精品解析：辽宁省辽南协作体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度上学期期中考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：必修一 一、单选题：（每题5分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则“”是“且”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为（ ） A. 或6 B. 6 C. D. 6. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在R上是减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 0 二、多选题（每题6分） 9. 下列函数中，值域为的是（ ） A. ， B. C. ， D. 10. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若、且，则、至少有一个大于 B. ， C. “”是“”的必要条件 D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件 11. 已知，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是2 C. 最大值是 D. 的最小值是25 三、填空（每题5分） 12. 已知集合，，，则a的值为______． 13. 已知函数，，则______ 14. 已知是定义在上偶函数,若在上是增函数,则满足的实数m的取值范围为________;若当时,,则当时,的解析式是________. 四、解答题（共77分） 15. 已知. （1）当时，若同时成立，求实数的取值范围； （2）若是充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知集合，集合，集合，集合 （1）求 （2）设，求实数的取值范围．（注：表示集合在的补集） 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 18. 某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍． （1）求k值； （2）将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数； （3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）． 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期中考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：必修一 一、单选题：（每题5分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解. 【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题， 所以其否定“，”． 故选：B． 3. 已知，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义就能行判断即可. 【详解】当“x＋y≤1”时，如x＝－4，y＝1，满足x＋y≤1，但不满足且， 当且时，根据不等式的性质有“x＋y≤1”， 故“x＋y≤1”是“且”的必要不充分条件． 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，属基础题. 4. 定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据行列式的定义得到关于的一元二次不等式，解得即可. 【详解】因为，即，即， 即，解得，所以实数的取值范围为. 故选：A 5. 已知关于x方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为（ ） A. 或6 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件可知，再结合韦达定理即可建立等量关系，即可得解. 【详解】关于x的方程有两个实数根， ，解得， 实数k的取值范围为， 根据韦达定理可得，， ， ，即， 解得或 (不符合题意，舍去)， 实数k的值为. 故选：C. 6. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可. 【详解】由函数的定义域为，可得 函数的定义域为，函数， 可得 解得， 所以函数定义域为． 故选：D． 7. 已知函数，若在R上是减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数以及一次函数的单调性，即可结合分段函数的性质求解. 【详解】由在R上是减函数可得，解得， 故选：B 8. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先由为奇函数，推出关于对称，则，进而求出的解析式，则的解析式可求，解出根即可. 【详解】因为为奇函数，所以关于对称， 则关于对称，即， 当时，， 当时，， 则， 所以， 则， 因为，则或， 解得或，所以. 故选：A 二、多选题（每题6分） 9. 下列函数中，值域为的是（ ） A. ， B. C. ， D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本初等函数函数的性质判断A、B、C，利用基本不等式计算D. 【详解】对于A：函数，定义域上单调递增， 又，，所以，故A正确； 对于B：由，所以，即，故B错误； 对于C：函数，在定义域上单调递增， 又，，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，故D错误； 故选：AC 10. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若、且，则、至少有一个大于 B. ， C. “”是“”的必要条件 D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】由反证法即可判断A，举出反例即可判断BC，由一元二次方程根的情况即可判断D. 【详解】假设都不大于，即，则，因此不成立，所以假设不成立，故A正确； 因为时，，故B错误； 因为，但是，则不一定能推出， 且，但是，所以不一定能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 关于方程有一正一负根， 所以“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，故D正确； 故选：AD 11. 已知，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是2 C. 的最大值是 D. 的最小值是25 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由可判断A； 由已知得，由，可判断B； 由可判断C； 由，可判断D． 【详解】所以A中结论一定成立， 由已知得，，所以B中的结论是错误的， 由得：，所以C中的结论是成立的， 由已知得，所以D中的结论是成立的， 故选：ACD. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，运用注意基本不等式所需满足的条件，属于基础题． 三、填空（每题5分） 12. 已知集合，，，则a的值为______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据并集结果得到，且，求出答案. 【详解】由题意得，且，故， 故答案为：-2 13. 已知函数，，则______ 【答案】25 【解析】 【分析】首先计算出，即可得. 【详解】根据题意可知， 则. 故答案为：25 14. 已知是定义在上的偶函数,若在上是增函数,则满足的实数m的取值范围为________;若当时,,则当时,的解析式是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据偶函数以及增函数的性质可得，解此不等式可得答案；当时， ，根据奇函数的性质可得答案. 【详解】∵是定义在上的偶函数,若在上是增函数, ∴不等式等价为, 即得,得, 若,则, 则当时,, 则当时,, 故答案为：（1）,（2） 【点睛】本题考查了利用奇偶性和单调性解不等式，考查了根据奇函数性质求函数解析式，属于基础题. 四、解答题（共77分） 15. 已知. （1）当时，若同时成立，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简，当时，解出，求它们的交集即可； （2）是的充分不必要条件，即所对应的集合所对应的集合，结合包含关系，即可求. 【小问1详解】 当时，，即， ，即， 若同时成立，则， 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知，， ， 即， ①当时，， 若是的充分不必要条件，则，解得； ②当时，，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 16. 已知集合，集合，集合，集合 （1）求 （2）设，求实数的取值范围．（注：表示集合在的补集） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可得集合与，进而可得； （2）由集合，可得，又可知，列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由已知，， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 又，且 所以， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）函数在上是增函数；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出. （2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行判断即可. （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数， 所以得， 又因，所以， 经检验，当，时，是奇函数， 所以， 【小问2详解】 由（1）可知，设 所以 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上是增函数． 【小问3详解】 由函数是定义在上的奇函数且， 则， 所以，解得， 所以的取值范围是. 18. 某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍． （1）求k的值； （2）将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数； （3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）． 【答案】（1） （2） （3）当促销费用为3.7万元时，利润最大为19.7万元． 【解析】 【分析】（1）根据时，，即可求得k的值； （2）确定销售量的表达式，根据利润等于销售额减去投入，即可得答案； （3）将变形为，利用基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知，当时，， ∴，解得：， 【小问2详解】 由（1）知， 故 ， 化简得：． 【小问3详解】 ， ∵，∴，即，则， 当且仅当即时等号成立， 此时，， 答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元． 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【答案】（1）和3 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，即，则， 解得，，所以不动点为和3. 【小问2详解】 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 所以 ， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. 【小问3详解】 由题知：， 所以，由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即，解得，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$