精品解析：北京市房山区2024-2025学年高二上学期学业水平调研（一）数学试题

房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（一） 高二数学 本试卷共4页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用中点的坐标公式计算即可. 【详解】由题可知中点的坐标为. 故选：A 2. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用关于坐标轴、坐标平面对称点的特征求解即得. 【详解】依题意，点关于坐标平面的对称点为. 故选：C 3. 已知向量，，如果，则x的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列式求解，即得答案. 【详解】由题意知向量，，， 则，故， 故选：B 4. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】， 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为， 故选：D 5. 已知直线：与直线：平行，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两条直线平行的充要条件列式计算即得. 【详解】由直线：与直线：平行， 得，解得， 所以a的值为1. 故选：A 6. 如图，在平行六面体中，与相交于点．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行六面体的几何性质，利用空间向量的线性运算，可得答案. 【详解】在平行六面体中，与相交于点， 则为的中点，． 故选：B. 7. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案. 【详解】若，则或，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：D. 8. 已知圆C：和两点，（），若圆C上存在点P，使得，则m的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由直角三角形性质得，要求的最小值即求圆上点到原点的最小距离，从而得解. 【详解】显然，因为，所以， 所以要求的最小值即求圆上点到原点的最小距离， 因为，所以，即的最小值为. 故选：C 9. 已知直线l：，圆：，圆：，a，.则下列说法错误的是（ ） A. 若圆心在圆内，则圆心在圆内 B. 若圆心在圆内，则直线l与圆相离 C. 若直线l与圆相切，则直线l与圆相切 D. 若直线l与圆相切，则圆心在直线l上 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心的半径，结合点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径， 对于A，圆心在圆内，则，，圆心在圆内，A正确； 对于B，圆心在圆内，则，点到直线的距离，直线l与圆相离，B正确； 对于CD，直线l与圆相切，则，点到直线的距离， 圆心在直线l上，直线l与圆相交，C错误，D正确. 故选：C 10. 在正方体中，，其中，.给出下列三个结论： ①所有满足条件的点M构成的图形为正方形（含内部）； ②当时，CM与所成角的最小值为； ③当时，存在点M，使得. 则所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，由平面向量基本定理可得解；建立空间直角坐标系，对于②先判断在线段上，可设，用表示向量夹角余弦值，结合不等式的性质判断即可；对于③，当时，可得，求得的值，即可判断不可能垂直. 【详解】如图所示： 对于①，因为，，， 由平面向量基本定理可得点在正方形内，故①正确； 对于②，当时，，即，， 所以在线段上， 如图以分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则设， 则 ， 所以， 因为，则， 所以当时，即点与重合时， CM与所成角的最小值为，故②正确； 对于③，由于， 则， 当时，， 所以， 则，不可能垂直，故不存在点M，使得，③错误. 故选：A 【点睛】方法点睛：利用空间向量法解决不定点问题. 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知点，，则直线AB的斜率______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜率的坐标公式计算即得. 【详解】由点，，得直线AB的斜率. 故答案为： 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则______；点A到直线BC的距离为______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】求出向量的坐标，再利用向量模的坐标表示及空间点到直线的距离公式计算得解. 【详解】由点，，得，所以； 由，得，所以点A到直线BC的距离为 . 故答案为：； 13. 已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可求得答案. 【详解】设圆的一般方程为， 将点代入得， 解得，满足，则， 将代入也适合， 故所求圆的方程为. 故答案为： 14. 过点且与原点的距离最大的直线l的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设点为A，确定所求直线为过点且与直线OA垂直的直线，求出斜率，即可得答案. 【详解】设点为A， 则过点且与原点的距离最大的直线l为过点且与直线OA垂直的直线， 而OA斜率为1，故所求直线斜率为-1， 则所求直线方程为，即， 故答案为： 15. 已知正方体，，为钝角，则实数的一个可能的取值为______. 【答案】（答案不唯一，） 【解析】 【分析】设，，正方体的棱长为1，在中，利用余弦定理求出，在中，再利用余弦定理即可求解. 【详解】设，，正方体的棱长为1，则， 在中，，由余弦定理得， 由为钝角，得，则，显然与都不重合，即， 在中，，，由余弦定理得， 于是，即，解得， 而，则，所以实数的取值范围是，取. 故答案为： 16. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中.已知一条曲线C的方程为，给出下面四个结论： ①曲线C上两点间距离的最大值为； ②若点在曲线C内部（不含边界），则； ③若曲线C与直线有公共点，则； ④若曲线C与圆（）有公共点，则. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】作出的图象，结合图象分析任意两点距离的最大值判断①；根据直线与的交点坐标进行判断②；根据直线与相切时的取值进行判断③；分析临界情况：经过与坐标轴的交点、与在四个象限相切，由此求解出的范围判断④. 【详解】当时，，圆心； 当时，，圆心； 当时，，圆心； 当时，，圆心； 当时，；当时， 作出在平面直角坐标系下的图象如下： 对于①，上任意两点距离的最大值为，①正确； 对于②，点在直线上，由，解得或， 而点在曲线内部（不含边界），则有，②正确； 对于③，当直线与相切时，如图， 若与在第二象限相切时，则到的距离等于圆的半径， 则，而，解得， 若与在第四象限相切时，则到的距离等于圆的半径， 则，而，解得， 结合图象知，曲线与直线有公共点时有，③正确； 对于④，如图， 曲线与坐标轴的交点坐标为， 因此当刚好经过曲线与坐标轴的交点时，此时， 当刚好与在四个象限内部分都相切时，， 因此曲线与圆有公共点时，④错误. 故答案为：①②③ 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的综合运用，难度较大.数形结合是处理本题的高效方法，通过在图象上对临界位置的分析，得到直线与相切以及圆与相切时参数的取值. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知的三个顶点，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边的高线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程； （2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率，代入点斜式方程可得结果. 【小问1详解】 由，可知， 故所求直线的方程为， 即. 【小问2详解】 易知， 则所求直线的斜率为， 故所求直线的方程为， 即. 18. 已知圆C与x轴相切于点，并且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若圆C与直线l：交于A，B两点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求m的值. 条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 若选条件①：或； 若选条件②：或； 若选条件③：或. 【解析】 【分析】（1）由题意求出圆心和半径，即得答案； （2）根据所选条件，均可以求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式求出m的值即可. 【小问1详解】 由题意知圆C的圆心在直线上，与x轴相切于点， 故设圆心为，则，则圆心为，半径为2， 故圆C的标准方程为 【小问2详解】 若选条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1； 则，而，故圆心C到直线l的距离为， 所以，解得或； 若选条件②：； 而，故圆心C到直线l的距离为， 所以，解得或； 若选条件③：， 而，是等腰直角三角形，, 故圆心C到直线l的距离为，所以，解得或. 19. 如图，棱长为1的正方体中，P是线段上的动点. （1）当点P为的中点时，求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）是否存在点P，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：以为坐标原点，的方向分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，则，则， 则，且直线不在平面内，故平面. AI （2） （3）不存在 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明线面平行即可； （2）求出平面的法向量，利用空间向量的距离公式计算即可； （3）根据线面垂直的空间向量证法即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面的法向量，，则，即， 令，则，则，而， 则点到平面的距离. 综上，点到平面的距离为. 【小问3详解】 假设存在这样的点，则设，其中，，则， 若平面，则，则，无实数解， 故不存在这样的点使得平面. 20. 如图，在三棱柱中，侧面是边长为3的正方形，侧面为矩形，，，M，D分别为，BC的中点，且. （1）求证：平面； （2）求平面ABC与平面夹角的余弦值； （3）判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）相交（不垂直），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面以及平面ABC的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案； （3）利用向量法可判断直线MN与平面的位置关系. 【小问1详解】 由题意知在三棱柱中，侧面是边长为3的正方形，侧面为矩形， 故，而平面， 故平面； 【小问2详解】 由于，，故，即， 则两两垂直，以A为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 平面的法向量可取， 则， 故平面ABC与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）结合知，， 则， 即不垂直，又平面，故MN和平面不平行， 又不共线，即直线MN与平面不垂直； 故直线MN与平面的位置关系为相交（不垂直）. 21. 已知点和圆C：. （1）求圆C的圆心坐标及半径的大小； （2）求过点P且与圆C相切的直线方程； （3）若直线：与圆C交于O，A两点，直线：与圆C交于O，两点,且，求证：直线AB恒过定点. 【答案】（1）圆心为，半径为 （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将圆的一般式化为标准式即可； （2）利用求圆切线的方式求解即可； （3）设的直线方程为，，然后联立方程组求解，根据找到参数的值或关系求定点即可. 【小问1详解】 由题可知， 所以圆的圆心为，半径为. 【小问2详解】 当过点直线斜率不存在时，为，显然此时与圆相切； 当过点直线斜率存在时，设为，若与圆相切， 则有 所以过点P且与圆C相切的直线方程为，. 【小问3详解】 由题可知， 显然可以竖直，但是不能水平，故设的直线方程为， 联立 得 所以有 所以 由题可知， 所以有 所以此时 此时的直线方程为 故过定点. 【点睛】关键点点睛：我们观察图象可知，圆关于轴对称，直线的所有情况也关于轴对称，我们大胆猜测定点在轴上，然后设直线的横截式方程计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（一） 高二数学 本试卷共4页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，如果，则x的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：与直线：平行，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 6. 如图，在平行六面体中，与相交于点．则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 8. 已知圆C：和两点，（），若圆C上存在点P，使得，则m的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知直线l：，圆：，圆：，a，.则下列说法错误的是（ ） A. 若圆心在圆内，则圆心在圆内 B. 若圆心在圆内，则直线l与圆相离 C. 若直线l与圆相切，则直线l与圆相切 D. 若直线l与圆相切，则圆心在直线l上 10. 在正方体中，，其中，.给出下列三个结论： ①所有满足条件的点M构成的图形为正方形（含内部）； ②当时，CM与所成角的最小值为； ③当时，存在点M，使得. 则所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知点，，则直线AB的斜率______. 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则______；点A到直线BC的距离为______. 13. 已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为______. 14. 过点且与原点的距离最大的直线l的方程为______. 15. 已知正方体，，为钝角，则实数的一个可能的取值为______. 16. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中.已知一条曲线C的方程为，给出下面四个结论： ①曲线C上两点间距离的最大值为； ②若点在曲线C内部（不含边界），则； ③若曲线C与直线有公共点，则； ④若曲线C与圆（）有公共点，则. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知的三个顶点，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边的高线所在直线的方程. 18. 已知圆C与x轴相切于点，并且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若圆C与直线l：交于A，B两点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求m的值. 条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 19. 如图，棱长为1的正方体中，P是线段上的动点. （1）当点P为的中点时，求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）是否存在点P，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，说明理由. 20. 如图，在三棱柱中，侧面是边长为3的正方形，侧面为矩形，，，M，D分别为，BC的中点，且. （1）求证：平面； （2）求平面ABC与平面夹角的余弦值； （3）判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 21. 已知点和圆C：. （1）求圆C的圆心坐标及半径的大小； （2）求过点P且与圆C相切的直线方程； （3）若直线：与圆C交于O，A两点，直线：与圆C交于O，两点,且，求证：直线AB恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $