精品解析：广东省东莞市两校2024-2025学年高一上学期期中联合学业质量监测考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期中联合学业质量监测考试 高一数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，知两集合中的元素是点，进而求出公共点，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，， 由，解得，所以， 故选：B 2. 是有理数集，是实数集，命题，，则（ ） A. 是真命题，， B. 是真命题，， C. 是假命题，， D. 是假命题，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特值可判断命题的真假，再结合命题的否定的概念可得. 【详解】命题，， 由，，则命题为假命题， 且命题的否定为，， 故选：C. 3. “方程有实根”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由得到有实数根满足的条件，根据真包含关系得到答案. 【详解】有实数根，故， 解得或， 由于是的真子集， 故“方程有实根”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得且且， 故定义域为. 故选：D 5. 函数在上的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由反比例函数的性质判断的单调性即可得出答案. 【详解】因为在上单调递减， 所以当时取最小值为. 故选：B． 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数，和的单调性，结合条件，即可求解. 【详解】因为是减函数，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 又是增函数，所以，则， 故选：A. 7. 若在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的定义及单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】分段函数在是减函数需满足， 解得， 故选：D. 8. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘1法即得. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当,即，时，取等号. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，若，时，推不出，所以选项A错误， 对于选项B，由，得到，又，所以，即， 所以可以推出，由选项A知推不出，所以是的充分不必要条件，故选项B正确， 对于选项C，易知可以推出，取，显然满足， 但不满足，即推不出，所以是的充分不必要条件，故选项C正确， 对于选项D，由选项C知，推不出，所以选项D错误， 故选：BC. 10. 下列与函数有关的命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若幂函数的图象经过点，则 C. 若奇函数在上有最小值4，则在上有最大值-4 D. 若偶函数在是减函数，则在是增函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用换元法和待定系数法求出函数解析式，分别计算可判断A，B；根据奇偶函数的图象对称性特征可判断C,D. 【详解】对于A，令得，故，故A错误； 对于B，设幂函数，由得， 故，于是，故B正确； 对于C，因奇函数的图象关于原点对称，故C正确； 对于D，因偶函数在对称区间上的单调性相反，故D正确． 故选：BCD. 11. 下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ） A. 当时，，当且仅当取等，解得或，又由，所以，故时，的最大值是. B. 当时，，当且仅当取取等，解得或，又由，所以，故时，的最小值为. C. 由于，当且仅当取等，故的最小值是. D. 当，且时，由于，，又，当且仅当，取等，故当，且时，的最小值为. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式的应用条件“一正，二定，三取等”分别判断各选项. 【详解】A选项：满足基本不等式的应用条件，正确； B选项：不满足基本不等式的应用条件中的定值，错误； 正确的为当时，， 当且仅当时取等，解得或， 又，所以，故当时，的最小值为； C选项：不满足基本不等式的应用条件中的取等，错误； 正确的为，设，则， 又函数在上单调递增， 所以当即时，取最小值为， 即的最小值为； D选项：选项中运用两次基本不等式，且两次的取等条件不一致，所以错误； 正确的为：当，且时，， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为， 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义直接计算函数值. 【详解】由已知，则， 所以，且，所以， 故答案为：. 13. 函数的单调递增区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再由复合函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得，即，解得：， 所以函数的定义域是， 是由和 复合而成， 因为对称轴为，开口向下， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 而单调递增， 所以的单调递增区间是， 故答案为：. 14. 表示与中的较大者，设，则函数的最小值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】就、、分类讨论可得，再分类求范围后可得其最小值. 【详解】由题设可令， 当时，，故此时， 当时，，此时， 当时，即， 当时，即， 故， 当时，，当且仅当，有； 当时，， 当时，， 故函数的最小值为0， 故答案为：0. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 集合，. （1）是实数集，若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，先求出集合，进而求得，利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得，再利用一元二次不等式的解法，对进行分类讨论，求出集合，再利用集合间的关系，即可求解. 【小问1详解】 当时，，由，得到， 所以，得到或， 由，得到，所以，得到或, 所以或. 【小问2详解】 由，得到，又， 当时，，所以，得到， 当时，，满足，所以满足题意， 当时，，所以，得到， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知函数 （1）用定义法证明函数在区间上是增函数； （2）若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） 任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 17. 幂函数的定义域是全体实数. （1）求的解析式； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义得到系数为1，再结合定义域即可求得； （2）在区间上恒成立，当时，恒成立，当时，参变分离，得到在恒成立，由基本不等式求出，从而得到，得到答案. 【小问1详解】 由题意得， 解得或，当时，，此时定义域不是全体实数，故舍去； 当时，，满足题意； 【小问2详解】 在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 当时，恒成立，满足要求， 当时，变形为在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 实数k的取值范围是. 18. 如图，是以为斜边的等腰直角三角形，且. 动直线与的边共有两个公共点，即，在内且位于直线右侧的区域面积为. （1）求的解析式； （2）设，证明：是奇函数. 【答案】（1） （2）证明：因为，由（1）知， 所以， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，， 所以，故， 又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的定义，分段讨论即可求出函数的解析式； （2）由（1）中结果，结合条件得，再利用奇偶函数的判断方法，即可证明结果. 【小问1详解】 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，得到，所以， 当时，，当时，，当时，， 所以. 【小问2详解】 略 19. 已知函数是上的奇函数， （1）求实数的值； （2）求函数的值域. 【答案】（1） （2） 当时，函数的值域为， 当时，函数的值域为， 当时，函数的值域为， 当时，函数的值域为. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，可得，再利用条件，可求得，即可求解； （2）利用函数单调性的定义得到在区间上单调递减，从而得到，令，将问题转化成求的值域，再利用二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为函数是上的奇函数，则， 又，，得到，所以， 此时有，所以，，满足题意，故实数，. 【小问2详解】 由（1）知，任取， 则， 因为，则，得到， 所以，即，所以在区间上单调递减， 所以时，， 令，由， 得到，对称轴为， 当时，在区间上单调递增，此时，， 当时，在区间上单调递减，此时，， 当时，， ①时，， ②是，， 综上，当时，函数的值域为， 当时，函数的值域为， 当时，函数的值域为， 当时，函数的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中联合学业质量监测考试 高一数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 是有理数集，是实数集，命题，，则（ ） A. 是真命题，， B. 是真命题，， C. 是假命题，， D. 是假命题，， 3. “方程有实根”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列与函数有关的命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若幂函数的图象经过点，则 C. 若奇函数在上有最小值4，则在上有最大值-4 D. 若偶函数在是减函数，则在是增函数 11. 下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ） A. 当时，，当且仅当取等，解得或，又由，所以，故时，的最大值是. B. 当时，，当且仅当取取等，解得或，又由，所以，故时，的最小值为. C. 由于，当且仅当取等，故的最小值是. D. 当，且时，由于，，又，当且仅当，取等，故当，且时，的最小值为. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，则______. 13. 函数的单调递增区间为______. 14. 表示与中的较大者，设，则函数的最小值是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 集合，. （1）是实数集，若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数 （1）用定义法证明函数在区间上是增函数； （2）若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 17. 幂函数的定义域是全体实数. （1）求的解析式； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围. 18. 如图，是以为斜边的等腰直角三角形，且. 动直线与的边共有两个公共点，即，在内且位于直线右侧的区域面积为. （1）求的解析式； （2）设，证明：是奇函数. 19. 已知函数是上的奇函数， （1）求实数的值； （2）求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $