精品解析：北京市西城区育才学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年度第一学期 北京市育才学校九年级数学学科期中考试试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 一副扑克牌中有“黑桃”、“红桃”、“梅花”、“方块”四种花色，其中外轮廓既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义；理解定义：“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．” 是解题的关键． 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征，根据它们的坐标特征判断即可． 【详解】解：A、抛物线经过点，故符合题意； B、双曲线不经过点，故不符合题意； C、抛物线不经过点，故不符合题意； D、直线不经过点，故不符合题意； 故选：A． 3. 一元二次方程的根的情况是( ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】分别写出一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，并算出根的判别式的大小，即可判断根的情况． 【详解】解：一元二次方程为：，其中二次项系数a=2，一次项系数b=1，常数项c=-3， 根的判别式， ∴有两个不等的实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次函数根的判别式，解题的关键在于求出方程的，若＞0，则有两个不等的实数根，若=0，则有两个相等的实数根，若＜0，则没有实数根． 4. 将抛物线向上平移5个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下减．”是解题的关键． 【详解】解：二次函数向上平移个单位， 得到二次函数， 故选：A． 5. 在中，，平分，交于点O．以点C为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得与的位置关系． 【详解】如图： ，平分， ， 为的半径， 是的切线， 与的位置关系是相切． 故选：B． 6. 学习了旋转后，小毓将图案绕某点以相同角度连续旋转若干次，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是理解并掌握旋转的性质．由题意依据每次旋转相同角度，最后要形成一个正五边形，进行分析即可得出答案． 【详解】解：A．，因此绕某点每次旋转，至少要连续旋转10次才能形成一个正多边形图案，而这样旋转出的正多边形，不可能是正五边形图案，故该选项符合题意； B．，所以绕某点每次旋转，连续旋转5次正好能形成一个正五边形图案，故该选项不符合题意； C．因为，所以绕某点每次旋转，连续旋转5次正好能形成一个正五边形图案，故该选项不符合题意； D．因为，所以绕某点每次旋转，连续旋转5次正好能形成一个正五边形图案，故该选项不符合题意． 故选：A． 7. 如图，为的直径，弦交于点E，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质等；由等腰三角形的性质得，由同弧所对的圆周角相等得，，由直径所对的圆周角为直角得，即可求解；掌握 圆的基本性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 为的直径， ， ， ， 故选：C． 8. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：线段最长为圆的直径，先增加后减小； A、当时，可能大于，故不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，不一定等于，故本选项不符合题意； D、当时，，故本选项符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为． 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 11. 已知的半径为5，若点P在内，则__________5（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点与圆的关系，根据点与圆的三种关系即可判断得到答案．解题关键是熟知点与圆的三种关系． 【详解】解：∵的半径为5，点在内， ∴． 故答案为：． 12. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______. 【答案】y＝x2＋1． 【解析】 【详解】此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等． 13. 2024年6月27日，“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览在北京大运河博物馆开幕．据了解，开幕第一周的参观人数为4万人，第三周的参观人数增加到万人．设参观人数的周平均增长率为x，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键．根据第一周的参观人数为4万人，设参观人数的周平均增长率为x，则第二周为，第三周为，根据已知条件第三周人数，列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设参观人数的周平均增长率为，根据题意得： ， 故答案为：． 14. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则∠C的度数为_______． 【答案】30度## 【解析】 【分析】先根据旋转的性质求得，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，， ， ， ． 故答案为：30°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键． 15. 斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示， 问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺． 【答案】 【解析】 【分析】如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形CDEF为正方形， ∴∠D=90°，CD=DE， ∴CE是直径，∠ECD=45°， 根据题意得：AB=2.5， ， ∴ ， ∴ ， 即此斛底面的正方形的边长为 尺． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键． 16. 若二次函数的部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③；④关于x的不等式的解集是．其中正确结论的序号的是__________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数的性质等判断式子的符号，待定系数法，图象法解一元二次不等式等；①由图象得，即可判断；②由图象得，即可判断； ③由函数的对称性得与轴的另一个交点为，可得当时，，当时，即可判断； ④由交点式得可设，求出、、，即可判断；能熟练利用二次函数的性质等判断式子的符号是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， 故此项错误； ②由图象得： ， ； 故此项正确； ③由图象得：， 与轴的另一个交点为， 当时，， 当时， ； 故此项正确； ④抛物线与轴的交点坐标为，， 可设， 经过， ， 解得：， ， ，， ， 的解集为是； 故此项正确； 故答案：②③④． 三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【详解】解：方法一、， 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 方程的解为：，； 方法二、 其中，，， ， ，即， 方程的解为：，； 方法三、， 因式分解得：， 或， 方程的解为：． 18. 已知t是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确方程解的意义，整体代入求值; 把t代入方程，得出，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵t是方程的根， ∴． ∴． ∴． 19. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． （1）该抛物线的顶点坐标为__________； （2）求该抛物线的表达式； （3）将该抛物线向上平移__________个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的图像和性质，熟练掌握二次函数顶点式的图像和性质是解题的关键． （1）根据顶点式写出顶点坐标即可； （2）将点代入即可求出抛物线的表达式； （3）根据顶点式函数解析式进行平移即可； 【小问1详解】 解：抛物线解析式为， 故该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将点代入，得： 解得， 故函数解析式为：； 【小问3详解】 解：将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 故答案为：． 20. 如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB的长． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA，根据⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2可求出OM的长，由勾股定理求出AM的长，再由垂径定理求出AB的长即可． 【详解】解：如图，连接OA． ∵OM：MC＝3：2，OC＝10， ∴OM＝=6． ∵OC⊥AB， ∴∠OMA＝90°，AB＝2AM． 在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6， ∴AM＝8． ∴AB＝2AM =16． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为， ∴， 解得． 22. 下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程. 已知：⊙O. 求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC. 作法：如图， ①作直径AB； ②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点； ③作直线MO交⊙O于点C，D； ④连接AC，BC． 所以△ABC就是所求的等腰直角三角形. 根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：连接MA，MB． ∵MA=MB，OA=OB， ∴MO是AB的垂直平分线． ∴AC= ． ∵AB是直径, ∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ． ∴△ABC是等腰直角三角形． 【答案】（1）△ABC就是所求的等腰直角三角形. （2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角 【解析】 【分析】（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D；连结AC、BC即可； （2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ． (1)求该抛物线的解析式； (2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出解方程组即可； （2）先求抛物线与x轴的交点，转化求方程的解，再根据函数y＜0，函数图像位于x轴下方，在两根之间即可． 【详解】解：(1) 抛物线经过点A(0，－3)，B(1，0) 代入坐标得： ， 解得， 所求抛物线的解析式是． (2) 当y=0时，， 因式分解得：， ∴， ∴， 当y＜0时，函数图像在x轴下方， ∴y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）直接写出点的坐标： （3）求点B经过的路径的长（结果保留）． 【答案】（1） 即为所求： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—旋转变换，坐标与图形，勾股定理，弧长公式，解题的关键是掌握勾股定理以及弧长公式． （1）根据要求作图即可； （2）由图即可判断； （3）先计算出，再根据弧长公式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，点的坐标为． 【小问3详解】 解：由图可知，， ∴， 答：的长． 25. 如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为．当排球飞行到距离球网时达到最大高度．小毓建立了平面直角坐标系（1个单位长度表示）．求得该抛物线的表达式为． 根据以上信息，回答下列问题： （1）画出小毓建立的平面直角坐标系； （2）判断此次发球是否有效，并说明理由．（注：排球过球网且落在对方场地内为发球有效） 【答案】（1） 如图所示： （2） 发球无效．理由： 根据题意得：点B的横坐标为3， 当时，， ∴排球能过球网． 当时，， ∴排球出右边界， ∴发球无效． 【解析】 【分析】本题主要考查了建立二次函数的图象和性质，建立适当的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据该抛物线的表达式，得顶点坐标 ，从而得到建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，即可求解； （2）根据题意得：当时，判定是否过网，根据，判定是都出界，即可求解． 【小问1详解】 ∵该抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ， ∵当排球飞行到距离球网时达到最大高度． 根据题意得：点A的坐标为， ∴小毓建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴 【小问2详解】 略 26. 在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线上． （1）若m＝0，求该抛物线的对称轴； （2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线， ①直接写出的取值范围； ②已知点（－1，y1），（，y2），（3，y3）在该抛物线上．比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②，见解析 【解析】 【分析】（1）把点（1，m），m＝0，代入抛物线，利用待定系数法求解解析式，再利用公式求解抛物线的对称轴方程； （2）①先判断异号，求解抛物线的对称轴为： 抛物线与轴的交点坐标为：根据点（1，m）和（2，n）在抛物线上，则 可得 从而可得答案；②设点（－1，y1）关于抛物线的对称轴的对称点为，再判断．结合抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小，从而可得答案. 【详解】解：（1）∵点（1，m）在抛物线上，m＝0， ∴． ∴． 所以抛物线为： ∴该抛物线的对称轴为． （2）① 则异号， 而抛物线的对称轴为： 令 则 解得： 所以抛物线与轴的交点坐标为： 点（1，m）和（2，n）在抛物线上， 即 ②．理由如下： 由题意可知，抛物线过原点． 设抛物线与x轴另一交点的横坐标为x´． ∵抛物线经过点(1，m)，(2，n)，mn＜0 ∴1＜x＜2． ∴． 设点（－1，y1）关于抛物线的对称轴的对称点为． ∵点（－1，y1）在抛物线上， ∴点也在抛物线上． 由 得． ∵， ∴1＜2t＜2． ∴2＜2t＋1＜3． ∴． 由题意可知，抛物线开口向下． ∴当时，y随x的增大而减小. ∵点（，y2），，（3，y3）在抛物线上，且， ∴ 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的对称轴方程，抛物线的对称性与增减性，掌握“利用抛物线的增减性判断二次函数值的大小”是解本题的关键. 27. 如图，在△ABC中，，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且，连接DE，过点A作于M． （1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明； （2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明． 【答案】 （1）补全图形如下图， DM与ME之间的数量关系为DM=ME． 证明：连接AE，AD， ∵ ∠BAC=90°，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45°． ∴ ∠ABE=180°-∠ABC=135°． ∵ 由旋转，∠BCD=90°， ∴ ∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°． ∴ ∠ABE=∠ACD． ∵ AB=AC，BE=CD， ∴ △ABE ≌ △ACD． ∴ AE=AD． ∵ AM⊥DE于M， ∴ DM=EM． （2） 证明：连接AD，AE，BM． ∵ AB=AC=1，∠BAC=90°， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 由（1）得DM=EM， ∴ BM是△CDE的中位线． ∴ ，BM∥CD． ∴ ∠EBM=∠ECD=90°． ∵ ∠ABE=135°， ∴ ∠ABM=135°=∠ABE． ∵ N为BE中点， ∴ ． ∴ BM=BN． ∵ AB=AB， ∴ △ABN ≌ △ABM． ∴ AN=AM． ∵ 由（1），△ABE ≌ △ACD， ∴ ∠EAB=∠DAC，AD=AE． ∵ ∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°， ∴ ∠EAD=90°． ∵ DM=EM， ∴ ． ∴ ． 【解析】 【分析】（1）补全图形，连接AE、AD，通过∠ABE=∠ACD，AB=AC，BE=CD，证明 △ABE ≌ △ACD，得AE=AD，再利用AM⊥DE于M，即可得到DM=EM． （2）连接AD，AE，BM ，可求出，当时，可得，由（1）得DM=EM，可知BM是△CDE的中位线从而得到，BM∥CD，得到∠ABM=135°=∠ABE．因为N为BE中点，可知从而证明△ABN ≌ △ABM得到AN=AM，由（1），△ABE ≌ △ACD，可证明∠EAB=∠DAC，AD=AE进而得到∠EAD=90°，又因为DM=EM，即可得到． 【详解】 （1）略； （2）略． 【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 28. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义： 过点作轴和轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点． 例： 已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点． （1）已知：，，点， ① 在，，中，是的覆盖特征点的为___________； ② 若在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，求的取值范围． （2）以点D（3，4）为圆心，半径为作圆，在抛物线 上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________． 【答案】（1）①， ；②m≥-1且m≠0；（2）或 【解析】 【分析】（1）①根据覆盖的定义线段AB坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断 ②先找覆盖的特征点，将特征点代入函数，求出m的值，结合图像即可求出范围； （2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，当时，代入抛物线得，，结合图像得，，在直线x=4的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点综合即可． 【详解】解：（1）①根据覆盖的定义C点的纵坐标最大是3，B点的横坐标最大是3，即：且，所以， 是覆盖的特征点 ②设点为的覆盖的特征点．依题意得：， 当时，结合函数图像可知，在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，故符合题意． 当时，如图，点为的覆盖的特征点． 又∵点在一次函数的图像上， 又∵点在一次函数的图像上， 当直线过点时，即： 解得：． ∴结合函数图像可知． 综上所述：． （2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点， 当时，代入抛物线得 ， 解得：， 结合图像得，即存在覆盖特征点， 当时，此时y=4是一直线，不存在符合条件点， 当时，在直线x=4的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点， 综合得的范围是或． 【点睛】本题考查新定义问题，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期 北京市育才学校九年级数学学科期中考试试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 一副扑克牌中有“黑桃”、“红桃”、“梅花”、“方块”四种花色，其中外轮廓既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是( ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数 D. 无法确定 4. 将抛物线向上平移5个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，平分，交于点O．以点C为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 6. 学习了旋转后，小毓将图案绕某点以相同角度连续旋转若干次，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则不可能为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，弦交于点E，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 10. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 11. 已知的半径为5，若点P在内，则__________5（填“>”，“=”或“<”）． 12. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______. 13. 2024年6月27日，“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览在北京大运河博物馆开幕．据了解，开幕第一周的参观人数为4万人，第三周的参观人数增加到万人．设参观人数的周平均增长率为x，则可列方程为__________． 14. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则∠C的度数为_______． 15. 斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示， 问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺． 16. 若二次函数的部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③；④关于x的不等式的解集是．其中正确结论的序号的是__________． 三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分） 17. 解方程：． 18. 已知t是方程的一个根，求代数式的值． 19. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． （1）该抛物线的顶点坐标为__________； （2）求该抛物线的表达式； （3）将该抛物线向上平移__________个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 20. 如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB的长． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 22. 下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程. 已知：⊙O. 求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC. 作法：如图， ①作直径AB； ②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点； ③作直线MO交⊙O于点C，D； ④连接AC，BC． 所以△ABC就是所求的等腰直角三角形. 根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：连接MA，MB． ∵MA=MB，OA=OB， ∴MO是AB的垂直平分线． ∴AC= ． ∵AB是直径, ∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ． ∴△ABC是等腰直角三角形． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ． (1)求该抛物线的解析式； (2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）直接写出点的坐标： （3）求点B经过的路径的长（结果保留）． 25. 如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为．当排球飞行到距离球网时达到最大高度．小毓建立了平面直角坐标系（1个单位长度表示）．求得该抛物线的表达式为． 根据以上信息，回答下列问题： （1）画出小毓建立的平面直角坐标系； （2）判断此次发球是否有效，并说明理由．（注：排球过球网且落在对方场地内为发球有效） 26. 在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线上． （1）若m＝0，求该抛物线的对称轴； （2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线， ①直接写出的取值范围； ②已知点（－1，y1），（，y2），（3，y3）在该抛物线上．比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 27. 如图，在△ABC中，，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且，连接DE，过点A作于M． （1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明； （2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明． 28. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义： 过点作轴和轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点． 例： 已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点． （1）已知：，，点， ① 在，，中，是的覆盖特征点的为___________； ② 若在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，求的取值范围． （2）以点D（3，4）为圆心，半径为作圆，在抛物线 上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $