精品解析：江苏省无锡市梁溪区2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题

2024年秋学期初中学业水平抽测 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟． 试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名等个人信息填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名等个人信息是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑． 如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．) 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 4. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（ ） A. B. C. D. 5. 某商品经过两次降价，每件零售价由50元降为30元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程（ ） A. 5 B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点 ，若以原点O为圆心、5为半径画圆，则点 P与的位置关系是（ ） A. 点P在上 B. 点P在外 C. 点P在内 D. 无法确定 7. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 任意三点都能确定一个圆 C. 任意三角形都只有一个外接圆 D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 8. 如图， 点、、在上， 延长到点 ， 若， 则的度数是( ) A. B. C. D. 9. 如图， 是的内接三角形， 沿折叠， 恰好经过中点 ， 连接，若， ， 则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 、 是 的两条弦， ，，、 的延长线相交于点 ， 若， 则的半径是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第二空2分． 不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．) 11. 一元二次方程化成一般形式是________________________． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____________________． 13. 若一元二次方程的一个根是0，另一个根是负数，请写出一个符合条件的方程：______________________________． 14. 若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为__________cm2． 15. 如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是______________________． 16. 一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥长，测得圆周角，则这个人工湖的直径是____________________． 17. 如图， 在中， 作， 若的内心I恰好落在上， 则_______________． 18. 在平面直角坐标系中，已知，点在以为圆心，为半径的圆上运动，作点关于直线、的对称点、，则__________，DE的最小值为____________________． 三、解答题(本大题共10小题，共96分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．) 19. 解方程∶ （1） （2）； （3）； （4）． 20. 已知关于x的一元二次方程其中a、b、c分别是的三条边长． 若是方程的根，请判断的形状，并说明理由． 21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． 22. 如图， 在 中， ， ， ， 是 的外接圆． 求的半径和的长． 23. 如图， 是的直径， 是的弦， 、的延长线交于点，． 若 求的度数． 24. 如图，是 的高，以为直径作交的延长线于点 E，连接，． （1）与有怎样的位置关系？ 请说明理由； （2）若求 的周长． 25. 某农场计划修建一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为 ) ，另外三面用栅栏围成(如图) ．已知栅栏的修建费是每米60元，若计划修建费为3000元并全部用于修建栅栏，则该农场能否修建成 的矩形养殖场？ 若能，请算出这个矩形养殖场的边长； 若不能，请说明理由． 26. 某公司组织员工去旅游，旅行社给出的服务收费标准为：游客不超过30人，人均收费800元； 超过30人，每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． 已知公司先后组织了两批员工去旅游，分别支付给旅行社28000元和30800元，求公司先后参加这次旅游的两批员工的总人数． 27. 如图， 是半圆的直径， 、在半圆上， 半径垂足为，连接、、． （1）求证∶ 平分； （2）若 ， 求的值． 28. 数学实验室． （1）尝试探究∶ 如图1， 在中，， D在上． ，垂足分别为E，F，请问在上是否存在点N，使？ 若存在，请在图1中用尺规作图把点N画出来(不写作法，保留痕迹) ；若不存在，请说明理由． （2）实践运用∶ 如图2，在的内部，请用尺规作图在上确定一点P，使点P到两边的距离之和最大(不写作法，保留痕迹) ． （3）思考计算∶ 在 (2) 的条件下， 若， 的半径为，则点P到 两边距离之和最大值与最小值的差为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期初中学业水平抽测 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟． 试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名等个人信息填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名等个人信息是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑． 如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．) 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程是一元二次方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，不是一元二次方程方程，不符合题意； B. ，不一定是一元二次方程，不符合题意； C. ，是一元二次方程，符合题意； D. ，不是一元二次方程，不符合题意； 故选C． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， 故即， 故选D． 3. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】把x=-1代入方程x2-2x+m=0得1+2+m=0，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：根据题意，将x=-1代入x2-2x+m=0，得：1+2+m=0， 解得m=-3， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 【详解】移项，配方，即可得出选项． 解：， ， ， ， 故选：A． 5. 某商品经过两次降价，每件零售价由50元降为30元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得， ， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，已知点 ，若以原点O为圆心、5为半径画圆，则点 P与的位置关系是（ ） A. 点P在上 B. 点P在外 C. 点P在内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点P在圆上即可． 本题考查了两点间距离公式，点圆的位置关系，熟练掌握公式和点圆位置关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点P在圆上， 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 任意三点都能确定一个圆 C. 任意三角形都只有一个外接圆 D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的性质，判断解答即可． 本题考查了圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】解：A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误，不符合题意； B. 任意不共线的三点都能确定一个圆，故该选项错误，不符合题意； C. 任意三角形都只有一个外接圆，故该选项正确，符合题意； D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 8. 如图， 点、、在上， 延长到点 ， 若， 则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理，如图，设点是优弧（不与，重合）上的一点，则，根据圆内接四边形的对角互补即可求得． 【详解】：如图，设点是优弧������不与，重合上的一点，连接、， ． ， ． ． 故选：A． 9. 如图， 是的内接三角形， 沿折叠， 恰好经过中点 ， 连接，若， ， 则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形，根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，进而证明是等腰直角三角形，矩形是正方形，得出，证明得出是等腰直角三角形，即可得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形 ∵是的中点， ∴，故A正确， ∵ ∴，故B正确， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴，故C正确 ∴，故D不正确 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，弧与圆心角的关系，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10. 如图， 、 是 的两条弦， ，，、 的延长线相交于点 ， 若， 则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，过点作于点，根据已知得出是等腰直角三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，连接，得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作，过点作于点 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 过点作于点， ∴， ∴， 又∵， ∴，则， ∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，连接， ∴ ∴, ∴，则 同理可得 ∴， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴即的半径为 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第二空2分． 不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．) 11. 一元二次方程化成一般形式是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且)，首先把方程左边的两式相乘，移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可． 【详解】解：一元二次方程 ∴ ∴一般形式是． 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：． 13. 若一元二次方程的一个根是0，另一个根是负数，请写出一个符合条件的方程：______________________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根是0，另一个根是负数，可以将方程写为即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是0，另一个根是负数，取， ∴可以将一元二次方程写成即， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为__________cm2． 【答案】15π 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积计算公式计算即可． 【详解】解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm2． 故答案为：15π． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式． 15. 如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是______________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， 故答案为：． 16. 一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥长，测得圆周角，则这个人工湖的直径是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，作直径，连接，根据题意可得，，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：作直径，连接， ∴，， ∴， 故答案为：． 17. 如图， 在中， 作， 若的内心I恰好落在上， 则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交于点，根据全等三角形的判定与性质得出，再由内心的性质得出，然后，则有等量替换和三角形外角的性质得出，最后由等角对等腰得出，由此求出． 【详解】连接，设交于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 为的内心， 平分， 平分， 即， , ，， ， 设， 则， ， 为的一个外角， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心、角平分线性质、等腰三角形的判定、以及全等三角形的性质和判定，能通过内心找到角与角、边与边的关系，是解答此题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，已知，点在以为圆心，为半径的圆上运动，作点关于直线、的对称点、，则__________，DE的最小值为____________________． 【答案】 ①. ##度 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定及性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，如图，在轴上取点，连接，，，，，，，证明四边形是正方形，得，，点和点关于对称，进而得是一、三象限的角平分线，再证明，，根据两点之间，线段最短得，即可得解． 【详解】解：如图，在轴上取点，连接，，，，，，， ∵，， ∴，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，，点和点关于对称， ∴是一、三象限的角平分线， ∴关于的对称点为，即是点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∵点关于直线、的对称点、，点和点关于对称， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据两点之间，线段最短得，，即，当点、、共线时，取最小值， ∴， ∴， 故答案为：，． 三、解答题(本大题共10小题，共96分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．) 19. 解方程∶ （1） （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）可以用直接开平方法解方程即可； （2）把方程化为：，运用配方法的步骤解方程即可； （3）把方程化为：，再化为两个一次方程，解方程即可； （4）计算，再运用公式法的步骤解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ； 【小问3详解】 解： ， ， ； 【小问4详解】 解： ， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ， ； 20. 