江苏省苏州中学伟长实验部2024-2025学年上学期九年级数学期中试题

苏州中学伟长实验部2024-2025学年第一学期初三数学期中试题 一、选择题（共8小题） 1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．若二次函数y＝x2+x+m﹣1的图象经过第一、二、三象限，则m满足的条件是（　　） A．m≥1 B．m＞1 C．0＜m＜ D．1≤m＜ 3．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3 4．如图，在△ABC中，，，AB＝5，则BC的长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 5．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β．则竹竿AB与AD的长度之比为（　　） A． B． C． D． 6．当a取任何实数时，点P（a﹣1，a2﹣3）都在抛物线上，若点Q（m，n）在抛物线上，则m2+2m﹣n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 7．在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2平移到抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1，点P（m，n1），Q（m，n2）分别在抛物线C1，C2上． 甲：无论m取何值，都有n2＜0； 乙：若点P平移后的对应点为P′，则点P移动到点P′的最短路程为； 丙：当﹣3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ先变长后变短． 下列判断正确的是（　　） A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 8．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（　　）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． A．或 B．或 C．或 D． 二、填空题 9．已知a为锐角，tan（90°﹣a）＝，则a的度数为　 　． 10．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为 。 11．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为 　km． 12．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为　 　． 13.如图，E是正方形ABCD的边AB的中点,点H与点B关于CE对称，则cos∠HCD的值为 　． 14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论： ①abc＜0；②2a﹣b＜0；③﹣1＜a＜0；④b2+8a＞4ac；⑤a+c＜1． 其中正确的是_____（填序号） 15．叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式S＝来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 　 　（结果保留小数点后两位）． 16．如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin＝　 　． 17．计算． 18．解不等式：． 19．解关于x的不等式：． 20．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子． （1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率； （2）在吃粽子之前，小明准备用一个均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数1向上代表肉馅，点数2向上代表香肠馅，点数3，4向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由． 21．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+70（30≤x≤70）．设这种双肩包每天的销售利润为W元． （1）当销售单价x＝40时，则每天的销售利润W＝　 　； （2）求W与x之间的函数解析式； （3）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22．阅读下列材料： （1）如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝； （2）如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求AB的长（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9） 23．已知关于x的方程的两个实数根都大于2且小于4，试求实数的取值范围． 24．图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10cm，BC＝20cm，AD＝50cm． （1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）； （2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα＝（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）． 25．已知二次函数y＝x2﹣4mx+4m2+3（m为常数）． （1）证明：不论m为何值，该函数图象与x轴没有公共点． （2）当自变量x的值满足﹣2≤x≤1时，与其对应的函数值y的最小值为4，求m的值． 26．城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．内边缘抛物线y2是由外边缘抛物线y1向左平移得到，外边抛物线y1最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m， （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）当BD＝1m时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由． 27．如图①，二次函数y＝x2+bx+c的图象C1与开口向下的二次函数图象C2均过点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求图象C1对应的函数表达式； （2）若图象C2过点C（0，6），点P位于第一象限，且在图象C2上，直线l过点P且与x轴平行，与图象C2的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象C1的交点为M，N（N在M左侧）．当PQ＝MP+QN时，求点P的坐标； （3）如图②，D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，连接AD，过点A作AF⊥AD，交图象C2于点F，连接EF，当EF∥AD时，求图象C2对应的函数表达式． 3，由tanC＝＝，求出HC＝8，即可得到BC＝BH+CH＝11． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H， ∴sinB＝＝， ∵AB＝5， ∴AH＝4， ∴BH＝＝3， ∵tanC＝＝， ∴HC＝8， ∴BC＝BH+CH＝3+8＝11． 故选：C． 5．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β．则竹竿AB与AD的长度之比为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得，∠DCA＝90°，∠ABC＝α，∠ADC＝β，再根据锐角三角函数即可求出竹竿AB与AD的长度之比． 【解答】解：根据题意可知： ∠DCA＝90°，∠ABC＝α，∠ADC＝β， 在Rt△ABC中，AC＝AB•sinα， 在Rt△ADC中，AC＝AD•sinβ， ∴AB•sinα＝AD•sinβ， ∴＝． 故选：D． 6．当a取任何实数时，点P（a﹣1，a2﹣3）都在抛物线上，若点Q（m，n）在抛物线上，则m2+2m﹣n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【分析】任去a的三个值，得到三个点的坐标，然后根据待定系数法求得解析式，把Q（m．n）代入变形后即可求得． ∵PQ＝|﹣（m+1）2+2+（m﹣2）2+1|＝|﹣6m+6|， ∴当﹣3＜m＜1时，PQ＝﹣6m+6， ∴PQ随着m的增大而减小， ∴当﹣3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ由长变短，故丙说得不对． 故选：A． 8．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（　　）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． A．或 B．或 C．或 D． 【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1． 【解答】解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝； ∴直线l：y＝x+． 由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形； ∴该等腰三角形的高等于斜边的一半． ∵0＜d＜1， ∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）； ∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1， 当x＝2时，y2＝×2+＝＜1， 当x＝3时，y3＝×3+＝＞1， ∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2． 1 若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝； 在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝， ∴CE＝＝＝10（km）， ∴AC＝AE+CE＝30+10（km）， ∴A，C两港之间的距离为（30+10）km， 故答案为：（30+10）． 12．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为　　． 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则在Rt△ADC中，先由勾股定理得出AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 则∠ADC＝90°，由勾股定理得： AC＝＝5， ∴sin∠BAC＝＝． 故答案为：． 13． 14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论： ①abc＜0；②2a﹣b＜0；③﹣1＜a＜0；④b2+8a＞4ac；⑤a+c＜1． 其中正确的是___②④⑤__（填序号） 【分析】①抛物线开口向下得a＜0，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＜0，可得b＜0，由抛物线与y轴交于正半轴得c＞0，即可判断①； ②由对称轴x＝﹣＝的取值范围，可得2a﹣b的正负，即可判断②； ③由抛物线经过（﹣1，2）得a﹣b+c＝2（1），由图知，当x＝1时，y＜0得a+b+c＜0（2），由图知，当x＝﹣2时，y＜0，得4a﹣2b+c＜0（3），联立（1）、（2）、（3）便可求得a的取值范围，即可判断③； ④由抛物线的对称轴x＝﹣＞﹣1，得，进而得b2+8a＞4ac，即可判断④； ⑤由当x＝﹣1得a﹣b+c＝2，由x＝1得a+b+c＜0，进而得a+c的取值范围，即可判断⑤． 【解答】解：①∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＜0， ∴b＜0， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0， 故①不正确； ②∵抛物线与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1， ∴﹣1＜＜0， ∵对称轴x＝﹣＝， ∴﹣1＜﹣＜0， ∴2a＜b＜0， ∴2a﹣b＜0， 故②正确； ③∵抛物线经过（﹣1，2）， ∴a﹣b+c＝2（1）， 由图知，当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0（2）， 由图知，当x＝﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0（3）， 联立（1）（2）得a+c＜1， 联立（1）（3）得2a﹣c＜﹣4， ∴3a＜﹣3， ∴a＜﹣1， 故③错误； ④∵抛物线的对称轴x＝﹣＞﹣1， ∴抛物线的顶点纵坐标应该大于2， ∴， ∵a＜0， ∴4ac﹣b2＜8a， ∴b2+8a＞4ac， 故④正确； ⑤当x＝﹣1时，a﹣b+c＝2， 当x＝1时，a+b+c＜0， ∴a﹣b+c+a+b+c＜2， ∴a+c＜1， 故⑤正确； 故正确的结论是②④⑤． 15．叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式S＝来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k ＞1（填“”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 　1.27　（结果保留小数点后两位）． 【分析】把叶片的尖端可以近似看作等腰三角形，则稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分，再求出k的大约值即可． 【解答】解：由图2可知，叶片的尖端可以近似看作等腰三角形， ∴稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分， ∴矩形的长为4t，等腰三角形的高为3t，稻叶的宽为b， 红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由． 【分析】此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，（1）此题属于不放回实验；（2）此题模拟的为放回实验；所以模拟的不正确． 【解答】解：（1） ∴P（两只都为红枣馅）＝；（3分） （2）这样模拟不正确（4分） 理由如下：连续两次掷骰子点数朝上的情况有（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）共16种，而满足条件的情况有4种（5分） ∴P（点数3，4向上）＝（6分） ∴这样模拟不正确．（7分） 21．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+70（30≤x≤70）．设这种双肩包每天的销售利润为W元． （1）当销售单价x＝40时，则每天的销售利润W＝　300　； （2）求W与x之间的函数解析式； （3）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）每天的销售利润W＝每天的销售量×每件产品的利润，代入x＝40求得销售利润即可； （2）每天的销售利润W＝每天的销售量×每件产品的利润得出答案； （3）根据配方法，结合二次函数增减性可得答案． 【解答】解：（1）W＝（x﹣30）•y＝（﹣x+70）（x﹣30） 当x＝40时，w＝30×10＝300； 故答案为：300； （2）根据题意可得： W＝（x﹣30）•y ＝（﹣x+70）（x﹣30） ＝﹣x2+30x+70x﹣2100 ＝﹣x2+100x﹣2100； （3）根据题意得：W＝﹣x2+100x﹣2100＝﹣（x﹣50）2+400， ∵﹣1＜0， ∴x≤50时，W随x的增大而减小， ∴当定价x＝50元时，W有最大值，最大值是400元． 22．阅读下列材料： （1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝； （2） 【解答】（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，AD＝csinB， 在Rt△ACD中，AD＝bsinC， ∴csinB＝bsinC， ∴＝； 23．略 24．图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10cm，BC＝20cm，AD＝50cm． （1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）； （2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα＝（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）． 【分析】（1）过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据题意可得：AB＝CE＝10cm，BC＝AE＝20cm，从而可得ED＝30cm，然后在Rt△CED中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD′于点G，根据题意可得：AB＝FG＝10cm，AG＝BF，∠AGD＝90°，然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义可设DG＝3x cm，则AG＝4x cm，从而利用勾股定理进行计算可求出AG和DG的长，进而可求出DF和CF的长，最后在Rt△CFD中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点C作CE⊥AD，垂足为E， 当自变量x的值满足﹣2≤x≤1时，与其对应的函数值y的最小值为4，分两种情况讨论： 当2m≤﹣2时，m≤﹣1，x＝﹣2时，y取最小值4， ∴代入得4+8m+4m2+3＝4，解得m＝﹣或﹣（舍去）； 当2m≥1时，m≥，x＝1时，y取最小值4， ∴代入得1﹣4m+4m2+3＝4，解得m＝1或0（舍去）； 综上所述，m的值为﹣或1． 26．城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．内边缘抛物线y2是由外边缘抛物线y1向左平移得到，外边抛物线y1最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m， （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）当BD＝1m时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【分析】（1）根据题意可得A（2，2）是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点（0，1.5），用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为0时的x的值即可求喷出水的最大射程OC； （2）根据y2对称轴为直线x＝2可得点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则y2是由y1向左平移4m得到的，即可求出点B的坐标； （3）当BD＝1m时，OD＝3m，则OE＝6m，求出当x＝6时y1的函数值，即可判断． 【解答】解：（1）如图1，由题意得A（2，2）是外边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点（0，1.5）， ∴1.5＝4a+2， ∴， ∴外边缘抛物线的函数解析式为， 当y＝0时，，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出水的最大射程OC为6m； （2）∵y1对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5）， ∴y2是由y1向左平移4m得到的， 由（1）可得C（6，0）， ∴点B的坐标为（2，0）； （3）∵当BD＝1m时，OD＝3m，则OE＝6m， ∴点F的横坐标为6， 把xF＝6代入y1＝0＜0.5， ∴所以不能浇灌到整个绿化带． 27．如图①，二次函数y＝x2+bx+c的图象C1与开口向下的二次函数图象C2均过点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求图象C1对应的函数表达式； （2）若图象C2过点C（0，6），点P位于第一象限，且在图象C2上，直线l过点P且与x轴平行，与图象C2的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象C1的交点为M，N（N在M左侧）．当PQ＝MP+QN时，求点P的坐标； （3）如图②，D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，连接AD，过点A作AF⊥AD，交图象C2于点F，连接EF，当EF∥AD时，求图象C2对应的函数表达式． 【分析】（1）将A（1，0），B（3，0代入y＝x2+bx+c解方程组即可得到结论； （2）设C2对应的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），将点C（0，6）代入得，a＝﹣2．求得C2对应的函数表达式为y＝﹣2（x+1）6x+3），对称轴为直线x＝1．作直线x＝1，交直线l于点H（如答图①）由二次函数的对称性得到QH＝PH，PM＝NQ，求得PH＝PM．设PH＝t（0＜l＜2），则点P的横坐标为t+1，点M的横坐标为2t+1，解方程即可得到结论； （3）连接DE，交x轴于点G，过点F作FI⊥ED于点I，过点F作FJ⊥x轴于点J，（如答图②），根据矩形 到现在得到IF＝GJ，IG＝FJ，设C2对应的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），求得D（1，﹣4），E（1，﹣4a）．得到tan∠FAB＝tan∠ADG＝，设GJ＝m（0＜m＜2），则AJ＝2+m，求得FJ＝，F（m+1，），解方程组得到m1＝0（舍去），m2＝，求得a＝﹣，于是得到结论． 22 学科网（北京）股份有限公司 $$