精品解析：广东省东莞市东华初级中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年第一学期期中质量自查 八年级 数学 （满分： 120分 时间： 120分钟） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题3分，共30分． 每小题只有一项符合题目要求． 1. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 3. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 物理实验中，小明研究一个小木块从斜坡上滑下时的运动状态．如图，斜坡为，，，小木块在斜坡上，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，点B，E，C，F在一条直线上．已知，，，，则的面积为（ ） A. 24 B. 27 C. 32 D. 48 10. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 直播课期间，刘老师买了一个手机支架，如图所示，手机支架利用了三角形的______． 12. 春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿． 如图，在平面直角坐标系中，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为 ，则点的坐标为_______． 13. 如图，在中，，是高，若，，则______． 14. 如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 15. 如图，中，的垂直平分线交于点E，若的周长14，的周长24，则______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，是的平分线，．试说明：． 17. 如图，△ABC中， BE是△ABC的角平分线，DE∥BC， 交AB于点D．若∠A=65°，∠BEC=95°，求∠BED的度数． 18. 如图， 是等边三角形， 点 D， E 分别在上， 且； ，是等边三角形吗？ 证明你的结论． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，作出关于直线对称的图形； （2）如图2，在直线上求作点P，使得． 20. 如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知，，米，米，求两个排污口之间的水平距离． 21. 【尝试初探】如图1，小明将两个含30°角的全等的三角尺拼成一个等边三角形，发现BCAB，小明得出结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．请利用小明的结论，完成下面的探究问题． 【深入探究】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，点P从点B出发，沿线段BA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作PE⊥BC于点E，作PF⊥AB交直线CD于点F，交直线BC于点Q，点P运动时间为t（秒）．求t为何值时，△PBE与△QCF全等，并说明理由． 五、解答题（三）： 本大题共2小题， 第22题13分， 第23题14分， 共27分． 22. 小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分于D，猜想之间的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值，得到下面几组对应值： （单位：度） 10 30 30 20 20 （单位：度） 70 70 60 60 80 （单位：度） 30 a 15 20 30 上表中______，于是得到之间的数量关系为______． （2）小明继续探究，如图2，在线段AE上任取一点P，过点P作于点D，请尝试写出之间的数量关系，并说明理由． （3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过的延长线上一点F作交的延长线于点D，当时，度数为______°． 23. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是 ． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中质量自查 八年级 数学 （满分： 120分 时间： 120分钟） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题3分，共30分． 每小题只有一项符合题目要求． 1. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意； B．图案成轴对称，故符合题意； C．图案不成轴对称，故不符合题意； D．图案不成轴对称，故不符合题意； 故你：B． 2. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 故的值可选5， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键． 3. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．根据题意和图形，可知是边的对角，由第一个三角形可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：图中的两个三角形全等， ， 故选：B 4. 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 则， ∴， ∴这个正多边形的每个外角为， 故选：． 5. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键． 6. 物理实验中，小明研究一个小木块从斜坡上滑下时的运动状态．如图，斜坡为，，，小木块在斜坡上，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，三角形内角和定理．根据题意先利用三角形内角和定理计算，再利用平行线性质即可得到的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边，解题的关键是根据图形判断出角平分线．根据图形可得是的角平分线，再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案． 【详解】过点作，垂足为，，垂足为， 是两把完全相同的长方形直尺， ， ， ， ， ， ， ， 点在这把直尺上的刻度读数分别是， ， 故选：A． 8. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 9. 如图，，，点B，E，C，F在一条直线上．已知，，，，则的面积为（ ） A. 24 B. 27 C. 32 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质可推得，，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 是直角三角形， ． 故选：B． 10. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积．过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点． ，，是的三条角平分线，，， ， 的三边、、长分别为20、30、40， ． 故选C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 直播课期间，刘老师买了一个手机支架，如图所示，手机支架利用了三角形的______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】手机支架利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 12. 春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿． 如图，在平面直角坐标系中，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为 ，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关轴对称的点的坐标特征，理解关于轴的对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标相同是解答关键． 根据关于的对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标相同来求解． 【详解】解：两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为 ， 点与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，是高，若，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查的是含角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，通过直角三角形的性质求出，，根据含度角的直角三角形性质求出，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：8． 14. 如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，的垂直平分线交于点E，若的周长14，的周长24，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质定理．根据线段的垂直平分线的性质可得，，从而得到，然后根据的周长24，求出，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为14， ∴， ∴的周长是， ∴， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，是的平分线，．试说明：． 【答案】 证明： 是的平分线， ． 在和中， ， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的性质找到证明三角形全等的条件． 根据角平分线的定义得到，再结合已知的相等线段，利用全等三角形的判定定理证明，最后根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略 17. 如图，△ABC中， BE是△ABC的角平分线，DE∥BC， 交AB于点D．若∠A=65°，∠BEC=95°，求∠BED的度数． 【答案】 【解析】 【分析】求出∠ABES、∠EBC，再利用平行线的性质即可解决问题． 【详解】∵∠BEC是△ABE的外角， ∴∠BEC =∠A+∠ABE． ∵∠A = 65°，∠BEC = 95°， ∴∠ABE =∠BEC-∠A = 95°-65° =30° ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE =∠EBC． ∵DE∥BC， ∴∠DEB =∠EBC ∴∠DEB =∠EBC =∠ABE = 30°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18. 如图， 是等边三角形， 点 D， E 分别在上， 且； ，是等边三角形吗？ 证明你的结论． 【答案】 是等边三角形，证明如下； ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，先由等边三角形的性质得到，再证明，进而可证明是等边三角形． 【详解】略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，作出关于直线对称的图形； （2）如图2，在直线上求作点P，使得． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 如图，点P即为所作； 【解析】 【分析】本题考查轴对称变换知识，解题的关键是作出对称点以及对应点解决问题． （1）分别作出点A、B关于直线对称点，再顺次连接即可； （2）作出点A关于直线的对称点D，连接交直线于点P，再连接，此时． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知，，米，米，求两个排污口之间的水平距离． 【答案】500米 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴米． 所以，两个排污口之间的水平距离为500米 21. 【尝试初探】如图1，小明将两个含30°角的全等的三角尺拼成一个等边三角形，发现BCAB，小明得出结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．请利用小明的结论，完成下面的探究问题． 【深入探究】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，点P从点B出发，沿线段BA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作PE⊥BC于点E，作PF⊥AB交直线CD于点F，交直线BC于点Q，点P运动时间为t（秒）．求t为何值时，△PBE与△QCF全等，并说明理由． 【答案】或4 【解析】 【分析】分点Q在线段BC上或点Q在BC的延长线上，分别根据图形可得BQ=2BP，从而解决问题． 【详解】解：当点Q在线段BC上时， ∵AB∥CD，PF⊥AB， ∴∠F=90°， ∵△PBE与△QCF全等， ∴CQ=BP=t， ∵∠B=60°， ∴∠BQP=30°， ∴BQ=2t， ∴2t+t=4， ∴t=， 当点Q在BC的延长线上时， ∵△PBE与△QCF全等， ∴BP=CQ， 同理得，BQ=2t， ∴BC=t=4， 综上：t=或4时，△PBE与△QCF全等． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，平行四边形的性质，含30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，熟练掌握全等三角形的性质进行分类讨论是解题的关键． 五、解答题（三）： 本大题共2小题， 第22题13分， 第23题14分， 共27分． 22. 小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分于D，猜想之间的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值，得到下面几组对应值： （单位：度） 10 30 30 20 20 （单位：度） 70 70 60 60 80 （单位：度） 30 a 15 20 30 上表中______，于是得到之间的数量关系为______． （2）小明继续探究，如图2，在线段AE上任取一点P，过点P作于点D，请尝试写出之间的数量关系，并说明理由． （3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过的延长线上一点F作交的延长线于点D，当时，度数为______°． 【答案】（1）20，． （2） 解：之间的数量关系是：．理由如下： 如图：过点A作于F， 由（1）可知：， ∵， ∴． （3）31 【解析】 【分析】（1）先求出，根据角平分线的定义得，然后根据得，据此可求出的度数，进而可得a的值；由得，再由角平分线的定义得，然后可得出之间的数量关系； （2）过点A作于F，由（1）可知，再根据得，然后由平行线的性质得，据此可得之间的数量关系； （3）过点B作交于点G可得，进而得，根据求出，再由角平分线的定义得，然后再求出，进而由三角形外角定理得，据此即可得出的度数． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴,即：． 之间的关系是：． 理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：过点B作交EF于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：31． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角定理、垂直的定义、平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角定理是解答本题的关键． 23. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是 ． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 【答案】（1）B； （2）C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， 在和中 ， ， 故选B； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， 即 ， 故选C； （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $