精品解析：2025届河南省郑州市第十六高级中学高三一模数学试题

河南省郑州市中原区郑州市第十六高级中学高三联考一模 数学试题 一、单选题 1. 已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用的关系式可得数列是以为首项，为公比的等比数列，再由是递增数列可得恒成立，即可得. 【详解】当时，，解得； 当时，由，得， 两式相减得， 所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得，所以； 因为数列是递增数列，所以对于任意的恒成立， 即，即恒成立， 因为时，取得最小值3，故， 即的取值范围是. 故选：C. 2. 如图所示，已知椭圆，.点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是上的动点，且为定值，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆性质以及圆的方程即可得，构造方程即可解得离心率. 【详解】易知，设， 要使为定值，则有，为常数； 显然，因此可得， 比较两边系数可得， 故，即， 整理可得，即，也即， 又，解得. 故选：A 3. 已知集合，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得. 【详解】由，得，所以，所以. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 4. 已知函数，在处的切线斜率为，若在上只有一个零点，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，再由零点信息列出不等式，求解作答. 【详解】依题意，，则，即，而，解得， 因此，，由得：，又，有， 因在上只有一个零点，于是得，解得， 所以的最大值为2. 故选：C 5. 如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（ ） A. 存在最大值，最大值为 B. 存在最小值，最小值为 C. 为定值 D. 不确定，与，的位置有关 【答案】C 【解析】 【分析】通过顶点转换，确定三棱锥的底和高的变化情况，即可确定答案. 【详解】如下图，连接，在正方体中，，分别为，的中点，可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值. 平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，. 故选：C. 6. 数列中，已知，，且，则此数列为（ ） A. 等差数列 B. 等比数列 C. 从第二项起为等差数列 D. 从第二项起为等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】先将已知条件根据数列与的关系构造化简为通项之间的关系,判断数列的特征，再看时是否符合即可得出答案. 【详解】， ， 即， ， 又 数列中，， ， ， ， ，即时不成立， 从第二项起是以2为公比的等比数列. 故选：D. 7. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解不等式，化简集合，根据交集定义即可求解. 【详解】因为，所以. 故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题. 8. 在三角形中，点在直线上，且，点在直线上，且.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可得的表示形式，从而可求的值. 【详解】因为，故，故， 所以， 故，则， 故选：B. 9. 已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝16x，则f ＋f(1)=（        ） A. －8 B. －4 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数定义可得，，根据周期性可得，，代入计算． 【详解】根据题意可得： ，可得 故选：B． 10. 已知在中，．若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理结合已知条件可求得，可得出，再利用等面积法可得出内切圆半径的表达式，结合基本不等式可求得面积的最大值. 【详解】由及正弦定理可得， ，所以，，则，所以，， 所以，的外接圆直径为， 设内角、、的对边分别记为、、，则，所以，， 设的内切圆半径为，则，所以，， 因此，， 因为， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，面积的最大值为. 故选：C. 11. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，，则（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点中心对称 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由是偶函数，且，可得为偶函数，可求得其对称轴，对于B，再结合，可得关于点中心对称，对于CD，由前面的计算可得的周期为4，然后根据已知条件求出，从而可判断. 【详解】对于A，是偶函数，， 又， ，是偶函数，∴关于直线对称，所以A错误， 对于B，关于点中心对称，所以B错误， 对于CD，又，即4是的一个周期； 令，可得 ，又， ， ， 所以C正确，D错误， 故选：C. 12. 盒子中有4个球，其中3个白球，1个红球，现在从盒中随机无放回地取球，每次取出一个，直到取出红球为止．则取出3个球停止的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于每次只取一球，要取3次就停止，故计算每一次取球的概率，再由分步原理可得结果. 【详解】由于是不放回地抽取，第3次结束，故前两次抽到白球，第3次抽到红球. 第1次抽到白球的概率， 第2次抽到白球的概率， 第3次抽到红球的概率. 所以直到取到红球为止，取出3个球停止的概率为. 故选：B. 二、填空题 13. 已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数， 且， 当且仅当时，等号成立，且不恒为零， 所以，函数为上的减函数， 由可得，则， 即，解得. 故答案为：. 14. 已知函数在上不是单调函数，且其图象完全位于直线与之间（不含边界），则的一个取值为_________. 【答案】2(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据函数在上不是单调函数利用导数确定，再由函数图象夹在两直线之间由正弦函数性质列出不等式组求解，即可得解. 【详解】由，则， 因为的最大最小值必在中取得，且在上不是单调函数， 所以必有，解得， 由图象完全位于直线与之间， 所以且， 即恒成立，所以， 综上，. 故答案为：2(答案不唯一) 15. 已知方程在上有两个不同的解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，且，进而得出 ，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设方程在上的两个根为且 则，且， 所以 ， 上式等号不成立，所以， 又且，所以， 所以的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的分布、根与系数的关系，以及基本不等式求最值的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，若为中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，即可利用向量的模长求解. 【详解】由余弦定理，，将，代入解得， 因为，所以，所以． 故答案为： 三、解答题 17. 如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问： （1）若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值； （2）当的值为多少时，能使平面？ 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据二面角的定义作图分析确定二面角的平面角，计算二面角的平面角可结合直角三角形中的边角关系、余弦定理、勾股定理得方法求解即可得二面角的平面角的余弦值； （2）可先猜测的值，然后证明平面，根据平行六面体法人几何性质结合线面垂直的判定定理证明、或者补形证明、或者利用空间向量的线性运算证明． 【小问1详解】 连接、设和交于，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接． 四边形是菱形， ，又，． 又，， △△，， ，， 又，，平面 平面， 又平面，． 是二面角的平面角． 方法一：∵，可得，， 又． 因为平面，故平面平面， 而平面平面，平面， 故平面，而平面，故， 而，平面，故平面， 而平面，故， ∴． 又，∴， ∴． 方法二：在中，． 由余弦定理知， 又，∴， ∴，即． ∴是中点，． 方法三：∵，， ∴， 即． ∴， ∴， ，． ∴，故． 【小问2详解】 当时，能使平面． 方法一 ：由前知平面，∴． 当时，平行六面体的六个面是全等的菱形． 同的证法可得， 而平面，故平面． 方法二 ：∵，∴． 由题设可知三棱锥是正三棱锥，设与相交于． ∵，且，∴． 又是正三角形的边上的高和中线， ∴点是正三角形的中心． ∴平面，即平面． 方法三 ：如图，沿面补一个全等的平行六面体． ∴．若平面，则平面． ∴．令． 由余弦定理可知，． 又，则， 即． ∴，解得或（舍）． 由此可知当时，平面． 方法四：如图，若平面，则与成的角．过作交的延长线于，则．四边形为平行四边形．设，，则． ∵，∴． ∴，． 在Rt中，，即， ∴，解得或（舍去）． 由此可知当时，平面． 方法五：记，菱形边长为． ∵是菱形，∴． 又，∴平面，得，要使平面，还需． 由， 则， 得，即时成立． 18. 定义在上的函数满足，当时，，. （1）求，的值； （2）比较与的大小. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得，，即可求出，； （2）根据解析式求出与的值即可比较. 【详解】（1）由已知，得， 又，则，得， 可以解得，. （2）可得，， 由， 则， 所以. 19. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应按照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税).2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额､税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60000元. 税率与速算扣除数见下表； 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率 速算扣除数 （1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求y=f(t)，并画出图象. （2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险､基本医疗保险､失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别为8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 注：“综合所得”包括工资，薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险､基本医疗保险､失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育､继续教育､大病医疗､住房贷款利息或者住房租金､赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用､专项扣除､专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用， 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数和表中的数据即可得到关于的函数解析式. （2）将图中数据代入应纳税所得额公式即可得出小王的应纳税所得额为（元），再代入（1）中的表达式即可求解. 【详解】（1）根据表格，可得函数的解析式为 ， 函数图像如图所示： （2）根据题意，小王全年应纳税所得额为 ， 将的值代入（1）表达式可得， 所以全年应缴纳综合所得个税税额为元. 【点睛】本题考查了函数模型及其应用，考查了分析能力、数据处理能力，属于基础题. 20. 2022年第12号强台风“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日减弱为温带气旋停止编号，共历时8天，期间4次登录我国东部沿海。9月14日20时30分前后，在我国浙江省舟山普陀沿海首次登陆，登陆时中心附近最大风力14级，9月16日0时左右在山东省青岛市崂山区沿海第三次登陆，台风过境时带来的狂风暴雨天气，造成了人民生命、财产的巨大损失，受灾民众不惧困难，众志成城，积极开展抗灾、救灾，守护自己的美丽家园。某地受其影响普降暴雨，一大型堤坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝面每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作． （1）写出k关于x的函数关系式； （2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失＋部门的各项支出费用） 【答案】（1），， （2）22 【解析】 【分析】（1）由题意得要抢修完成必须使得抢修的面积等于渗水的面积，即可得，所以，， （2）根据题意可知 利用基本不等式即可得到结果． 【小问1详解】 由题意得， 所以，， 【小问2详解】 设总损失为元，则 当且仅当，即时，等号成立． 所以，应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小． 21. 如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC =60°，AE⊥平面 ABCD，AB =AE =2DF，AEDF. （1）证明：平面AEC⊥平面 CEF； （2）求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，取EC的中点H， 连结BD交 AC于点O，连结HO、HF. 因为四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD. 又AE⊥平面 ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AE⊥BD. 因为AE⊂平面AEC， AC⊂平面AEC， 且AE∩AC=A， 所以BD⊥平面AEC. 因为H、 O分别为EC、 AC的中点，所以HO∥EA，且 又AE∥DF，且 . 所以HO∥DF，且HO=DF，所以四边形HODF 为平行四边形，所以HF∥OD，即HF∥BD，所以HF⊥平面AEC. 因为HF⊂平面CEF，所以平面AEC⊥平面CEF. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明BD⊥平面AEC，HF∥BD，可证明结论；如图建立空间直角坐标系，算出平面CEF的一个法向量，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取CD中点M ， 连接AM. 因为菱形 ABCD中， ∠ABC=60°， 所以ACD为正三角形，又M 为CD中点，所以AM⊥CD， 因为AB∥CD，所以AM⊥AB. 因为AE⊥平面ABCD， AB，AM⊂平面ABCD，所以AE⊥AB， AE⊥AM .如图， 以A为原点，AB，AM，AE所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 不妨设AB=AD=AE=2DF=2， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1， 0)，，E(0，0，2)， 因为AM⊥平面ABE，所以为平面ABE的一个法向量， 设平面CEF的法向量为， 因为 ， 所以，不妨令， 得. 设平面 ABE与平面CEF 夹角为θ， 则 ， 所以平面 ABE 与平面CEF夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省郑州市中原区郑州市第十六高级中学高三联考一模 数学试题 一、单选题 1. 已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，已知椭圆，.点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是上的动点，且为定值，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，，则 A. B. C. D. 4. 已知函数，在处的切线斜率为，若在上只有一个零点，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（ ） A. 存在最大值，最大值为 B. 存在最小值，最小值为 C. 为定值 D. 不确定，与，的位置有关 6. 数列中，已知，，且，则此数列为（ ） A. 等差数列 B. 等比数列 C. 从第二项起为等差数列 D. 从第二项起为等比数列 7. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三角形中，点在直线上，且，点在直线上，且.若，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝16x，则f ＋f(1)=（        ） A. －8 B. －4 C. 12 D. 20 10. 已知在中，．若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，，则（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点中心对称 C. D. 12. 盒子中有4个球，其中3个白球，1个红球，现在从盒中随机无放回地取球，每次取出一个，直到取出红球为止．则取出3个球停止的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是__________． 14. 已知函数在上不是单调函数，且其图象完全位于直线与之间（不含边界），则的一个取值为_________. 15. 已知方程在上有两个不同的解，则的取值范围是______． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，若为中点，则______． 三、解答题 17. 如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问： （1）若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值； （2）当的值为多少时，能使平面？ 18. 定义在上的函数满足，当时，，. （1）求，的值； （2）比较与的大小. 19. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应按照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税).2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额､税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60000元. 税率与速算扣除数见下表； 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率 速算扣除数 （1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求y=f(t)，并画出图象. （2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险､基本医疗保险､失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别为8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 注：“综合所得”包括工资，薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险､基本医疗保险､失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育､继续教育､大病医疗､住房贷款利息或者住房租金､赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用､专项扣除､专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用， 20. 2022年第12号强台风“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日减弱为温带气旋停止编号，共历时8天，期间4次登录我国东部沿海。9月14日20时30分前后，在我国浙江省舟山普陀沿海首次登陆，登陆时中心附近最大风力14级，9月16日0时左右在山东省青岛市崂山区沿海第三次登陆，台风过境时带来的狂风暴雨天气，造成了人民生命、财产的巨大损失，受灾民众不惧困难，众志成城，积极开展抗灾、救灾，守护自己的美丽家园。某地受其影响普降暴雨，一大型堤坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝面每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作． （1）写出k关于x的函数关系式； （2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失＋部门的各项支出费用） 21. 如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC =60°，AE⊥平面 ABCD，AB =AE =2DF，AEDF. （1）证明：平面AEC⊥平面 CEF； （2）求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $