集合与常用逻辑用语、不等式之一元二次方程、不等式讲义、课件-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——集合与常用逻辑用语、不等式之一元二次方程、不等式 【知识梳理】 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a，或x>b} {x|x≠a} {x|x<b，或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. [常用结论] 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为 (－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形. 3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[－，].(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 解析　(1)错误.≥0等价于(x－a)(x－b)≥0且x≠b. (3)错误.当a＝0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为∅. (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅. 2.(必修一P53练习T1改编)不等式－2x2＋x≤－3的解集为________________. 答案　(－∞，－1]∪ 解析　由－2x2＋x≤－3可得2x2－x－3≥0， 即(2x－3)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥， 故不等式的解集为(－∞，－1]∪. 3.若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝________. 答案　－14 解析　依题意知 解得故a＋b＝－14. 4.一元二次不等式ax2＋ax－1＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是____________. 答案　(－4，0) 解析　依题意知即 解得－4＜a＜0. 考点一　一元二次不等式的解法 例1 (1)(2024·北京海淀区模拟)不等式>0的解集为________________. 答案　{x|x>1，或x<－2} 解析　不等式>0等价于(x－1)(x＋2)>0， 解得x>1或x<－2， 所以不等式>0的解集为{x|x>1，或x<－2}. (2)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R). 解　原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， ①当a＞0时，原不等式可化为(x－1)＜0， 所以当a＞1时，解得＜x＜1； 当a＝1时，解集为∅； 当0＜a＜1时，解得1＜x＜. ②当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0， 即x＞1. ③当a＜0时，＜1，原不等式可化为(x－1)＞0， 解得x＞1或x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为， 当a＝1时，不等式的解集为∅， 当a＞1时，不等式的解集为， 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}， 当a＜0时，不等式的解集为. 方法总结　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 训练1 (1)(2024·潍坊质测)若a∈R，则关于x的不等式4x2－4ax＋a2－1<0的解集为________. 答案　 解析　原不等式可转化为[2x－(a＋1)][2x－(a－1)]<0， 因为>， 所以不等式的解为<x<. (2)解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. 解　由题意知，Δ＝a2－4， ①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时， 方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝， 所以解集为. ②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2. 当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0， 即(x－1)2≤0，所以x＝1； 当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0， 即(x＋1)2≤0，所以x＝－1. ③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时， 原不等式的解集为∅. 综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为； 当a＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜2时，原不等式的解集为∅. 考点二　三个“二次”之间的关系 例2 (1)(多选)(2024·苏州质检)已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1<x2，则下列结论中正确的是(　　) A.x1＋x2＋2＝0 B.－3<x1<x2<1 C.|x1－x2|>4 D.x1x2＋3<0 答案　ACD 解析　由题知a(x－1)(x＋3)＋2＝ax2＋2ax－3a＋2>0的解集为(x1，x2)， 所以a<0，且 所以x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝<0，故A，D正确； 原不等式可化为f(x)＝a(x－1)(x＋3)>－2的解集为(x1，x2)，而f(x)的零点分别为－3，1且f(x)的图象开口向下， 又x1<x2，f(x)的大致图象如图所示， 由图知，x1<－3<1<x2，|x1－x2|>4， 故B错误，C正确. (2)若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为________. 答案　 解析　由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的实数根， 所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0， 且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2. 又因为x2－x1＝15， 所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2， 又a＞0，解得a＝. 方法总结　1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 训练2 (1)(多选)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　) A.a＜0 B.b＜0且c＞0 C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R 答案　AB 解析　由题意，不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)， 可得－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，且a＜0， 所以A正确； 则b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，B正确； 当x＝－1时，a＋b＋c＝0，C不正确； 把b＝a，c＝－2a代入ax2－cx＋b＜0，可得ax2＋2ax＋a＜0，因为a＜0，所以x2＋2x＋1＞0，即(x＋1)2＞0，此不等式的解集为{x|x≠－1}，D不正确. (2)(多选)(2024·长治质检)已知函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　　) A.a2－b2≤4 B.a2＋≥4 C.若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0 D.若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4 答案　ABD 解析　根据题意，函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点， 则Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b(b>0). 对于A，a2－b2－4＝4b－b2－4＝－(b2－4b＋4)＝－(b－2)2≤0，即有a2－b2≤4，故A正确； 对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4， 当且仅当4b＝，即b＝时等号成立，故B正确； 对于C，由x1，x2为方程x2＋ax－b＝0的两根，可得x1x2＝－b<0，故C错误； 对于D，由x1，x2为方程x2＋ax＋b－c＝0的两根，可得x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c， 则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2－4(b－c)＝a2－4b＋4c＝4c＝16， 解得c＝4，故D正确. 考点三　一元二次不等式恒成立问题 角度1　在实数集R上恒成立 例3 (2023·天津模拟)若不等式(a－2)·x2＋4(a－2)x＋3＞0的解集为R，则实数a的取值范围是________. 答案　 解析　当a－2＝0，即a＝2时，不等式为3＞0恒成立，故a＝2符合题意； 当a－2≠0，即a≠2时， 不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3＞0的解集为R， 则 解得2＜a＜. 综上可得，实数a的取值范围是. 角度2　在给定区间上恒成立 例4 (2024·湖北荆荆宜三校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1，命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，则实数m的取值范围为(　　) A. B.(－∞，3] C. D.(3，＋∞) 答案　D 解析　法一　因为命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题， 所以∀x∈[1，3]，f(x)>－m＋2为真命题， 又f(x)>－m＋2，即mx2－mx－1>－m＋2， 即m(x2－x＋1)>3， 当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]， 所以m>在x∈[1，3]上恒成立， 所以m>，x∈[1，3]， 当x＝1时，x2－x＋1有最小值1， 此时有最大值3，所以m>3， 故实数m的取值范围是(3，＋∞). 法二　因为命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题， 所以∀x∈[1，3]，f(x)>－m＋2为真命题， 即mx2－mx＋m－3>0在x∈[1，3]上恒成立. 当m＝0时，－3>0，不符合题意； 设g(x)＝mx2－mx＋m－3， 因为g(x)图象的对称轴方程为x＝， 所以只需或 即或 解得m>3， 故实数m的取值范围是(3，＋∞). 角度3　给定参数范围的恒成立问题 例5 (2024·杭州调研)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A.[－1，3] 　　　 B.(－∞，－1] C.[3，＋∞) 　　　 D.(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案　D 解析　不等式x2＋px>4x＋p－3， 可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0， 由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)， 令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)， 可得 解得x<－1或x>3. 方法总结　恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 训练3 已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1). (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围. 解　(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0， 当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立； 当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立， 则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解， 所以不存在实数m，使不等式恒成立. (2)因为x＞1， 所以m＜. 设2x－1＝t(t＞1)，x2－1＝， 所以m＜＝. 设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)， 显然g(t)在(1，＋∞)上单调递增. 当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0， 所以m≤0.所以m的取值范围是(－∞，0]. (3)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)， 当m∈[－2，2]时，f(m)＜0恒成立. 当且仅当 即 由①得＜x＜. 由②得x＜或x＞. 取交集，得＜x＜. 所以x的取值范围是. 习题演练 1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为(　　) A.(－2，5) 　　　 B.(－∞，－2)∪(5，＋∞) C.(－5，2) 　　　 D.(－∞，－5)∪(2，＋∞) 答案　A 解析　由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0， 解得－2＜x＜5. 2.(2024·重庆诊断)若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|－1<x<2}，则关于x的不等式>0的解集是(　　) A.(－3，－2)∪(4，＋∞) B.(－3，2)∪(4，＋∞) C.(－∞，－3)∪(2，4) D.(－∞，－2)∪(3，4) 答案　B 解析　因为关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|－1<x<2}， 所以x2＋px＋q＝0的两根是－1，2， 由根与系数的关系可得p＝－1，q＝－2， 所以>0可转化为>0， 解得－3<x<2或x>4. 所以原不等式的解集为(－3，2)∪(4，＋∞). 3.(2024·宝鸡调研)“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A.0<a<1 B.a>1 C.0<a< D.0<a<2 答案　D 解析　不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立，只需Δ＝4a2－4a<0，解得0<a<1， 因为集合{a|0<a<1}是集合{a|0<a<2}的真子集， 所以“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是“0<a<2”，故选D. 4.(2023·鞍山二模)若对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围是(　　) A.(－2，2) B.(2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，2] 答案　C 解析　法一　对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立， 即m<x＋在x∈(0，＋∞)上恒成立， 即m<，x∈(0，＋∞). 当x>0时，x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x＝1时取等号， 所以＝2，则m<2. 法二　设f(x)＝x2－mx＋1，对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立， 则满足或 解得0<m<2或m≤0，所以m<2. 5.若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，5) B.(5，＋∞) C.(－4，＋∞) D.(－∞，4) 答案　A 解析　设f(x)＝x2－4x－a，则f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝2， 所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解， 只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5， 所以实数a的取值范围为(－∞，5). 6.(2024·成都诊断)已知不等式组的解集是关于x的不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，0] B.(－∞，0) C.(－∞，－1] D.(－∞，－2) 答案　A 解析　由解得x∈(2，3)， 因为(2，3)是不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集， 故f(x)＝x2－3x＋a要满足 解得a≤0. 7.(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　AB 解析　画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的大致图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标 x的集合， 由函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－， 所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得 解得4≤m<6. 8.不等式＞2的解集为________. 答案　{x|1＜x＜4} 解析　原不等式可化为－2＞0， 即＞0，即＞0， 即(x－1)(x－4)＜0，解得1＜x＜4， ∴原不等式的解集为{x|1＜x＜4}. 9.(2024·常州调考)已知不等式>2对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是____________. 答案　[2，10) 解析　因为x2＋x＋2＝＋>0， 所以原不等式等价于kx2＋kx＋6>2x2＋2x＋4， 即(k－2)x2＋(k－2)x＋2>0恒成立. 当k＝2时，2>0，显然成立； 当k≠2时，k满足不等式组 解得2<k<10. 综上所述，实数k的取值范围是[2，10). 10.已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)＜5－m恒成立，则实数m的取值范围为________. 答案　 解析　要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立， 即m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.有以下两种方法： 法一　令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]. 当m＞0时，g(x)在[1，3]上单调递增， 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6＜0， 所以m＜，所以0＜m＜； 当m＝0时，－6＜0恒成立； 当m＜0时，g(x)在[1，3]上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)，即m－6＜0， 所以m＜6，所以m＜0. 综上所述，m的取值范围是. 法二　因为x2－x＋1＝＋＞0， 又因为m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1，3]上恒成立， 所以m＜在x∈[1，3]上恒成立. 令y＝， 因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可. 所以m的取值范围是. 11.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6. (1)解关于a的不等式f(1)＞0； (2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值. 解　(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0， 即a2－6a－3＜0， 解得3－2＜a＜3＋2. 所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}. (2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)， ∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3， ∴解得 故a的值为3±，b的值为－3. 12.函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围. 解　(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， 解得－6≤a≤2， ∴实数a的取值范围是[－6，2]. (2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0 在x∈[－2，2]上恒成立， 令g(x)＝x2＋ax＋3－a， 则有①Δ≤0或②或③ 解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅， 解③得－7≤a＜－6. 综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2]. (3)令h(a)＝xa＋x2＋3， 当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立， 只需即 解得x≤－3－或x≥－3＋. ∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞). 13.(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是(　　) A.－1 B.0 C.1 D.3 答案　CD 解析　∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5， ①当x＝0时，a∈R； ②当x≠0时，由－5≤x2－ax－1≤5， 得x－≤a≤x＋， 当x∈(0，3]时，＝2＋＝4，＝3－2＝1， ∴1≤a≤4. 综上，1≤a≤4. 14.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0， 解得x≤－1. ②当a＞0时， 原不等式可化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1. ③当a＜0时， 原不等式化为(x＋1)≤0. 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a＞0时，不等式的解集为； 当－2＜a＜0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a＜－2时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——集合与常用逻辑用语、不等式之一元二次方程、不等式 【知识梳理】 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a，或x>b} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. [常用结论] 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为 (－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形. 3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[－，].(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.(　　) 2.(必修一P53练习T1改编)不等式－2x2＋x≤－3的解集为________________. 3.若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝________. 4.一元二次不等式ax2＋ax－1＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是____________. 考点一　一元二次不等式的解法 例1 (1)(2024·北京海淀区模拟)不等式>0的解集为________________. (2)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R). 方法总结　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 训练1 (1)(2024·潍坊质测)若a∈R，则关于x的不等式4x2－4ax＋a2－1<0的解集为________. (2)解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. 考点二　三个“二次”之间的关系 例2 (1)(多选)(2024·苏州质检)已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1<x2，则下列结论中正确的是(　　) A.x1＋x2＋2＝0 B.－3<x1<x2<1 C.|x1－x2|>4 D.x1x2＋3<0 (2)若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为________. 方法总结　1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 训练2 (1)(多选)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　) A.a＜0 B.b＜0且c＞0 C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R (2)(多选)(2024·长治质检)已知函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　　) A.a2－b2≤4 B.a2＋≥4 C.若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0 D.若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4 考点三　一元二次不等式恒成立问题 角度1　在实数集R上恒成立 例3 (2023·天津模拟)若不等式(a－2)·x2＋4(a－2)x＋3＞0的解集为R，则实数a的取值范围是________. 角度2　在给定区间上恒成立 例4 (2024·湖北荆荆宜三校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1，命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，则实数m的取值范围为(　　) A. B.(－∞，3] C. D.(3，＋∞) 角度3　给定参数范围的恒成立问题 例5 (2024·杭州调研)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A.[－1，3] 　　　 B.(－∞，－1] C.[3，＋∞) 　　　 D.(－∞，－1)∪(3，＋∞) 方法总结　恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 训练3 已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1). (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围. 习题演练 1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为(　　) A.(－2，5) 　　　 B.(－∞，－2)∪(5，＋∞) C.(－5，2) 　　　 D.(－∞，－5)∪(2，＋∞) 2.(2024·重庆诊断)若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|－1<x<2}，则关于x的不等式>0的解集是(　　) A.(－3，－2)∪(4，＋∞) B.(－3，2)∪(4，＋∞) C.(－∞，－3)∪(2，4) D.(－∞，－2)∪(3，4) 3.(2024·宝鸡调研)“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A.0<a<1 B.a>1 C.0<a< D.0<a<2 4.(2023·鞍山二模)若对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围是(　　) A.(－2，2) B.(2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，2] 5.若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，5) B.(5，＋∞) C.(－4，＋∞) D.(－∞，4) 6.(2024·成都诊断)已知不等式组的解集是关于x的不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，0] B.(－∞，0) C.(－∞，－1] D.(－∞，－2) 7.(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 8.不等式＞2的解集为________. 9.(2024·常州调考)已知不等式>2对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是____________. 10.已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)＜5－m恒成立，则实数m的取值范围为________. 11.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6. (1)解关于a的不等式f(1)＞0； (2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值. 12.函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围. 13.(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是(　　) A.－1 B.0 C.1 D.3 14.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——集合与常用逻辑用语、不等式之一元二次方程、不等式 知识梳理 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 3 2.三个“二次”间的关系 {x|x＞x2,或x＜x1} R {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 4 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a，或x>b} ___________ __________________ (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ____ _________________ {x|x≠a} {x|x<b，或x>a} ∅ {x|b<x<a} 5 4.分式不等式与整式不等式 6 常用结论 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) × √ × × (3)错误.当a＝0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为∅. (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅. 2.(必修一P53练习T1改编)不等式－2x2＋x≤－3的解集为 __________________________. 解析　由－2x2＋x≤－3可得2x2－x－3≥0， -14 4.一元二次不等式ax2＋ax－1＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是____________. (－4，0) 解得－4＜a＜0. 考点一　一元二次不等式的解法 {x|x>1，或x<－2} (2)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R). 解　原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， ②当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0， 即x＞1. 方法总结 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 训练1 (1)(2024·潍坊质测)若a∈R，则关于x的不等式4x2－4ax＋a2－1<0的解集 为____________________. 解析　原不等式可转化为[2x－(a＋1)][2x－(a－1)]<0， (2)解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. 解　由题意知，Δ＝a2－4， ①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时， ②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2. 当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，即(x－1)2≤0，所以x＝1； 当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，即(x＋1)2≤0，所以x＝－1. ③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为∅. 当a＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜2时，原不等式的解集为∅. 考点二　三个“二次”之间的关系 例2 (1)(多选)(2024·苏州质检)已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1<x2，则下列结论中正确的是(　　 ) A.x1＋x2＋2＝0 B.－3<x1<x2<1 C.|x1－x2|>4 D.x1x2＋3<0 ACD 解析　由题知a(x－1)(x＋3)＋2＝ax2＋2ax－3a＋2>0的解集为(x1，x2)， 原不等式可化为f(x)＝a(x－1)(x＋3)>－2的解集为(x1，x2)，而f(x)的零点分别为－3，1且f(x)的图象开口向下， 又x1<x2，f(x)的大致图象如图所示， 由图知，x1<－3<1<x2，|x1－x2|>4， 故B错误，C正确. (2)若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝ 15，则a的值为________. 解析　由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的实数根， 所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0， 且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2. 又因为x2－x1＝15， 所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2， 方法总结 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 训练2 (1)(多选)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　) A.a＜0 B.b＜0且c＞0 C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R AB 解析　由题意，不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)， 可得－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，且a＜0， 则b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，B正确； 当x＝－1时，a＋b＋c＝0，C不正确； 把b＝a，c＝－2a代入ax2－cx＋b＜0，可得ax2＋2ax＋a＜0， 因为a＜0， 所以x2＋2x＋1＞0， 即(x＋1)2＞0，此不等式的解集为{x|x≠－1}，D不正确. ABD 解析　根据题意，函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点， 则Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b(b>0). 对于A，a2－b2－4＝4b－b2－4＝－(b2－4b＋4)＝－(b－2)2≤0， 即有a2－b2≤4，故A正确； 对于C，由x1，x2为方程x2＋ax－b＝0的两根，可得x1x2＝－b<0，故C错误； 对于D，由x1，x2为方程x2＋ax＋b－c＝0的两根，可得x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c， 则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2－4(b－c)＝a2－4b＋4c＝4c＝16， 解得c＝4，故D正确. 考点三　一元二次不等式恒成立问题 角度1　在实数集R上恒成立 例3 (2023·天津模拟)若不等式(a－2)·x2＋4(a－2)x＋3＞0的解集为R，则实数a的 取值范围是________. 解析　当a－2＝0，即a＝2时，不等式为3＞0恒成立，故a＝2符合题意； 当a－2≠0，即a≠2时， 不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3＞0的解集为R， D 解析　法一　因为命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题， 所以∀x∈[1，3]，f(x)>－m＋2为真命题， 又f(x)>－m＋2，即mx2－mx－1>－m＋2，即m(x2－x＋1)>3， 当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]， 法二　因为命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题， 所以∀x∈[1，3]，f(x)>－m＋2为真命题， 即mx2－mx＋m－3>0在x∈[1，3]上恒成立. 当m＝0时，－3>0，不符合题意； 设g(x)＝mx2－mx＋m－3， 解得m>3， 故实数m的取值范围是(3，＋∞). ^ 角度3　给定参数范围的恒成立问题 例5 (2024·杭州调研)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A.[－1，3] 　　　 B.(－∞，－1] C.[3，＋∞) 　　　 D.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D 解析　不等式x2＋px>4x＋p－3， 可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0， 由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)， 令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)， 解得x<－1或x>3. 方法总结 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 训练3 已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1). (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由； 解　原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0， 当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立； 当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立， 则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解， 所以不存在实数m，使不等式恒成立. (2)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围； 所以m≤0. 所以m的取值范围是(－∞，0]. (3)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围. 解　设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)， 当m∈[－2，2]时，f(m)＜0恒成立. 习题演练 1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为(　　) A.(－2，5) 　　　 B.(－∞，－2)∪(5，＋∞) C.(－5，2) 　　　 D.(－∞，－5)∪(2，＋∞) A 解析　由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0， 解得－2＜x＜5. B 解析　因为关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|－1<x<2}， 所以x2＋px＋q＝0的两根是－1，2， 由根与系数的关系可得p＝－1，q＝－2， 所以原不等式的解集为(－3，2)∪(4，＋∞). D 解析　不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立，只需Δ＝4a2－4a<0， 解得0<a<1， 因为集合{a|0<a<1}是集合{a|0<a<2}的真子集， 所以“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是“0<a<2”，故选D. 4.(2023·鞍山二模)若对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围是(　　) A.(－2，2) B.(2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，2] C 解析　法一　对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立， 法二　设f(x)＝x2－mx＋1，对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立， 解得0<m<2或m≤0， 所以m<2. 5.若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，5) B.(5，＋∞) C.(－4，＋∞) D.(－∞，4) A 解析　设f(x)＝x2－4x－a，则f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝2， 所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解， 只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5， 所以实数a的取值范围为(－∞，5). A 因为(2，3)是不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集， 7.(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 AB 解析　画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的大致图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标 x的集合， {x|1＜x＜4} 即(x－1)(x－4)＜0， 解得1＜x＜4， ∴原不等式的解集为{x|1＜x＜4}. [2，10) 所以原不等式等价于kx2＋kx＋6>2x2＋2x＋4， 即(k－2)x2＋(k－2)x＋2>0恒成立. 当k＝2时，2>0，显然成立； 解得2<k<10. 综上所述，实数k的取值范围是[2，10). 10.已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)＜5－m恒成立，则实数m 的取值范围为_____________. 解析　要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立， 当m＞0时，g(x)在[1，3]上单调递增， 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6＜0， 当m＝0时，－6＜0恒成立； 当m＜0时，g(x)在[1，3]上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)， 即m－6＜0， 所以m＜6， 所以m＜0. 又因为m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1，3]上恒成立， 11.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6. (1)解关于a的不等式f(1)＞0； 解　由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0， 即a2－6a－3＜0， (2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值. 解　∵f(x)＞b的解集为(－1，3)， ∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3， 12.函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； 解　∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 需Δ＝a2－4(3－a)≤0， 即a2＋4a－12≤0， 解得－6≤a≤2， ∴实数a的取值范围是[－6，2]. (2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； 解　由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0 在x∈[－2，2]上恒成立， 令g(x)＝x2＋ax＋3－a， 解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅， 解③得－7≤a＜－6. 综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2]. (3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围. 解　令h(a)＝xa＋x2＋3， 当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立， 13.(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是(　　) A.－1 B.0 C.1 D.3 CD 解析　∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5， ①当x＝0时，a∈R； ∴1≤a≤4. 综上，1≤a≤4. 14.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0， 解得x≤－1. ②当a＞0时， 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 (1)eq \f(f（x）,g（x）)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)eq \f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为 (－a,a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形. 3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.)) (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.)) (1)eq \f(x－a,x－b)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[－eq \r(a)，eq \r(a)].(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.(　　) 解析　(1)错误.eq \f(x－a,x－b)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0且x≠b. (－∞，－1]∪ 即(2x－3)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥eq \f(3,2)， 故不等式的解集为(－∞，－1]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)). 3.若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))，则a＋b＝________. 解析　依题意知 解得故a＋b＝－14. 解析　依题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,a2＋4a＜0，)) 所以不等式eq \f(x－1,x＋2)>0的解集为{x|x>1，或x<－2}. 例1 (1)(2024·北京海淀区模拟)不等式eq \f(x－1,x＋2)>0的解集为________________. 解析　不等式eq \f(x－1,x＋2)>0等价于(x－1)(x＋2)>0， 解得x>1或x<－2， 当0＜a＜1时，解得1＜x＜. ①当a＞0时，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0， 所以当a＞1时，解得＜x＜1； 当a＝1时，解集为∅； 当a＞1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)＜x＜1))， 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}， 当a＜0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(1,a)，或x＞1)). ③当a＜0时，eq \f(1,a)＜1，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＞0， 解得x＞1或x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1＜x＜\f(1,a)))， 当a＝1时，不等式的解集为∅， 因为>， 所以不等式的解为<x<. 方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝eq \f(a±\r(a2－4),2)， 所以解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(a－\r(a2－4),2)≤x≤\f(a＋\r(a2－4),2))). 综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(a－\r(a2－4),2)≤x≤\f(a＋\r(a2－4),2)))； 故A，D正确； 所以a<0，且 所以x1＋x2＋2＝0，x1x2＋3＝<0， 又a＞0，解得a＝. 所以A正确； (2)(多选)(2024·长治质检)已知函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　 　) A.a2－b2≤4 B.a2＋eq \f(1,b)≥4 C.若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0 D.若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4 对于B，a2＋eq \f(1,b)＝4b＋eq \f(1,b)≥2eq \r(4b·\f(1,b))＝4， 当且仅当4b＝eq \f(1,b)，即b＝eq \f(1,2)时等号成立，故B正确； 解得2＜a＜eq \f(11,4).综上可得，实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(11,4))). 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2＞0，,Δ＝[4（a－2）]2－4（a－2）×3＜0，)) 此时eq \f(3,x2－x＋1)有最大值3，所以m>3，故实数m的取值范围是(3，＋∞). 角度2　在给定区间上恒成立 例4 (2024·湖北荆荆宜三校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1，命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，则实数m的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,7))) B.(－∞，3] C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)，＋∞)) D.(3，＋∞) 所以m>eq \f(3,x2－x＋1)在x∈[1，3]上恒成立，所以m>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x2－x＋1)))eq \s\do7(max)，x∈[1，3]， 当x＝1时，x2－x＋1有最小值1， 因为g(x)图象的对称轴方程为x＝， 所以只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,g（1）>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,g（3）>0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,m－m＋m－3>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,9m－3m＋m－3>0，)) 可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＝x2－4x＋3>0，,f（4）＝4（x－1）＋x2－4x＋3>0，)) 设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)， 显然g(t)在(1，＋∞)上单调递增. 当t→＋∞时，t－eq \f(3,t)＋2→＋∞，eq \f(4,t－\f(3,t)＋2)→0， 解　因为x＞1，所以m＜. 设2x－1＝t(t＞1)，x2－1＝， 所以m＜＝. 所以x的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(－1＋\r(7),2)＜x＜\f(1＋\r(3),2))). 当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）＜0，,f（－2）＜0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2－2x－1＜0，　①,－2x2－2x＋3＜0. ②)) 由①得＜x＜. 由②得x＜eq \f(－1－\r(7),2)或x＞eq \f(－1＋\r(7),2).取交集，得eq \f(－1＋\r(7),2)＜x＜eq \f(1＋\r(3),2). 2.(2024·重庆诊断)若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|－1<x<2}，则关于x的不等式eq \f(x2＋px－12,x＋q)>0的解集是(　　) A.(－3，－2)∪(4，＋∞) B.(－3，2)∪(4，＋∞) C.(－∞，－3)∪(2，4) D.(－∞，－2)∪(3，4) 所以eq \f(x2＋px－12,x＋q)>0可转化为eq \f(（x－4）（x＋3）,x－2)>0，解得－3<x<2或x>4. 3.(2024·宝鸡调研)“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A.0<a<1 B.a>1 C.0<a<eq \f(1,2) D.0<a<2 当x>0时，x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x＝1时取等号， 所以＝2，则m<2. 即m<x＋在x∈(0，＋∞)上恒成立， 即m<，x∈(0，＋∞). 则满足或 解得a≤0. 6.(2024·成都诊断)已知不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0，,x2－6x＋8＜0))的解集是关于x的不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，0] B.(－∞，0) C.(－∞，－1] D.(－∞，－2) 解析　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0，,x2－6x＋8＜0，))解得x∈(2，3)， 故f(x)＝x2－3x＋a要满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）≤0，,f（3）≤0，)) 解得4≤m<6. 由函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－eq \f(5,2)， 所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－2）＝4－10＋m<0，,f（－1）＝1－5＋m≥0，)) 8.不等式eq \f(x＋2,x－1)＞2的解集为________________. 解析　原不等式可化为－2＞0， 即eq \f(（x＋2）－2（x－1）,x－1)＞0，即eq \f(4－x,x－1)＞0， 9.(2024·常州调考)已知不等式eq \f(kx2＋kx＋6,x2＋x＋2)>2对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是____________. 解析　因为x2＋x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,4)>0， 当k≠2时，k满足不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－2>0，,Δ＝（k－2）2－4×2（k－2）<0，)) 所以m＜，所以0＜m＜； 即meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.有以下两种方法： 法一　令g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)m－6，x∈[1，3]. 综上所述，m的取值范围是. 因为函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))在[1，3]上的最小值为eq \f(6,7)，所以只需m＜eq \f(6,7)即可. 所以m的取值范围是. 法二　因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＞0， 所以m＜eq \f(6,x2－x＋1)在x∈[1，3]上恒成立. 令y＝， 解得3－2＜a＜3＋2. 所以不等式的解集为{a|3－2eq \r(3)＜a＜3＋2eq \r(3)}. ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－1）＋3＝\f(a（6－a）,3)，,（－1）×3＝－\f(6－b,3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.)) 故a的值为3±，b的值为－3. 则有①Δ≤0或②eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)<－2，,g（－2）＝7－3a≥0))或③eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)>2，,g（2）＝7＋a≥0，)) 只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h（4）≥0，,h（6）≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋3≥0，,x2＋6x＋3≥0，)) 解得x≤－3－或x≥－3＋. ∴实数x的取值范围是(－∞，－3－eq \r(6)]∪[－3＋eq \r(6)，＋∞). ②当x≠0时，由－5≤x2－ax－1≤5，得x－eq \f(6,x)≤a≤x＋eq \f(4,x)， 当x∈(0，3]时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x))) eq \s\do7(min)＝2＋eq \f(4,2)＝4，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(6,x))) eq \s\do7(max)＝3－2＝1， 当eq \f(2,a)＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤eq \f(2,a)； 原不等式可化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1. ③当a＜0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0. 当－2＜a＜0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(2,a)≤x≤－1))； 当a＜－2时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1≤x≤\f(2,a))). 当eq \f(2,a)＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当eq \f(2,a)＜－1，即－2＜a＜0时，解得eq \f(2,a)≤x≤－1. 当a＞0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(2,a)，或x≤－1))； $$