已知关于x的一元二次方程其中a、b、c分别是的三条边长． 若是方程的根，请判断的形状，并说明理由． 【答案】 解：是等腰三角形，理由如下， 依题意，将代入得 ∴即 ∴是等腰三角形 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的定义．把代入一元二次方程得到，即可判断三角形的形状． 【详解】略 21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：x2-（2k+1）x+k2+k=0， a=1，b=-（2k+1），c= k2+k， ∵Δ=[-（2k+1）]2-4×（k2+k）=1＞0， ∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根． 【详解】略 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 22. 如图， 在 中， ， ， ， 是 的外接圆． 求的半径和的长． 【答案】的半径为， 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据题意可得是的直径，，进而求得半径，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴是的直径， ∴ ∴的半径为 在中，． 23. 如图， 是的直径， 是的弦， 、的延长线交于点，． 若 求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质；根据已知得出，根据得出，进而根据三角形外角的性质，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 24. 如图，是 的高，以为直径作交的延长线于点 E，连接，． （1）与有怎样的位置关系？ 请说明理由； （2）若求 的周长． 【答案】（1） 与相切．理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵是 的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又为半径， ∴与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角得出，由直角三角形两锐角互余得出，由对顶角相等得出，等量代换可得出，，由等边对等角得出，进而可得出，进一步即可得出与相切． （2）设，则，由勾股定理得出，则，再利用勾股定理分别求出和，再根据三角形的周长求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， 由题意知：，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， 在中， ∴， 在中， ， ∴的周长为： 【点睛】本题主要考查了圆切线的证明，直角三角形两锐角，等边对等角，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 25. 某农场计划修建一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为 ) ，另外三面用栅栏围成(如图) ．已知栅栏的修建费是每米60元，若计划修建费为3000元并全部用于修建栅栏，则该农场能否修建成 的矩形养殖场？ 若能，请算出这个矩形养殖场的边长； 若不能，请说明理由． 【答案】这个矩形养殖场的边长分别为、． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求得栅栏长，设垂直于墙的边长为，则平行于墙面的边长为，依题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：栅栏长为 设垂直于墙的边长为，则平行于墙面的边长为，依题意， ， 解得：或， 当时，，舍去， 当时，， ∴这个矩形养殖场的边长分别为、． 26. 某公司组织员工去旅游，旅行社给出的服务收费标准为：游客不超过30人，人均收费800元； 超过30人，每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． 已知公司先后组织了两批员工去旅游，分别支付给旅行社28000元和30800元，求公司先后参加这次旅游的两批员工的总人数． 【答案】公司先后参加这次旅游的两批员工的总人数为人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，首先确定是否超过三十人，然后设参加这次旅游两批员工的人数为x，人，根据总费用分别为28000和30800元列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：因为，所以人数都超过30人； 这次旅游第一批员工的人数为x人，根据题意得， ， 解得，或， 当时，，故应舍去， 设第二批员工的人数为人，根据题意得 ，此方程无解 ∴人均收费为550元． （人） ∴先后参加这次旅游的两批员工的总人数为（人） 答：公司先后参加这次旅游的两批员工的总人数为人． 27. 如图， 是半圆的直径， 、在半圆上， 半径垂足为，连接、、． （1）求证∶ 平分； （2）若 ， 求的值． 【答案】（1） 证明：∵半径 ∴ ∴，即平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，解直角三角形； （1）根据垂径定理，得出，则即可得证； （2）根据题意可得，勾股定理求得，进而得出，根据垂径定理可得，进而得出，又，得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是半圆的直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵半径 ∴ ∴ 又∵ ∴ 28. 数学实验室． （1）尝试探究∶ 如图1， 在中，， D在上． ，垂足分别为E，F，请问在上是否存在点N，使？ 若存在，请在图1中用尺规作图把点N画出来(不写作法，保留痕迹) ；若不存在，请说明理由． （2）实践运用∶ 如图2，在的内部，请用尺规作图在上确定一点P，使点P到两边的距离之和最大(不写作法，保留痕迹) ． （3）思考计算∶ 在 (2) 的条件下， 若， 的半径为，则点P到 两边距离之和最大值与最小值的差为 ． 【答案】（1）存在，如图1，点即为所作； （2） 如图2，点即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，作与关于对称，延长交于，证明，，则，如图1，过作于，则四边形为矩形，则，点即为所作； （2）由（1）可知，等腰三角形底边上的点到顶角两边的距离和，等于底角顶点到另一条腰的距离，且底角顶点离顶点越远，距离和越大，可知点在以为顶角的等腰三角形的底边与相切的切点位置，如图2，以为顶角，作等腰三角形，过作的垂线，交于点，点即为所求； （3）如图3，作的切线交于，交于，切点为，且，则，如图3，作于，于，于，则四边形是矩形，则，，由题意知，点P到两边距离之和最大，点Q到两边距离之和最小，点P到 两边距离之和最大值与最小值的差为，如图3，作于，则四边形是矩形，，证明，则，然后作答即可． 【小问1详解】 解：如图1，作与关于对称，延长交于， 由轴对称的性质可知，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图1，过作于，则四边形为矩形， ∴， ∴存在，点即为所作； 【小问2详解】 解：由（1）可知，等腰三角形底边上的点到顶角两边的距离和，等于底角顶点到另一条腰的距离，且底角顶点离顶点越远，距离和越大， ∴当在的内部，上一点P，使点P到两边的距离之和最大时，点在以为顶角的等腰三角形的底边与相切的切点位置， 如图2，以为顶角，作等腰三角形，过作的垂线，交于点， 如图，过作线段， ∴为为顶角的等腰三角形， ∴，为半径， ∴是的切点， ∴点即为所求； 【小问3详解】 解：如图3，作的切线交于，交于，切点为，且， ∴， 如图3，作于，于，于，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意知，点P到两边距离之和最大，点Q到两边距离之和最小， ∴点P到 两边距离之和最大值与最小值的差为， ∵， ∴为等边三角形，，， 如图3，作于，则四边形是矩形，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作垂线，切线的判定与性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握轴对称的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作垂线，切线的判定与性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $