函数之幂函数与二次函数讲义、课件-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——函数之幂函数与二次函数 【知识梳理】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ . (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 . (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 3.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 值域 对称轴 x＝ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 [常用结论] 1.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质； (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. 2.对勾函数y＝ax＋(ab＞0)极值与图象的拐点可利用基本不等式求得. 3.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 4.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2x是幂函数.(　　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.(　　) (3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定.(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.(　　) 2.若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　) 3.已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________. 4.若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上单调，则实数k的取值范围为________. 考点一　幂函数的图象和性质 例1 (1)幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A.a>b>c>d B.d>b>c>a C.d>c>b>a D.b>c>d>a (2)(2024·石家庄调研)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.a>b>c D.b<c<a 方法总结　1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 训练1 (1)已知幂函数y＝x(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) A.p为奇数，且p>0 B.p为奇数，且p<0 C.p为偶数，且p>0 D.p为偶数，且p<0 (2)(2024·德州模拟)幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2＋2m－5在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于(　　) A.27 B.9 C. D. 考点二　二次函数的解析式 例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________. 方法总结　求二次函数解析式的方法 训练2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________________. 考点三　二次函数的图象和性质 角度1　二次函数的图象 例3 (1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，且函数f(x)的图象可能是(　　) (2)(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为(　　) A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b 方法总结　研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 角度2　二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f(x)＝x2－tx－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t). 方法总结　闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 训练3 (1)(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.2a＋b＝0 B.4a＋2b＋c<0 C.9a＋3b＋c<0 D.abc<0 (2)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. ①当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； ②若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 习题演练 1.若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　) A.1或3 B.1 C.3 D.2 2.已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 3.若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2x C.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x 4.(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　) 5.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　) A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0 6.已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是(　　) A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.(2，3) 7.(多选)若幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)为增函数 C.若x>1，则f(x)>1 D.若x1>x2>0，则f> 8.若f(x)＝x，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集是________. 9.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________________. 10.若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________. 11.若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上. (1)求f(x)和g(x)的解析式； (2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间. 12.(2024·大庆质检)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值. 13.已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] 　 B.[0，3] C.(－∞，0]∪[3，＋∞) 　 D.[3，＋∞) 14.已知a，b是常数且a≠0，f(x)＝ax2＋bx且f(2)＝0，且使方程f(x)＝x有等根. (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]? 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——函数之幂函数与二次函数 【知识梳理】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 3.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 [常用结论] 1.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质； (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. 2.对勾函数y＝ax＋(ab＞0)极值与图象的拐点可利用基本不等式求得. 3.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 4.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2x是幂函数.(　　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.(　　) (3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定.(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 解析　(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα， 故y＝2x不是幂函数，故(1)错误. (3)二次函数y＝x2－x与y＝2x2－2x零点相同，但解析式不同，故(3)错误. (4)当对称轴x＝－∉[m，n]时，最值则不是，故(4)错误. 2.若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　) 答案　C 解析　设幂函数的解析式为y＝xα， 因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝， 所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数， 当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项知C正确. 3.已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________. 答案　f(x)＝x2－4x 解析　由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)， 又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1， 所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. 4.若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上单调，则实数k的取值范围为________. 答案　(－∞，40]∪[160，＋∞) 解析　依题意知，≥20或≤5， 解得k≥160或k≤40. 考点一　幂函数的图象和性质 例1 (1)幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A.a>b>c>d B.d>b>c>a C.d>c>b>a D.b>c>d>a 答案　D 解析　观察函数图象可知在(1，＋∞)上，函数图象与x轴的距离由远及近为y＝xb，y＝xc，y＝xd，y＝xa， ∴其函数的指数的大小为b>c>d>a. (2)(2024·石家庄调研)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.a>b>c D.b<c<a 答案　B 解析　由a＝，b＝，c＝， 得a＝，b＝，c＝. 因为幂函数y＝x在区间(0，＋∞)上单调递增，且<<， 所以<<，即c<a<b.故选B. 方法总结　1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 训练1 (1)已知幂函数y＝x(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) A.p为奇数，且p>0 B.p为奇数，且p<0 C.p为偶数，且p>0 D.p为偶数，且p<0 答案　D 解析　因为函数y＝x的图象关于y轴对称， 所以函数y＝x为偶函数，即p为偶数， 又函数y＝x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减， 所以<0，即p<0. (2)(2024·德州模拟)幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2＋2m－5在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于(　　) A.27 B.9 C. D. 答案　A 解析　由题意，得m2＋m－5＝1， 即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3， 当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当m＝－3时，可得f(x)＝x－2， 此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意， 即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27. 考点二　二次函数的解析式 例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________. 答案　－4x2＋4x＋7 解析　法一(利用“一般式”) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用“顶点式”) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为x＝＝， 所以m＝. 又根据题意，函数有最大值8， 所以n＝8， 所以f(x)＝a＋8. 因为f(2)＝－1， 所以a＋8＝－1， 解得a＝－4， 所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“零点式”) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8， 即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍). 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法总结　求二次函数解析式的方法 训练2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________________. 答案　y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋ 解析　因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， 所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)， 展开得，y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为＝－4a， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2， 所以|－4a|＝2，即a＝±， 所以二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋. 考点三　二次函数的图象和性质 角度1　二次函数的图象 例3 (1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，且函数f(x)的图象可能是(　　) 答案　D 解析　由a>b>c且a＋b＋c＝0， 得a>0，c<0， 所以函数图象开口向上，排除A，C； 又f(0)＝c<0，排除B.故选D. (2)(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为(　　) A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b 答案　AD 解析　因为图象与x轴交于两点， 所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确. 对称轴为x＝－1， 即－＝－1，2a－b＝0，B错误. 结合图象，当x＝－1时，y＞0， 即a－b＋c＞0，C错误. 由对称轴为x＝－1知，b＝2a. 根据抛物线开口向下，知a＜0， 所以5a＜2a，即5a＜b，D正确. 方法总结　研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 角度2　二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f(x)＝x2－tx－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t). 解　f(x)＝x2－tx－1＝－1－. (1)依题意，－1＜＜2， 解得－2＜t＜4， 所以实数t的取值范围是(－2，4). (2)①当≥2，即t≥4时，f(x)在[－1，2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝3－2t. ②当－1＜＜2，即－2＜t＜4时，f(x)min＝f＝－1－. ③当≤－1， 即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增， 所以f(x)min＝f(－1)＝t. 综上，g(t)＝ 方法总结　闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 训练3 (1)(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.2a＋b＝0 B.4a＋2b＋c<0 C.9a＋3b＋c<0 D.abc<0 答案　ACD 解析　由二次函数图象开口向下知a<0， 对称轴为x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b>0. 又因为f(0)＝c>0，所以abc<0. f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0， f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0. (2)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. ①当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； ②若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 解　①当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]， ∴f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15， ∴f(x)的值域为. ②函数图象的对称轴为直线x＝－. (ⅰ)当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； (ⅱ)当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意. 综上可知，a＝－或－1. 习题演练 1.若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　) A.1或3 B.1 C.3 D.2 答案　B 解析　由题意得m2－4m＋4＝1，且m2－6m＋8>0，解得m＝1. 2.已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 答案　B 解析　∵0.40.6<0.60.6<0.60.4， 又y＝f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数， ∴b<a<c. 3.若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2x C.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x 答案　B 解析　二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 可得则a＝3，b＝－2， 所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x. 4.(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　) 答案　C 解析　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D； 对于B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故排除B，选C. 5.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　) A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0 答案　A 解析　由f(0)＝f(4)，得f(x)图象的对称轴为直线x＝－＝2，所以4a＋b＝0， 又f(0)＝f(4)>f(1)， 所以f(x)的图象开口向上，a>0.故选A. 6.已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是(　　) A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.(2，3) 答案　B 解析　易知f(x)＝x2－4x＋1的图象是一条开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线， 当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3， 由y＝－2，得x＝1或x＝3， 因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为－5，所以2≤t≤3.故选B. 7.(多选)若幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)为增函数 C.若x>1，则f(x)>1 D.若x1>x2>0，则f> 答案　BCD 解析　若幂函数f(x)＝xα经过点(9，3)， 则9α＝3，则α＝， 则幂函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上为增函数，故B正确； 因为函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，关于原点不对称，所以函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，故A错误； 当x>1时，f(x)＝>1，故C正确； 函数f(x)＝x的图象如图，其图象在[0，＋∞)上是上凸的， 则有不等式<f成立，所以D正确. 8.若f(x)＝x，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集是________. 答案　 解析　因为f(x)＝x在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)＞f(8x－16)， 所以即2≤x＜， 所以不等式的解集为. 9.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________________. 答案　f(x)＝x2－4x＋3 解析　∵f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立， ∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2. 又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， ∴f(x)＝0的两根为1和3， 设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)， ∵f(x)的图象过点(4，3)， ∴3a＝3，∴a＝1， ∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 10.若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________. 答案　[－2，0] 解析　当0≤x≤1时，φ(x)＝x2－mx＋m， 此时φ(x)单调递增，则≤0，即m≤0； 当x＞1时，φ(x)＝x2＋mx－m， 此时φ(x)单调递增，则－≤1，则m≥－2. 综上，实数m的取值范围是[－2，0]. 11.若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上. (1)求f(x)和g(x)的解析式； (2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间. 解　(1)设f(x)＝xα， 因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上， 所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2. 设g(x)＝xβ， 因为点在幂函数g(x)的图象上， 所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图实线部分所示. 由题意及图象，可知h(x)＝ 根据函数h(x)的解析式及图象，可知函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞). 12.(2024·大庆质检)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值. 解　当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. 当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上，且对称轴为x＝. ①当0＜≤1，即a≥1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴f(x)min＝f＝－＝－. ②当＞1，即0＜a＜1时，f(x)在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. 当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下，且对称轴x＝＜0， ∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. 综上所述，f(x)min＝ 13.已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] 　 B.[0，3] C.(－∞，0]∪[3，＋∞) 　 D.[3，＋∞) 答案　C 解析　二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1， ∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)， 即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数， ∴a－1≤－1或a－1≥2， ∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞). 14.已知a，b是常数且a≠0，f(x)＝ax2＋bx且f(2)＝0，且使方程f(x)＝x有等根. (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]? 解　(1)由f(x)＝ax2＋bx，且f(2)＝0， 则4a＋2b＝0， 又方程f(x)＝x有等根， 即ax2＋(b－1)x＝0有等根， 得b＝1，从而a＝－， 所以f(x)＝－x2＋x. (2)假定存在符合条件的m，n，由(1)知 f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤， 则有2n≤，即n≤. 又f(x)图象的对称轴为直线x＝1， 则f(x)在[m，n]上单调递增， 于是得即 解方程组得m＝－2，n＝0， 所以存在m＝－2，n＝0，使函数f(x)在[－2，0]上的值域为[－4，0]. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——函数之幂函数与二次函数 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数__________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 y＝xα 3 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 4 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝_________________. (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为_________. (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 5 3.二次函数的图象和性质 R 6 减 增 增 减 7 常用结论 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) × √ × × 解析　(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα， (3)二次函数y＝x2－x与y＝2x2－2x零点相同，但解析式不同，故(3)错误. 2.若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　) C 解析　设幂函数的解析式为y＝xα， 因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)， 当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项知C正确. 3.已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________________. f(x)＝x2－4x 解析　由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)， 又图象过原点， 所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1， 所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. 4.若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上单调，则实数k的取值范围为_____________________. (－∞，40]∪[160，＋∞) 解得k≥160或k≤40. 考点一　幂函数的图象和性质 例1 (1)幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) D A.a>b>c>d B.d>b>c>a C.d>c>b>a D.b>c>d>a 解析　观察函数图象可知在(1，＋∞)上，函数图象与x轴的距离由远及近为y＝xb，y＝xc，y＝xd，y＝xa， ∴其函数的指数的大小为b>c>d>a. B 方法总结 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. D A.p为奇数，且p>0 B.p为奇数，且p<0 C.p为偶数，且p>0 D.p为偶数，且p<0 A 解析　由题意，得m2＋m－5＝1， 即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3， 当m＝2时，可得函数f(x)＝x3,此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当m＝－3时，可得f(x)＝x－2， 此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意， 即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27. 考点二　二次函数的解析式 例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝__________________. －4x2＋4x＋7 解析　法一(利用“一般式”) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用“顶点式”) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为f(2)＝f(－1)， 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8， 法三(利用“零点式”) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8， 解得a＝－4或a＝0(舍). 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法总结 求二次函数解析式的方法 训练2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2， 则二次函数的解析式为____________________________________. 解析　因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， 所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)， 展开得，y＝ax2＋2ax－3a， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2， 考点三　二次函数的图象和性质 角度1　二次函数的图象 例3 (1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，且函数f(x)的图象可能是(　　) D 解析　由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0， 所以函数图象开口向上，排除A，C； 又f(0)＝c<0，排除B.故选D. (2)(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为(　　) AD 解析　因为图象与x轴交于两点， 所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确. 对称轴为x＝－1， A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b 结合图象，当x＝－1时，y＞0， 即a－b＋c＞0，C错误. 由对称轴为x＝－1知，b＝2a. 根据抛物线开口向下，知a＜0， 所以5a＜2a， 即5a＜b，D正确. 方法总结 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 角度2　二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f(x)＝x2－tx－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； 解得－2＜t＜4， 所以实数t的取值范围是(－2，4). (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t). 所以f(x)min＝f(2)＝3－2t. 所以f(x)min＝f(－1)＝t. 方法总结 闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 训练3 (1)(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　 ) ACD 解析　由二次函数图象开口向下知a<0， A.2a＋b＝0 B.4a＋2b＋c<0 C.9a＋3b＋c<0 D.abc<0 又因为f(0)＝c>0，所以abc<0. f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0， f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0. (2)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. ①当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； 解　当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， ②若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意. 习题演练 1.若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　) A.1或3 B.1 C.3 D.2 B 解析　由题意得m2－4m＋4＝1，且m2－6m＋8>0，解得m＝1. 2.已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b B 解析　∵0.40.6<0.60.6<0.60.4， 又y＝f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数， ∴b<a<c. 3.若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2x C.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x B 解析　二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x. 4.(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　) C 解析　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D； 5.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　) A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0 A 所以4a＋b＝0， 又f(0)＝f(4)>f(1)， 所以f(x)的图象开口向上，a>0.故选A. 6.已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是(　　) A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.(2，3) B 解析　易知f(x)＝x2－4x＋1的图象是一条开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线， 当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3， 由y＝－2，得x＝1或x＝3， 因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为－5，所以2≤t≤3.故选B. 7.(多选)若幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则下列结论中正确的是(　　 ) BCD 9.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________________. f(x)＝x2－4x＋3 解析　∵f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立， ∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2. 又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， ∴f(x)＝0的两根为1和3， 设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)， ∵f(x)的图象过点(4，3)，∴3a＝3，∴a＝1， ∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 10.若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________. [－2，0] 解析　当0≤x≤1时，φ(x)＝x2－mx＋m， 当x＞1时，φ(x)＝x2＋mx－m， 综上，实数m的取值范围是[－2，0]. 解　设f(x)＝xα， 设g(x)＝xβ， 解　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图实线部分所示. 根据函数h(x)的解析式及图象，可知函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞). 12.(2024·大庆质检)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值. 解　当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. ∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. 13.已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] 　 B.[0，3] C.(－∞，0]∪[3，＋∞) 　 D.[3，＋∞) C 解析　二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1， ∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)， 即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2， ∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞). 14.已知a，b是常数且a≠0，f(x)＝ax2＋bx且f(2)＝0，且使方程f(x)＝x有等根. (1)求f(x)的解析式； 解　由f(x)＝ax2＋bx，且f(2)＝0， 则4a＋2b＝0， 又方程f(x)＝x有等根， 即ax2＋(b－1)x＝0有等根， (2)是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]? 解　假定存在符合条件的m，n，由(1)知 又f(x)图象的对称轴为直线x＝1，则f(x)在[m，n]上单调递增， 解方程组得m＝－2，n＝0， 所以存在m＝－2，n＝0，使函数f(x)在[－2，0]上的值域为[－4，0]. 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 值域 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 对称轴 x＝ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是 函数； 在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是 函数 在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是 函数； 在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是 函数 － 1.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质； (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. 2.对勾函数y＝ax＋eq \f(b,x)(ab＞0)极值与图象的拐点可利用基本不等式求得. 3.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 4.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))时，恒有f(x)>0；当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))时，恒有f(x)<0. (1)函数y＝2xeq \s\up6(\f(1,3))是幂函数.(　　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.(　　) (3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定.(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是eq \f(4ac－b2,4a).(　　) 故y＝2x不是幂函数，故(1)错误. (4)当对称轴x＝－eq \f(b,2a)∉[m，n]时，最值则不是eq \f(4ac－b2,4a)，故(4)错误. 所以2＝4α，解得α＝eq \f(1,2)，所以y＝eq \r(x)，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数， 解析　依题意知，≥20或≤5， 所以<<，即c<a<b.故选B. (2)(2024·石家庄调研)已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(\f(4,3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(\f(2,3))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)))eq \s\up12(\f(1,3))，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.a>b>c D.b<c<a 解析　由a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(\f(4,3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(\f(2,3))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)))eq \s\up12(\f(1,3))，得a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq \s\up12(\f(2,3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(\f(2,3))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq \s\up12(\f(2,3)). 因为幂函数y＝xeq \f(2,3)在区间(0，＋∞)上单调递增，且eq \f(1,5)<eq \f(1,4)<eq \f(1,3)， 所以函数y＝xeq \f(p,3)为偶函数，即p为偶数， 又函数y＝xeq \f(p,3)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减， 所以<0，即p<0. 训练1 (1)已知幂函数y＝xeq \f(p,3)(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) 解析　因为函数y＝xeq \f(p,3)的图象关于y轴对称， (2)(2024·德州模拟)幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2＋2m－5在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于(　　) A.27 B.9 C.eq \f(1,9) D.eq \f(1,27) 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.)) 解得a＝－4， 所以f(x)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7. 所以抛物线的对称轴为x＝eq \f(2＋（－1）,2)＝eq \f(1,2)，所以m＝eq \f(1,2). 所以f(x)＝a＋8. 因为f(2)＝－1，所以aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8＝－1， 即＝8. 所以|－4a|＝2，即a＝±， 所以二次函数的解析式为y＝eq \f(1,2)x2＋x－eq \f(3,2)或y＝－eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2). y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋ 顶点的纵坐标为＝－4a， 即－＝－1，2a－b＝0，B错误. 解　f(x)＝x2－tx－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(t,2))) eq \s\up12(2)－1－eq \f(t2,4). 依题意，－1＜＜2， 综上，g(t)＝ 解　①当eq \f(t,2)≥2，即t≥4时，f(x)在[－1，2]上单调递减， ②当－1＜eq \f(t,2)＜2，即－2＜t＜4时，f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))＝－1－eq \f(t2,4). ③当eq \f(t,2)≤－1，即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增， 对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝1，即2a＋b＝0，故b>0. 函数图象的对称轴为直线x＝－eq \f(3,2)∈[－2，3]， ∴f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－eq \f(9,2)－3＝－eq \f(21,4)，f(x)max＝f(3)＝15， ∴f(x)的值域为. (ⅱ)当－eq \f(2a－1,2)＞1，即a＜－eq \f(1,2)时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， 综上可知，a＝－或－1. 解　函数图象的对称轴为直线x＝－eq \f(2a－1,2). (ⅰ)当－eq \f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq \f(1,2)时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； 可得则a＝3，b＝－2， 对于B，由直线可知a>0，b>0，从而－eq \f(b,2a)<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故排除B，选C. 解析　由f(0)＝f(4)，得f(x)图象的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＝2， 因为函数f(x)＝eq \r(x)的定义域为[0，＋∞)，关于原点不对称，所以函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，故A错误； A.f(x)为偶函数 B.f(x)为增函数 C.若x>1，则f(x)>1 D.若x1>x2>0，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(f（x1）＋f（x2）,2) 解析　若幂函数f(x)＝xα经过点(9，3)，则9α＝3，则α＝eq \f(1,2)， 则幂函数f(x)＝eq \r(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，故B正确； 当x>1时，f(x)＝>1，故C正确； 函数f(x)＝xeq \f(1,2)的图象如图，其图象在[0，＋∞)上是上凸的， 则有不等式eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))成立，所以D正确. 所以不等式的解集为. 8.若f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集是_____________. 解析　因为f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)＞f(8x－16)， 所以即2≤x＜， 此时φ(x)单调递增，则≤0，即m≤0； 此时φ(x)单调递增，则－eq \f(m,2)≤1，则m≥－2. 因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))在幂函数g(x)的图象上， 所以2β＝eq \f(1,2)，解得β＝－1，即g(x)＝x－1. 11.若点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))在幂函数g(x)的图象上. (1)求f(x)和g(x)的解析式； 因为点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上， 所以(eq \r(2))α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2. (2)定义h(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），f（x）≤g（x），,g（x），f（x）>g（x），))求函数h(x)的最大值及单调区间. 由题意及图象，可知h(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0或x>1，,x2，0<x≤1.)) 当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上，且对称轴为x＝eq \f(1,a). ①当0＜eq \f(1,a)≤1，即a≥1时，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上单调递增， ∴f(x)min＝f＝－＝－. ②当eq \f(1,a)＞1，即0＜a＜1时，f(x)在[0，1]上单调递减， 当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下，且对称轴x＝eq \f(1,a)＜0， 综上所述，f(x)min＝ 得b＝1，从而a＝－， 所以f(x)＝－x2＋x. 于是得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜n≤\f(1,4)，,f（m）＝2m，,f（n）＝2n，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜n≤\f(1,4)，,－\f(1,2)m2＋m＝2m，,－\f(1,2)n2＋n＝2n，)) f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤， 则有2n≤，即n≤. $$