精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年度（上）学期 高二数学期中考试卷 考生须知： 1.考生要认真填写班级和姓名. 2.本试卷共2页，分为两卷，第Ⅰ卷选择题10小题（共60分）；第Ⅱ卷非选择题2大题（共40分）.满分100分.考试时间90分钟. 3.试题所有答案必须书写在答题卡上. 4.考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回. 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题（单选题，每个小题5分，共50分） 1. 如图，在直三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，若直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ） A. B. C. 12 D. 5. 已知正方体的棱长为1，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 7. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 8. 与平行，则（ ） A. B. C. D. 2 9. 经过点，斜率为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题（多选题，每个小题5分，共10分，选错不给分，少选每题2分） 11. 下列结论错误的是（ ） A. 过点，的直线的倾斜角为 B. 若直线与直线平行，则 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，，点在轴上，则的最小值是5 12. 以A（1，1），B(3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为（2，2） B. 圆心的坐标为（2，-2） C. 圆心的坐标为（-2，2） D. 圆的方程是 E. 圆的方程是 第Ⅱ卷 非选择题（共40分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 13. 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是________. 14. 直线与圆的位置关系是_________ . 15. 三条直线与相交于一点，则的值为______. 16. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为__________. 四、解答题（共24分） 17. 求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）： （1）已知，，，求的边上的中线所在的直线方程. （2）直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）求证：； （2）求异面直线EF与所成角的余弦值. 19. 已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上 （1）求圆C的方程； （2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年度（上）学期 高二数学期中考试卷 考生须知： 1.考生要认真填写班级和姓名. 2.本试卷共2页，分为两卷，第Ⅰ卷选择题10小题（共60分）；第Ⅱ卷非选择题2大题（共40分）.满分100分.考试时间90分钟. 3.试题所有答案必须书写在答题卡上. 4.考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回. 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题（单选题，每个小题5分，共50分） 1. 如图，在直三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量线性运算即可求解. 【详解】由题意可得 . 故选：B 2. 已知点，，若直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率公式可知，即可得解. 【详解】若直线的斜率为，则， 所以， 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算求出结果. 【详解】向量，则. 故选：C 4. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以， 即实数的值为12. 故选：C 5. 已知正方体的棱长为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积的垂直表示逐项计算判断后可得正确的选项. 【详解】 以为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，． 因为，所以． 故选：D. 6. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 则，故，所以两圆内含； 故选：A 7. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，即可判断. 【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即， ∴或. 故选：D 8. 与平行，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用两条直线平行的充要条件，列式计算得解. 【详解】由与平行，得，所以. 故选：B 9. 经过点，斜率为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直线点斜式方程求解即得. 【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即. 故选：A. 10. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可求解. 【详解】的标准方程为，故所求分别为，. 故选：A. 二、选择题（多选题，每个小题5分，共10分，选错不给分，少选每题2分） 11. 下列结论错误的是（ ） A. 过点，的直线的倾斜角为 B. 若直线与直线平行，则 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，即可解决；对于B，由题意得即可解决；对于C，平行线间距离公式解决即可；对于D，数形结合即可. 【详解】对于A，，即，故A错误； 对于B，直线与直线平行，所以，解得，故B正确； 对于C，直线与直线（即）之间的距离为，故C错误； 对于D，已知，，点在轴上，如图 取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时， 所以的最小值是5，故D正确； 故选：AC. 12. 以A（1，1），B(3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为（2，2） B. 圆心的坐标为（2，-2） C. 圆心的坐标为（-2，2） D. 圆的方程是 E. 圆的方程是 【答案】BE 【解析】 【分析】根据AB的中点坐标为圆心，为半径，即可求解结果． 【详解】AB的中点坐标为，则圆心的坐标为 又，则圆的半径为 所以圆的方程是 故选：BE 第Ⅱ卷 非选择题（共40分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 13. 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据空间向量的平行列式求值即可得解. 【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行. ∴，∴. 故答案为：6. 14. 直线与圆的位置关系是_________ . 【答案】相交 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交 15. 三条直线与相交于一点，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数. 【详解】由，即三条直线交于， 代入，有. 故答案为：3 16. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则，所以. 故答案为： 四、解答题（共24分） 17. 求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）： （1）已知，，，求的边上的中线所在的直线方程. （2）直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程. 【答案】（1）x+5y﹣15＝0 （2）4x﹣3y+5＝0 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式求出中点，然后求解直线方程. （2）先求出斜率，然后利用点斜式求解直线方程. 【小问1详解】 因为，则的中点， 因为的边上的中线过点， 所以的方程为，即， 故的边上的中线所在的直线方程为； 【小问2详解】 设直线的倾斜角为， 则，则所求直线的倾斜角为， 因为，所以， 又直线经过点，故所求直线方程为，即4x﹣3y+5＝0； 18. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）求证：； （2）求异面直线EF与所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：如图，以D为原点，以射线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，， 所以， 所以，故． （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明，故． （2）利用空间向量法，利用向量的夹角公式求异面直线EF与所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以． 因为，且， 所以． 19. 已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上 （1）求圆C的方程； （2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长. 【小问1详解】 由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $