精品解析：云南省昆明市寻甸回族彝族自治县第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

云南省昆明市寻甸回族彝族自治县第一中学 2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 2. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 3. 若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答. 【详解】设，依题意，，化简整理得：， 因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 所以动点M的轨迹围成区域的面积为. 故选：D 4. 设点，若在圆上存在两点，使得四边形为正方形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形为正方形可以得出，应用两点间距离公式计算即可. 【详解】 要使得四边形为正方形，结合圆的对称性可得，满足与圆相切， 且，所以， 所以，解得． 故选：C. 5. 直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线过定点，只要在椭圆的内部或在椭圆上即可保证直线与椭圆总是有交点的. 【详解】由于直线恒过点， 要使直线与椭圆恒有公共点， 则只要在椭圆的内部或在椭圆上即可， 即  ，解可得且， 故实数m的取值范围为. 故选：C． 6. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 7. 设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到，从而得到结果. 【详解】因为，所以．设，则． 在中，． 在中，， 所以，整理得，． 于是． 故选：D． 8. 直线与椭圆交于A、B两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为E，AE的中点为，设直线与椭圆的另一交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据向量数量积运算，三点共线，由点差法即可求解. 【详解】设，则， ，， ，①， 三点共线，，②， 在椭圆上，，两式相减可得， ③ 将①②代入③可得， ，， 所以椭圆的离心率. 故选：A 【点睛】方法点睛： 点差法是解决圆锥曲线与直线的关系中常用到的一种方法.当直线与圆锥曲线相交的问题涉及到相交弦的中点或与中点坐标相关的条件时，宜应用点差法求解，即将直线被圆锥曲线截得的弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，得到两个等式，再将两个等式作差，转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系，进而解决问题.在解答圆锥曲线的某些问题时，若果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. 时，的虚部为2 B. 时， C. 当复数为纯虚数时， D. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先化简复数，再根据复数的相关概念判断AC，根据复数模的运算判断B，根据复数的几何意义列不等式判断D. 【详解】根据题意， 时，，虚部为，故A错误，B正确； 选项C：当复数为纯虚数时，，故C正确； 选项D：若复数在复平面内对应的点在第四象限，则， 得，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知椭圆，且两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（ ） A. 的短轴长为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得a，b，c，然后逐项判断. 【详解】椭圆，则，， 对于A：短轴长为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D:，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 11. 若圆上恰有三个点到直线的距离为2，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆的一般方程与圆的标准方程之间的互化求出圆心和半径，利用点线距表示圆心到该直线的距离建立关于k的方程，解之即可求解. 【详解】将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4， 由于圆的半径为4，则要使上恰有三个点到直线的距离为2， 只需圆心到该直线的距离为2，即，解得， 则选项BC正确. 故选：BC. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是圆的一条对称轴，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心在直线上建立关于a的方程，解之即可求解. 【详解】圆的圆心为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得. 故答案为：. 13. 法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线（当直线与椭圆有且只有一个交点时，直线与椭圆相切，直线叫椭圆的切线，交点叫切点）的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的离心率为，且短轴的一个端点到焦点的距离为2，则此椭圆的蒙日圆的方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，进而求出椭圆的蒙日圆的方程. 【详解】由椭圆短轴的一个端点到焦点的距离为2，得， 由，得，于是， 所以椭圆的蒙日圆的方程为. 故答案:. 14. 已知函数，若函数在区间上恰有4052个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为_________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数化简得，利用换元法有，根据二次函数零点可得：原题意等价于在区间上恰有4052个零点，结合正弦函数分析求解. 【详解】由题意， 令，，可得，， 记的两零点为、， 则，不妨设， 且，则，，， 可知（舍去），， 原题意等价于在区间上恰有4052个零点， 可知在和（k为正整数）内不同根的个数均为2k， 所以或； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法化把函数在内的零点转化为在内的零点问题，进而求解的可能取值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过直线和的交点，且与直线平行. （1）求直线的方程； （2）求直线与直线的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得两直线的交点，再由直线与直线m平行求解； （2）利用两直线间的距离公式求解. 【小问1详解】 因为直线过直线和的交点， 由，解得，即点， 因为直线的斜率为-4，且直线与直线m平行， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 直线与直线的距离为. 16. 已知圆方程为. （1）求实数的取值范围； （2）求与圆相切于点的直线方程； （3）直线与圆交于A，B两点，若，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆的标准方程化简即可求得的取值范围； （2）根据切线的性质，得到斜率； （3）利用点到直线的距离及垂径定理即可解得. 【小问1详解】 ，可化为， 所以. 【小问2详解】 将点带入圆方程得，圆为， 圆心坐标，得直线CD的斜率为，故切线的斜率为， 切线方程为，整理得. 【小问3详解】 由（1）得，圆心坐标， 圆心到直线的距离为， 又，所以，得. 17. 已知圆，圆经过三点. （1）求圆的方程，并判断两圆位置关系； （2）若动圆与圆、圆均相切，求动圆圆心的轨迹的方程. 【答案】（1），内含 （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求出圆的方程，结合圆与圆的位置关系即可求解； （2）根据圆与圆的位置关系可得，则，结合椭圆的定义即可求解. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为圆经过三点，， 可得，解得， 所以所求圆的方程为，即. 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以圆心距，故两圆内含. 【小问2详解】 由题设有圆与圆内含， 若动圆与圆外切，与圆内切. 设动圆圆心，设动圆的半径为， 由题意有，消得到：， 动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为10的椭圆， 故， 故轨迹的方程为:. 若动圆与两圆均内切，则， 故，故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 故，故轨迹的方程为：， 综上，轨迹的方程为：. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，点为的中点. （1）已知点为线段的中点，求证：平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使四棱锥唯一确定，求： （ⅰ）直线到平面的距离； （ⅱ）二面角的余弦值. 条件①：平面； 条件②：； 条件③： 平面平面. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，. 因为点为的中点，所以，. 因为四边形是平行四边形， 所以，. 因为点为线段的中点，所以． 所以，. 所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）（ⅰ）选①②或①③，直线到平面的距离为；选②③，不符合题意. （ⅱ）选①②或①③，二面角的余弦值为；选②③，不符合题意. 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的证明得线线平行关系，再由线面平行判定定理可得； （2）由条件①②，由线面垂直得，由勾股定理可得，再由可得，即，由此可建立空间直角坐标系，利用法向量方法求线面距（即点面距）与二面角的大小即可；由条件①③，利用线面垂直与面面垂直的性质可得线线垂直，求解相关长度并由此建系，其余同选择条件①②；选择条件②③，则四棱锥不能确定. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选择条件①②： 连接，因为 平面，直线平面， 则，即. 因为，，所以. 因为，四边形是平行四边形， 所以，且，又， 所以. 所以，即 所以. 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 由题意得，，，，． 所以，，，． 设平面的法向量为，则 ，即. 令，则，所以. （ⅰ），平面，平面， 平面， 则直线到平面的距离为. （ⅱ）因为是平面的一个法向量， ，又由图可知二面角是锐角， 所以二面角的余弦值为； 选择条件①③： 连接，因为 平面，平面，平面， 则，，即. 因为，，所以. 又因为平面平面， 平面，平面平面， 所以平面，平面，所以. 由四边形是平行四边形，则四边形是矩形. 因为，所以. 以下同选择条件①②. 若选择条件②③，四棱锥不能唯一确定. 举例如下： 由上述选择①②与①③的求解可知， 如上图所示的两两垂直的四棱锥满足题意； 下面构造一个不同的四棱锥： 如图，四棱锥中，平面平面， 则向量空间中不共面的三个向量， ，且，， 则由三面角余弦定理知， ， 由四边形为平行四边形可知，， 故， 则 ， 故也满足条件. 综上所述，如图所示的四棱锥也满足题意， 即满足题意的四棱锥不能唯一确定. 19. 已知椭圆的左焦点为，且点在上. （1）求的方程； （2）已知，点为上一点. （i）若为原点，点在第一象限内，NP延长线交轴于点与的面积之比为1:2，求点坐标； （ii）设直线PM与的另一个交点为点，直线PN与的另一个交点为点不重合）.设，求证：当点在上运动时，为定值，并求出此定值. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：设，由题设直线PM，PN斜率不为0， 设直线PM的方程为， 其中，且， 联立，可得， 根据韦达定理可知，得， 因为， 所以， 所以， AI    设直线PN的方程为，其中，同理可得， 所以 ， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）（i）设直线NP为，，求出点坐标为，根据三角形面积之比得到，即点是NQ的中点，得点坐标为，将其代入，解得，得到点坐标； （ii）设直线PM的方程为，联立椭圆方程，得到两根之积，根据得到，，从而表达出. 【小问1详解】 由题意知，，则①， 又因点在上，所以②， 联立①、②式可得，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 （i）由题意知，直线NP的斜率一定存在，设其方程为， 根据题意可知，如图所示，令，则，即点坐标为， 设点到直线NP的距离为， 又因是NM的中点，所以点到直线NP的距离为2h， 又因与的面积之比为1:2， 所以，所以， 即点是NQ的中点， 所以可得点坐标为， 又因点在椭圆上， 所以，解之可得， 所以点坐标为. （ii）为定值，证明略. 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省昆明市寻甸回族彝族自治县第一中学 2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 2. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 设点，若在圆上存在两点，使得四边形为正方形，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 7. 设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 直线与椭圆交于A、B两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为E，AE的中点为，设直线与椭圆的另一交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. 时，的虚部为2 B. 时， C. 当复数为纯虚数时， D. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则 10. 已知椭圆，且两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（ ） A. 的短轴长为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 11. 若圆上恰有三个点到直线的距离为2，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是圆的一条对称轴，则________. 13. 法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线（当直线与椭圆有且只有一个交点时，直线与椭圆相切，直线叫椭圆的切线，交点叫切点）的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的离心率为，且短轴的一个端点到焦点的距离为2，则此椭圆的蒙日圆的方程为_________. 14. 已知函数，若函数在区间上恰有4052个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过直线和的交点，且与直线平行. （1）求直线的方程； （2）求直线与直线的距离. 16. 已知圆方程为. （1）求实数的取值范围； （2）求与圆相切于点的直线方程； （3）直线与圆交于A，B两点，若，求实数的值. 17. 已知圆，圆经过三点. （1）求圆的方程，并判断两圆位置关系； （2）若动圆与圆、圆均相切，求动圆圆心的轨迹的方程. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，点为的中点. （1）已知点为线段的中点，求证：平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使四棱锥唯一确定，求： （ⅰ）直线到平面的距离； （ⅱ）二面角的余弦值. 条件①：平面； 条件②：； 条件③： 平面平面. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知椭圆的左焦点为，且点在上. （1）求的方程； （2）已知，点为上一点. （i）若为原点，点在第一象限内，NP延长线交轴于点与的面积之比为1:2，求点坐标； （ii）设直线PM与的另一个交点为点，直线PN与的另一个交点为点不重合）.设，求证：当点在上运动时，为定值，并求出此定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $