精品解析：四川省泸州市龙马潭区泸化中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

龙马潭区泸化中学2024-2025学年上期九年级半期测试题 数 学 注意事项： 1．全卷共八个大题，20个小题；满分120分，考试时间为120分钟； 2．答题前请在答题卡上准确填写自己的学校、班级、姓名、考号； 3．考生作答时，必须将答案写在答题卡上相应的位置，在本试卷和草稿纸上答题无效，考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（　　） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 5. 若与关于坐标原点成中心对称，则a，b分别为（ ）． A. 4，3 B. -4，3 C. 4，-3 D. -4，-3 6. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 4 C. 0 D. 16 7. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 且 D. 8. 抛物线的顶点是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11或13 D. 12或13 10. 小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 因式分解：______． 14. 若关于x的方程有一个根为，则a的值为______． 15. 设，是一元二次方程的两根，则______． 16. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④；⑤当或时，有，其中正确的是______．(填序号) 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 学校为了解全校学生参加社会实践活动情况，随机调查了部分学生一学期参加社会实践活动的时间（单位：天），并用得到的数据绘制了统计图（1）和图 （2）. 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1） 本次随机调查的学生人数是_______，图（1）中m的值是_______； （2）求调查获取的学生社会实践活动时间样本数据的众数、中位数和平均数； （3）该校有480名学生，根据获取的社会实践活动时间样本数据，估计该校一学期社会实践活动时间大于10 天的学生人数． 21. 如图，在中，点E在上，点F在上，．求证：． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 23. 某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 24. 某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，通过调查发现，这种水产品的销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．现商店把这种水产品的售价定为x（单位：元/千克）． （1）填空：每月的销售量是 千克（用含x的代数式表示）； （2）求月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； （3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 25. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上找一点M．使的周长最小，求出点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接，点E是直线上的一个动点，过点E作交抛物线于点F，以M，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙马潭区泸化中学2024-2025学年上期九年级半期测试题 数 学 注意事项： 1．全卷共八个大题，20个小题；满分120分，考试时间为120分钟； 2．答题前请在答题卡上准确填写自己的学校、班级、姓名、考号； 3．考生作答时，必须将答案写在答题卡上相应的位置，在本试卷和草稿纸上答题无效，考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断. 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键． 2. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵x2=4， ∴x=±2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程变形为x2−4x＝7，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为（x−2）2＝11即可． 【详解】x2−4x＝7， x2−4x＋4＝11， 所以（x−2）2＝11． 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 4. 将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（　　） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出答案． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位得到抛物线， 故选：D． 5. 若与关于坐标原点成中心对称，则a，b分别为（ ）． A. 4，3 B. -4，3 C. 4，-3 D. -4，-3 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于坐标原点成中心对称的特点即可求解． 【详解】∵与关于坐标原点成中心对称， ∴b=-3，a=4 故选C． 【点睛】此题主要考查中心对称的性质，解题的关键是熟知关于坐标原点成中心对称的两坐标横纵坐标都互为相反数． 6. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 4 C. 0 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解；∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据对称性可求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得，对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵函数开口向下， ∴当或时， ， ∴不等式的解集是或， 故选：B． 8. 抛物线的顶点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将一般式化为顶点式，写出顶点坐标即可． 【详解】解：； ∴顶点坐标为； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是把一般式转化为顶点式． 9. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11或13 D. 12或13 【答案】C 【解析】 【分析】先求得方程的两根，再把方程两根分别为底可求得三角形的三边长，即可求得答案． 【详解】解：解方程x2-8x+15=0得：x=3或x=5， 当△ABC的底为3时， 则三角形的三边长为3、5、5，而3+5>5，满足三角形三边关系，其周长为13； 当△ABC的底为5时， 则三角形的三边长为5、3、3，而3+3>5，满足三角形三边关系，其周长为11； ∴△ABC的周长为11或13， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法及等腰三角形的性质，求得方程的两根是解题的关键，注意分类讨论． 10. 小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得个位数为x+3，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可； 【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是x+3， 由题意可得：． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键． 11. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程，与不等式之间的关系；根据函数图象即可判断①②④；求出对称轴，再由开口向上得到离对称轴越远函数值越大，即可判断③． 【详解】解：由函数图像可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，自变量的取值范围为， ∴当时，，故①正确； ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为当， ∴是方程的一个解，故②正确； ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∵函数开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，的取值范围是不是，故④错误， 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 若关于x的方程有一个根为，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程得，然后解关于的方程． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：2． 15. 设，是一元二次方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握，是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系求出和，然后整体代入即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，， ，， ， 故答案为：． 16. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④；⑤当或时，有，其中正确的是______．(填序号) 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴方程，由抛物线开口方向得到，由对称轴位置可得，由抛物线与y轴的交点位置可得，可判断①；得出抛物线与x轴的另一个交点，代入表达式，可判断②；根据顶点坐标可判断③；根据a和b的关系得出a和c的关系，利用a的符号可判断④；根据函数图象得当时，一次函数图象在抛物线下方，即，则可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； 根据抛物线与x轴交于，对称轴为直线可得：抛物线与x轴的另一个交点为， 则当时，，故②错误； ∵抛物线的顶点坐标， ∴当时，二次函数有最大值3， ∴方程有两个相等的实数根，故③正确； ∵当时，，， ∴， ∴，即， ∴，故④正确； ∵抛物线与直线交于，， ∴当时，，所以⑤错误； 综上所述：正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记二次函数解析式中系数对图形的影响，a决定图象的开口方向，a、b决定图象的对称轴位置，c决定图象与y轴的交点位置． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，利用有理数的乘方的法则，零指数幂的运算法则，绝对值的意义，算术平方根的意义将原式化简，再进行加减计算即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】先求出的值，再代入公式求出答案即可． 【详解】解：， 这里a=3，b=6，c=-4， ∵， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值、二次根式的运算等知识点，正确化简分式是解答的关键． 20. 学校为了解全校学生参加社会实践活动情况，随机调查了部分学生一学期参加社会实践活动的时间（单位：天），并用得到的数据绘制了统计图（1）和图 （2）. 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1） 本次随机调查的学生人数是_______，图（1）中m的值是_______； （2）求调查获取的学生社会实践活动时间样本数据的众数、中位数和平均数； （3）该校有480名学生，根据获取的社会实践活动时间样本数据，估计该校一学期社会实践活动时间大于10 天的学生人数． 【答案】（1）40，20；（2）众数为10，平均数为11，中位数为11；（3）288. 【解析】 【分析】（1）利用参加社会实践活动9天的人数除以它所占百分比可得调查总人数；利用100%减去各部分所占百分比即可求出m的值； （2）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得这组样本数据的众数为10；把数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，从而可得中位数为11；求出数据的总和再除以40即可得到平均数； （3）利用样本估计总体的方法可得该区480名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于10天的人数比例约为60%，然后可得答案． 【详解】解：（1）本次随机调查的学生人数=， 活动为12天占比为100%-25%-30%-10%-15%=20%， ∴图（1）中m的值是20； （2）观察条形统计图， ∵ 在这组数据中，10出现了12次，出现的次数最多， ∴ 这组数据的众数为10． ∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是11，有 ， ∴ 这组数据的中位数为11． ∵ ， ∴ 这组数据的平均数是11． （3）∵ 在统计的这组学生参加社会实践活动时间的样本数据中，社会实践活动时间大于10天的学生人数占 ， ∴ 估计该校480名学生中，参加社会实践活动时间大于10天的学生人数约占，有 ． ∴ 参加社会实践活动时间大于10天的学生人数约为288． 【点睛】此题主要考查了扇形统计图和条形统计图，以及众数、中位数、加权平均数的计算，关键是正确从统计图中获取正确信息． 21. 如图，在中，点E在上，点F在上，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，本题先证明，，即可得到结论，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 【详解】略 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次方程根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将变形为，代入相应的值，得到关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 23. 某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 【答案】的长为米 【解析】 【分析】作于点，首先根据坡度求出，并通过矩形的判定确定出，然后通过解三角形求出，即可相加得出结论． 【详解】解：如图所示，作于点，则由题意，四边形为矩形， ∵在中，，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 由题意，，，，， ∴为等腰直角三角形，， 设，则， 在中，， ∴，即：， 解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意， ∴， ∴， ∴的长为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键． 24. 某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，通过调查发现，这种水产品的销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．现商店把这种水产品的售价定为x（单位：元/千克）． （1）填空：每月的销售量是 千克（用含x的代数式表示）； （2）求月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； （3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 【答案】（1）；（2）（）；（3）在月销售成本不超过13000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元/千克 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克劣势即可； （2）根据销售利润和售价的关系列式即可； （3）当月销售利润达到8000元，求出x的值，判断即可； 【详解】解：（1）； 故答案是； （2）， 其中； （3）当月销售利润达到8000元时，有， 化简，得， 解得，或， 当时，月销售成本为， 当时，月销售成本为， ∵月销售成本不超过10000元， ∴； 答：在月销售成本不超过13000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元/千克． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键． 25. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上找一点M．使的周长最小，求出点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接，点E是直线上的一个动点，过点E作交抛物线于点F，以M，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能；E点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由对称轴得到a、b的关系，再将，代入即可求解析式； （2）作点C关于直线的对称点，连接，与直线交点M，当A、M、三点共线时，的周长最小，求出直线解析式即可求M； （3）求出直线的解析式，设，，只需即可求E点坐标． 【小问1详解】 ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴为， 将点，代入， 得， ∴， ∴； 【小问2详解】 令；则， ∴， 如图1，作C点关于直线的对称点，连接，与直线交点M， ∵ ∴， ∴当A、M、三点共线时，的周长最小， ∴， 设直线的解析式为， 得， ∴， ∴， 当时，， ∴； 【小问3详解】 如图2，以M、D、E、F为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下： ∵的顶点为， ∴， ∵， ∴当时，以M、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形， 令，则， ∴或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵点E是直线上的一个动点， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍）或或或， ∴或或， 综上所述：以M、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，E点坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数与四边形的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $