由此能证明平面; （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值; （3）设，当，，，由知，,，这与矛盾,从而在线段上不存在点，使得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 平面，平面， 所以, 又因为 , 所以如图建立空间直角坐标系． 则, 则，， 设平面的法向量为． 则即 ， 令，则，， 故． 因为平面，平面， 所以, 又,平面, 所以平面． 又因为， 所以取平面的法向量为 所以， 则，解得． 又因为，所以； 【小问3详解】 略 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关． （1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①，；②，． （2）给定，，点集． （）求集合中与点相关的点的个数； （）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值． 【答案】（1）①相关；②不相关.（2）（）个（）. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求. （2）（）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合中与点相关的点的个数；（）由（1）可知相关点满足，利用分类讨论证明，即可求得中元素个数的最大值． 【详解】若点，相关，则，，而， 不妨设， 则由定义可知， 化简变形可得， （1）对于①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关； ②对应坐标取绝对值，代入可知，因此不相关. （2）（）在第一象限内，，可知且，有个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有个点. 在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； 在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件； 原点满足条件； 因此集合中共有个点与点相关. （）若两个不同的点，相关，其中，，，， 可知. 下面证明. 若，则，成立； 若，则， 若，则，亦成立. 由于， 因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点. 因此中元素个数的最大值为. 【点睛】本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一七一中学2024—2025学年度第一学期 高二年级数学期中调研试题 （时长：120分钟 总分值：150分） 一､选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆的方程是，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ） A. 与5 B. 与 C. 与5 D. 与 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切 4. 圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 8.5 D. 9.5 7. 已知为椭圆上的点，点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为1，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 9. 设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（ ） A. B. C. D. 10. 曲线.给出下列结论: ①曲线关于原点对称; ②曲线上任意一点到原点的距离不小于1; ③曲线只经过个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中,所有正确结论的序号是 A. ①② B. ② C. ②③ D. ③ 二､填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 直线与直线之间的距离为__________. 12. 已知空间，，，则＝_____． 13. 在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 14. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为_____________. 15. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为______． 三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程，并把答案写在答题纸中相应位置上. 16. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人,他们的月收入均在内.现根据所得数据画出了该样本的频率分布直方图如下.(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示月收入在内) (1)求某居民月收入在内的频率； (2)根据该频率分布直方图估计居民的月收入的中位数； (3)为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系,需再从这10000人中利用分层抽样的方法抽取100人作进一步分析,则应从月收入在内的居民中抽取多少人? 17. 如图，在边长为的正方体中，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆直线交于，两点，____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 19. 已知分别是椭圆的左、右焦点，，点在椭圆上且满足. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求直线的方程. 20. 如图，四棱锥中，平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值是，求的值； （3）若，在线段上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关． （1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①，；②，． （2）给定，，点集． （）求集合中与点相关的点的个数； （）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $