江苏省苏州市苏州中学伟长实验部2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

苏州中学伟长实验部2024-2025学年第一学期初三数学期中试题 一、选择题（共8小题） 1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．若二次函数y＝x2+x+m﹣1的图象经过第一、二、三象限，则m满足的条件是（　　） A．m≥1 B．m＞1 C．0＜m＜ D．1≤m＜ 3．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3 4．如图，在△ABC中，，，AB＝5，则BC的长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 5．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β．则竹竿AB与AD的长度之比为（　　） A． B． C． D． 6．当a取任何实数时，点P（a﹣1，a2﹣3）都在抛物线上，若点Q（m，n）在抛物线上，则m2+2m﹣n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 7．在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+2平移到抛物线C2：y＝﹣（x﹣2）2﹣1，点P（m，n1），Q（m，n2）分别在抛物线C1，C2上． 甲：无论m取何值，都有n2＜0； 乙：若点P平移后的对应点为P′，则点P移动到点P′的最短路程为； 丙：当﹣3＜m＜1时，随着m的增大，线段PQ先变长后变短． 下列判断正确的是（　　） A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 8．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（　　）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． A．或 B．或 C．或 D． 二、填空题 9．已知a为锐角，tan（90°﹣a）＝，则a的度数为　 　． 10．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为 。 11．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为 　km． 12．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为　 　． 13.如图，E是正方形ABCD的边AB的中点,点H与点B关于CE对称，则cos∠HCD的值为 　． 14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论： ①abc＜0；②2a﹣b＜0；③﹣1＜a＜0；④b2+8a＞4ac；⑤a+c＜1． 其中正确的是_____（填序号） 15．叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式S＝来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 　 　（结果保留小数点后两位）． 16．如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin＝　 　． 17．计算． 18．解不等式：． 19．解关于x的不等式：． 20．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子． （1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率； （2）在吃粽子之前，小明准备用一个均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数1向上代表肉馅，点数2向上代表香肠馅，点数3，4向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由． 21．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+70（30≤x≤70）．设这种双肩包每天的销售利润为W元． （1）当销售单价x＝40时，则每天的销售利润W＝　 　； （2）求W与x之间的函数解析式； （3）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22．阅读下列材料： （1）如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝； （2）如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求AB的长（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9） 23．已知关于x的方程的两个实数根都大于2且小于4，试求实数的取值范围． 24．图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10cm，BC＝20cm，AD＝50cm． （1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）； （2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα＝（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）． 25．已知二次函数y＝x2﹣4mx+4m2+3（m为常数）． （1）证明：不论m为何值，该函数图象与x轴没有公共点． （2）当自变量x的值满足﹣2≤x≤1时，与其对应的函数值y的最小值为4，求m的值． 26．城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．内边缘抛物线y2是由外边缘抛物线y1向左平移得到，外边抛物线y1最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m， （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）当BD＝1m时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由． 27．如图①，二次函数y＝x2+bx+c的图象C1与开口向下的二次函数图象C2均过点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）求图象C1对应的函数表达式； （2）若图象C2过点C（0，6），点P位于第一象限，且在图象C2上，直线l过点P且与x轴平行，与图象C2的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象C1的交点为M，N（N在M左侧）．当PQ＝MP+QN时，求点P的坐标； （3）如图②，D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，连接AD，过点A作AF⊥AD，交图象C2于点F，连接EF，当EF∥AD时，求图象C2对应的函数表达式． 学科网（北京）股份有限公司 $$