精品解析：四川省自贡市旭川中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

旭川中学高2025届高三上学期期中考试 暨自贡一诊考前模拟数学试卷 考试范围：除平面解析几何外的全部高中所学内容 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，，满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的大约需要经过（ ）年.（） A. 155 B. 159 C. 162 D. 166 8. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 在上单调递增 10. 已知函数，则（ ） A. 若，则有且仅有两个零点 B. 若，则0为的极值点 C. 当为定值时，曲线在处的切线在轴上的截距为定值 D. 若，当且仅当时，曲线上存在关于直线对称的两点 11. 已知函数，，定义域均为，下列说法正确的是（ ） A. 函数与有相同的最小正周期 B. 若函数在上单调递增，则的最小值为 C. 当，的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 D. 当时，若方程在区间内的解为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一个空2分，第二个空3分. 12. 若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是_____. 13. 若是定义在上的奇函数，，，则________． 14. 设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 17. 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001； （2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间内，阅读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题： （1）在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：，（其中表示的次导数，），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式，当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式，比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式，，，，请利用上述公式和所学知识写出在处的泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可） （2）设为正整数，数列，，，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，，是一可分数列.请写出所有的，，使数列，，，是—可分数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 旭川中学高2025届高三上学期期中考试 暨自贡一诊考前模拟数学试卷 考试范围：除平面解析几何外的全部高中所学内容 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，求得，结合集合并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 所以集合， 又因为，可得. 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底，根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】由题意，如图， ， 故选：A 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的底数小于1得到函数单调递减，判断出，的大小关系，又判断出，大于1，小于1，从而得出结论. 【详解】由于在单调递减，故， 又∵，∴. 故选：A. 5. 已知实数，，满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知等式可确定，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可. 【详解】由题，， 取，则，故A错误； ，故B错误； ，故D错误； 因为，所以，即，故C正确. 故选：C. 6. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 7. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的大约需要经过（ ）年.（） A. 155 B. 159 C. 162 D. 166 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出等量关系，借助换底公式和题目给出的参考量得出结果. 【详解】设氚含量变成初始量的大约需要经过年， 则，， 即年， 故选：B. 8. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案. 【详解】由题， 得， 则或， 因为，所以， . 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】通过赋值法及特例逐项判断即可. 【详解】由知， 当时， ，即，故A正确； 取，则满足条件， 但，且是在上单调递减，故B，D错误； 当时，，即，故C正确. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 若，则有且仅有两个零点 B. 若，则0为的极值点 C. 当为定值时，曲线在处的切线在轴上的截距为定值 D. 若，当且仅当时，曲线上存在关于直线对称的两点 【答案】ACD 【解析】 【分析】将代入，利用因式分解求的零点可判断A选项；利用特殊情况，即用来判断В选项；利用导数求曲线在处的切线方程即可判断C选项；由曲线上存在关于直线对称的两点，可得即有非零的实根，进而转化为一元二次不等式，可判断D选项； 【详解】对于A：若， 有且仅有两个零点，故A正确； 对于B：若，当时没有极值点，故В错误； 对于C：，， 故切线方程为，在轴上的截距为，为定值，C正确； 对于D：曲线上存在关于直线对称的两点 即有非零的实根， 即， 化简得有非零的实根， 故有非零的实根， 故，得，由于每步都为充要条件，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，，定义域均为，下列说法正确的是（ ） A. 函数与有相同的最小正周期 B. 若函数在上单调递增，则的最小值为 C. 当，的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 D. 当时，若方程在区间内的解为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正余弦型函数的周期判断A，根据正弦型函数的单调性判断B，根据图象平移判断C，根据正弦型函数的对称性及诱导公式判断D. 【详解】对A，周期均为，故A正确； 对B，时，，由在上单调递增， 所以，解得，故B正确； 对C，当时，，函数的图象向右平移个单位得到 ，故C错误； 对D，当时，，即， 由可知， 因为，且，所以由正弦函数性质可知， 即，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一个空2分，第二个空3分. 12. 若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得到关于的关系式，从而将问题转化为与函数的图象的交点个数问题，构造函数，利用导数研究其单调性与最值，数形结合即可得解. 【详解】依题意，设切点为，因为，所以， 则切线方程为， 将代入得，即， 因为过点作曲线的切线有且仅有两条， 则关于的方程有两解， 可转化为直线与函数的图象有两个交点， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，又当时，恒成立，， 则与的大致图象如图， 数形结合可知，. 故答案为：. 13. 若是定义在上的奇函数，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，推得，得到的周期为，再求得的值，结合周期性，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，故， 又因为，所以，故， 所以，即的周期为， 由于为定义在上的奇函数，且， 可得，，， 所以， 则. 故答案为：. 14. 设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________． 【答案】 ①. 1 ②. 121 【解析】 【详解】试题分析：， 再由，又， 所以 【考点】等比数列的定义，等比数列的前项和． 【易错点睛】由转化为的过程中，一定要检验当时是否满足，否则很容易出现错误. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求的值. （2）根据面积可求，再根据余弦定理可求. 【小问1详解】 由正弦定理与，得. 所以即. 因为，所以，又，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，即，解得. 由余弦定理，得，所以. 17. 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001； （2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 【答案】（1）有关联 （2） 的分布列为： 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据二联表中数据，求解卡方，即可与临界值比较作答， （2）根据抽样比可得抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有2人，不少于4小时的有3人，即可利用超几何分布的概率公式求解. 【小问1详解】 零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联. 由列联表中的数据，可得， . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异. 【小问2详解】 抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人， 所以所有可能的取值为， 所以，，， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 随机变量的数学期望. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面； 所以平面； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直性质定理知平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面； （2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，根据三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连结，， 因为，所以； 又因为平面，平面平面， 所以平面； 因为平面，所以； 因为，所以； 如图建立空间直角坐标系，由题意得， ， 设平面的法向量为，则 即， 令，则； 所以； 又，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设是棱上一点，则存在使得． 因此点，． 因为平面，所以平面当且仅当， 即，解得． 所以在棱上存在点使得平面，此时． 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用． 19. 新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间内，阅读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题： （1）在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：，（其中表示的次导数，），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式，当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式，比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式，，，，请利用上述公式和所学知识写出在处的泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可） （2）设为正整数，数列，，，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，，是一可分数列.请写出所有的，，使数列，，，是—可分数列. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，利用泰勒展开式的定义即可得解； （2）直接利用可分数列的定义即可得解. 【小问1详解】 因为，，， ，其中， 所以在处的泰勒展开式为： ， 【小问2详解】 由题意可知，问题相当于从中取出两个数和， 使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $