精品解析：广东省佛山市南海区桂城中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年桂城中学高一上学期 期中考数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，即可求出交集. 【详解】，， . 故选：B. 【点睛】本题考查函数定义域和值域的求法，考查集合交集运算，属于基础题. 2. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若“”，则，此时“”成立， 故“”是“”的充分条件； 若“”，当时“”成立，但是“”不成立， 故“”是“”的不必要条件； 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算，再计算的值. 【详解】由函数的解析式可知，，所以. 故选：C. 【点睛】本题考查根据分段函数的解析式求解函数值，属于基础题. 4. 已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4﹣x），当﹣2≤x＜0时，f（x），则f（）＝（ ） A. ﹣2 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据和奇函数，化简所求的表达式，代入已知条件求解即可. 【详解】因为， 又因为且函数为奇函数， 所以. 故选：. 【点睛】本题主要考查的是函数的奇偶性和周期性，考查学生的运算能力，是基础题. 5. 已知函数的定义域是，满足且对于定义域内任意x，y都有成立，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意令，代入，即可得出，即可求出的值. 【详解】解：对于定义域内任意x，y，都有成立， 令， 得：， . 故选：C. 6. 定义在上的函数满足：是偶函数，且函数的图像与函数的图像共有n个交点：，，…，，则（ ） A. 0 B. n C. 2n D. 4n 【答案】C 【解析】 【分析】观察解析式得两个函数对称轴均为，则交点也对称. 【详解】是偶函数，则， 则关于轴对称， 又也关于轴对称， 则两个函数的交点两两关于轴对称， 则, 故选：C. 7. 若函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性即可求解. 【详解】由于 在区间 上是单调函数，所以 当时，在区间 上是单调递增，则 ，解得， 当时，在区间 上是单调递减，则 ，解得， 综上 故选：B 8. 定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意的，都有；②对任意的m，，且，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据①得到是偶函数，再根据②得到在上是减函数，然后将不等式转化为求解. 【详解】因为对任意的，都有， 所以是偶函数， 又因为对任意的m，，且，都有， 所以在上是减函数， 则不等式等价于， 则，解得或， 不等式的解集是， 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据不等式的解集为或得；BCD选项，根据是方程的两个根列方程得到，然后结合求解即可. 【详解】根据不等式的解集为或得且是方程的两个根，故A正确； ，整理得，不等式可整理为， 因为，所以，解得，故B正确； 不等式可整理为，即，即，解得或，故C正确； ，故D错. 故选：ABC. 10. 已知x，y是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. xy最大值为 B. 的最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为4 【答案】AB 【解析】 【分析】 选项ABC直接利用基本不等式求解即可；选项D将原式乘以后展开，利用基本不等式求解. 【详解】对于A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，由选项A得，则，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，又x，y是正数，故等号不成立，故C错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 当时， C. 不等式的解集是 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可． 【详解】对A，当时，由得， 又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，故A错误； 对B，设，则，则，故B正确； 对C，当时，由，得； 当时，由，得无解；故C正确； 对D，，都有 ，故D正确； 故选：BCD． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数在为增函数，则实数a的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用幂函数的定义以及幂函数的单调性，列式求解即可. 【详解】因为为幂函数， 所以，解得或， 又在为增函数， 所以； 故答案为：4. 13. 设函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】判断函数为偶函数，再由单调性可脱去“f”，建立不等式求解. 【详解】由题意得的定义域为. 因为，所以是偶函数. 当时，单调递增， 因此当时，单调递减. 又因为， 所以由可得或， 即或. 故答案为： 14. 若函数的图象关于对称，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象对称性，赋值令，由对称性可知，方程的两根分别为，结合韦达定理可得a,b,得到解析式，再结合换元和二次函数性质得解. 【详解】因为函数的图象关于对称， 令，可得，可得或， 由对称性可知，方程的两根分别为， 由韦达定理可得，可得 则， 令，令， 所以，. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，其中． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式可求得集合；根据交集结果可知，分别在和的情况下解不等式求得结果； （2）分别在和的情况下，求得时的范围，取补集即可得到结果. 【小问1详解】 由得：，即； ，； 当时，满足，此时，即； 当时，由得：，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知：； 当时，，解得：； 当时，或，解得：； 当时，，当时，. 16. 2022年夏天，重庆遭遇了极端高温天气，某空调厂家加大力度促进生产.生产某款空调的固定成本是1000万元，每生产千台，需另投入成本（单位：万元），，生产的空调能全部销售完，每台空调平均售价5千元． （1）写出年利润（单位:万元）关于年产量x（单位:千台）的关系式； （2）当年产量为多少千台时，这款空调的年利润最大？最大为多少？ 【答案】（1） （2）产量为7万台时，年利润最大为700万元 【解析】 【分析】（1）求出销售收入，减去成本后可得利润函数； （2）根据利润函数分段求最大值，一段利用二次函数性质得最大值，一段利用勾形函数的单调性求得最大值，比较后即可得． 【小问1详解】 由题意得空调销售收入为（万），则 ； 【小问2详解】 由（1）得： 当时， ∴当时，取得最大值250； 当时， 由勾形函数性质知在上递增，在上递减， ∴当时，取得最大值700.综上所述，当年产量为70000台时，年利润最大，最大为700万元. 17. 若为上的奇函数，且时，． （1）求在上的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2）函数在上单调递减． 证明：设，且， ， 因为，且， 所以，，则， 所以在上单调递减． （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质得当时，，故，再结合奇函数的性质即可得答案； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据奇函数性质得，再结合函数单调性解不等式即可； 【详解】解：（1）因为当时，， 所以当时，，， 因为为上的奇函数,所以， 则． 所以在上的解析式为． （2）略 （3）因为为上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上单调递减． 因为， 所以，，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【点睛】本题考查利用奇函数的性质求函数解析式，解不等式等，考查运算求解能力，其中第三问解题的关键在于由奇偶性与单调性得时，分当，，时三种情况讨论求解. 18. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）解不等式. 【答案】（1） （2）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可； （2）分类讨论，分三种情况讨论求出解集. 【小问1详解】 当时，． ∵，即， ∴. 设方程的两根分别为，，则， 解得，， ∴不等式的解为， ∴函数的解集为． 【小问2详解】 由题意，得， ①当时，不等式化为，解得； ②当时，开口向上，此时， （i），即时，方程无解，不等式解集为； （ii），即时，方程有唯一解， 不等式解集为； （iii），即时，方程有两解， ，，且， 则不等式解集为或． ③时，开口向下，此时， 显然，方程有两解， ，，且， 不等式解集为． 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 19. 函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x>0，y>0，都有，当x>1时，有f（x）>0 （1）求f（1）的值； （2）判断f（x）的单调性并证明； （3）若f（4）=2，解不等式. 【答案】（1）0； （2）增函数，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 所以 即， 所以f（x）在（0，+∞）上是增函数. （3）[6，8]. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求f（1）的值； （2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性并证明； （3）结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论. 【详解】（1）令x=y>0，则f（1）=f（x）-f（x）=0， 所以f（1）=0； （2）略 （3）因为f（4）=2，所以f（6）-f（4）=f（4）， 所以f（16）=2f（4）=4， 由，得， 所以， 即 解得 所以原不等式的解为[6，8]. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年桂城中学高一上学期 期中考数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4﹣x），当﹣2≤x＜0时，f（x），则f（）＝（ ） A. ﹣2 B. C. D. 2 5. 已知函数的定义域是，满足且对于定义域内任意x，y都有成立，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 定义在上的函数满足：是偶函数，且函数的图像与函数的图像共有n个交点：，，…，，则（ ） A. 0 B. n C. 2n D. 4n 7. 若函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意的，都有；②对任意的m，，且，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 10. 已知x，y是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. xy最大值为 B. 的最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为4 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 当时， C. 不等式的解集是 D. ，都有 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数在为增函数，则实数a的值为______. 13. 设函数，则不等式的解集为__________. 14. 若函数的图象关于对称，则的最小值为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，其中． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16. 2022年夏天，重庆遭遇了极端高温天气，某空调厂家加大力度促进生产.生产某款空调的固定成本是1000万元，每生产千台，需另投入成本（单位：万元），，生产的空调能全部销售完，每台空调平均售价5千元． （1）写出年利润（单位:万元）关于年产量x（单位:千台）的关系式； （2）当年产量为多少千台时，这款空调的年利润最大？最大为多少？ 17. 若为上的奇函数，且时，． （1）求在上的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于x的不等式． 18. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）解不等式. 19. 函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x>0，y>0，都有，当x>1时，有f（x）>0 （1）求f（1）的值； （2）判断f（x）的单调性并证明； （3）若f（4）=2，解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $