函数之函数模型及其应用讲义、课件-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——函数之函数模型及其应用 【知识梳理】 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　　 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调 单调 单调 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 平行 随x的增大逐渐表现为与 平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) [常用结论] 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　) (3)不存在x0，使ax0<x<logax0.(　　) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(必修一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　) A.40万元 B.60万元 C.80万元 D.120万元 3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________. 考点一　利用函数图象刻画实际问题的变化过程 例1 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) 方法总结　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象； (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 训练1 (2024·泰州调研)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔 1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　) A.y＝mx2＋n(x＞0) B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1) C.y＝max＋n(m＞0，a＞1) D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1) 考点二　已知函数模型解决实际问题 例2 (1)(2024·铜仁模拟)香农－威纳指数(H)是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公式是H＝－pi·log2pi，其中n是该群落中生物的种数，pi为第i个物种在群落中的比例，下表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农－威纳指数值为(　　) 物种 甲 乙 丙 合计 个体数量 300 150 150 600 A. B. C.－ D.－ (2)(2024·桂林、崇左调研)牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，那么经过t分钟后的温度T满足T－Ta＝(T0－Ta)，h称为半衰期，其中Ta是环境温度.如果Ta＝25 ℃，现有一杯80 ℃的热水降至75 ℃大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75 ℃降至45 ℃大约还需要(参考数据： lg 2≈0.30，lg 11≈1.04)(　　) A.10分钟　 B.9分钟　 C.8分钟　 D.7分钟 方法总结　1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数； (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 训练2 (1)(2024·湖南部分学校联考)甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08 mg/m3，否则，该新房达不到安全入住的标准，若某套住房自装修完成后，通风x(x＝1，2，3，…，50)周与室内甲醛浓度y(单位：mg/m3)之间近似满足函数关系式y＝0.48－0.1f(x)(x∈N*)，其中f(x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1，2，3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，则该住房自装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风(　　) A.17周 B.24周 C.28周 D.26周 (2)(2024·北京房山区模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型S(t)＝S0eKt描述血氧饱和度S(t)随着给氧时间t(单位：小时)的变化而变化的规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0＝60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为(精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) A.0.3小时 B.0.5小时 C.0.7小时 D.0.9小时 考点三　构建函数模型解决实际问题 例3 李冶(1192—1279)，真定栾城(今属河北石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：如求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为y亩，若方田的四边到水池的最近距离均为20步，则y关于水池半径r(步)的函数关系式为y＝________，水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时，r＝________(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算). 方法总结　在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)解模：求解函数模型，得出数学结论. (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题. 训练3 某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400 m2的三级污水处理池，如图所示，已知池外墙造价为200元/m，中间两条隔墙造价为250元/m，池底造价为80元/m2(池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖).若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为(　　) A.40 m，10 m B.20 m，20 m C.30 m， m D.50 m，8 m 习题演练 1.(2024·绵阳诊断)某检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg X＝nlg(1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1 000倍，则扩增效率p约为(参考数据：100.25≈1.778， 10－0.25≈0.562)(　　) A.22.2% B.43.8% C.56.2% D.77.8% 2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A.y＝2x－2 B.y＝(x2－1) C.y＝log2x D.y＝logx 3.(2024·烟台调研)海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID＝I0e－KD表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数(也称衰减系数)，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　) A.0.12 B.0.11 C.0.07 D.0.01 4.(2024·合肥联考)一般地，声音大小用声强级LI(单位：dB)表示，其计算公式为：LI＝10lg，其中I为声强，单位：W/m2，若某种物体发出的声强为5－10 W/m2，其声强级约为(参考数据：lg 2≈0.30)(　　) A.50 dB B.55 dB C.60 dB D.70 dB 5.(2024·深圳质检)某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元，其中ω(x)＝若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(　　) A.720万元 B.800万元 C.875万元 D.900万元 6.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　) A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 7.(多选)(2024·河北部分学校联考)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则(　　) A.a＝－ln 5 B.k＝15 C.一等奖的面值为3 130元 D.三等奖的面值为130元 8.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”. 9.里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍. 10.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大.现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________.(保留到个位)(lg 61≈1.79) 11.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数). (1)求c，m的值； (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？ 12.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年. (1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值. 13.(2023·绍兴二模)某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图)，水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据：≈1.732)(　　) A.0.58米 B.0.87米 C.1.17米 D.1.73米 14.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元). (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益； (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——函数之函数模型及其应用 【知识梳理】 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　　 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) [常用结论] 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　) (3)不存在x0，使ax0<x<logax0.(　　) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 解析　(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99(元). ∴每件赔1元，(1)错误. (2)当x＝2时，2x＝x2＝4.(2)不正确. (3)如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)错误. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(必修一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　) A.40万元 B.60万元 C.80万元 D.120万元 答案　D 解析　当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)； 当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元). 故该商人共获利40＋80＝120(万元). 3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 答案　C 解析　由题意知4.9＝5＋lg V， 得lg V＝－0.1，得V＝10－≈0.8， 所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________. 答案　506 解析　日销售金额y＝(－t＋35)(t＋10)＝－＋350＋， ∵t∈N，∴t＝12或13时，ymax＝506. 考点一　利用函数图象刻画实际问题的变化过程 例1 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) 答案　D 解析　依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x； 当4＜x≤8时，f(x)＝8； 当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x， 观察四个选项知D项符合要求. 方法总结　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象； (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 训练1 (2024·泰州调研)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔 1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　) A.y＝mx2＋n(x＞0) B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1) C.y＝max＋n(m＞0，a＞1) D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1) 答案　B 解析　由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0，0＜a＜1. 考点二　已知函数模型解决实际问题 例2 (1)(2024·铜仁模拟)香农－威纳指数(H)是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公式是H＝－pi·log2pi，其中n是该群落中生物的种数，pi为第i个物种在群落中的比例，下表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农－威纳指数值为(　　) 物种 甲 乙 丙 合计 个体数量 300 150 150 600 A. B. C.－ D.－ 答案　A 解析　由题意知H＝－ ＝－＝－＝.故选A. (2)(2024·桂林、崇左调研)牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，那么经过t分钟后的温度T满足T－Ta＝(T0－Ta)，h称为半衰期，其中Ta是环境温度.如果Ta＝25 ℃，现有一杯80 ℃的热水降至75 ℃大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75 ℃降至45 ℃大约还需要(参考数据： lg 2≈0.30，lg 11≈1.04)(　　) A.10分钟　 B.9分钟　 C.8分钟　 D.7分钟 答案　A 解析　将所给数据代入T－Ta＝(T0－Ta)得，75－25＝(80－25)， 即＝＝， 所以＝log＝＝≈＝， 当水温从75 ℃降至45 ℃时， 满足45－25＝(75－25)， 可得t＝log＝＝≈＝，故t≈10.故选A. 方法总结　1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数； (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 训练2 (1)(2024·湖南部分学校联考)甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08 mg/m3，否则，该新房达不到安全入住的标准，若某套住房自装修完成后，通风x(x＝1，2，3，…，50)周与室内甲醛浓度y(单位：mg/m3)之间近似满足函数关系式y＝0.48－0.1f(x)(x∈N*)，其中f(x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1，2，3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，则该住房自装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风(　　) A.17周 B.24周 C.28周 D.26周 答案　D 解析　由题意，f(x)＝loga[k(x＋1)2]＝logak＋2loga(x＋1)， 由f(2)＝2，f(8)＝3， 得logak＋2loga(2＋1)＝2，logak＋2loga(8＋1)＝3， 两式相减得loga9＝1，则a＝9， 所以logak＋2＝3，得k＝9. 该住房自装修完成后要达到安全入住的标准，则需0.48－0.1f(x)≤0.08，即f(x)≥4， 即1＋2log9(x＋1)≥4，解得x≥26， 故至少需要通风26周.故选D. (2)(2024·北京房山区模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型S(t)＝S0eKt描述血氧饱和度S(t)随着给氧时间t(单位：小时)的变化而变化的规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0＝60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为(精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) A.0.3小时 B.0.5小时 C.0.7小时 D.0.9小时 答案　B 解析　设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少需要t－1小时， 由题意可得60eK＝80，60eKt＝90， 两边同时取自然对数并整理，得K＝ln ＝ln ＝ln 4－ln 3＝2ln 2－ln 3， Kt＝ln ＝ln ＝ln 3－ln 2， 则t＝≈≈1.5， 则给氧时间至少还需要t－1＝0.5(小时)，故选B. 考点三　构建函数模型解决实际问题 例3 李冶(1192—1279)，真定栾城(今属河北石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：如求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为y亩，若方田的四边到水池的最近距离均为20步，则y关于水池半径r(步)的函数关系式为y＝________，水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时，r＝________(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算). 答案　r2＋r＋　40 解析　已知水池的半径为r步， 则方田的边长为(2r＋40)步， 由题意得，(2r＋40)2－πr2＝y×240， 得y＝r2＋r＋，＝＋＋≥1，当且仅当r＝40取等号. 方法总结　在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)解模：求解函数模型，得出数学结论. (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题. 训练3 某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400 m2的三级污水处理池，如图所示，已知池外墙造价为200元/m，中间两条隔墙造价为250元/m，池底造价为80元/m2(池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖).若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为(　　) A.40 m，10 m B.20 m，20 m C.30 m， m D.50 m，8 m 答案　C 解析　设污水处理池的宽为x m， 则长为 m，总造价为y元， 则y＝200＋2×250x＋80×400＝900x＋＋ 32 000≥2＋32 000＝56 000，当且仅当900x＝， 即x＝时，总造价最低. 习题演练 1.(2024·绵阳诊断)某检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg X＝nlg(1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1 000倍，则扩增效率p约为(参考数据：100.25≈1.778， 10－0.25≈0.562)(　　) A.22.2% B.43.8% C.56.2% D.77.8% 答案　D 解析　由题意知，lg(1 000X0)＝12lg(1＋p)＋lg X0， 即lg 103＋lg X0＝12lg(1＋p)＋lg X0， 即3＋lg X0＝12lg(1＋p)＋lg X0， 所以1＋p＝100.25≈1.778， 解得p≈0.778＝77.8%.故选D. 2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A.y＝2x－2 B.y＝(x2－1) C.y＝log2x D.y＝logx 答案　B 解析　由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B. 3.(2024·烟台调研)海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID＝I0e－KD表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数(也称衰减系数)，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　) A.0.12 B.0.11 C.0.07 D.0.01 答案　A 解析　由题意得，30%I0＝I0e－10K， 即30%＝e－10K， 两边取自然对数得，－10K＝ln 3－ln 10＝ln 3－ln 2－ln 5， 所以K＝≈＝0.12.故选A. 4.(2024·合肥联考)一般地，声音大小用声强级LI(单位：dB)表示，其计算公式为：LI＝10lg，其中I为声强，单位：W/m2，若某种物体发出的声强为5－10 W/m2，其声强级约为(参考数据：lg 2≈0.30)(　　) A.50 dB B.55 dB C.60 dB D.70 dB 答案　A 解析　由已知得LI＝10lg＝10×(12－10lg 5)＝10×＝10×(2＋10lg 2)≈10×(2＋10×0.30)＝50(dB).故选A. 5.(2024·深圳质检)某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元，其中ω(x)＝若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(　　) A.720万元 B.800万元 C.875万元 D.900万元 答案　C 解析　该企业每年利润f(x)＝ 当0<x≤40时，f(x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875， 当x＝30时，f(x)取得最大值875； 当x>40时，f(x)＝920－≤920－2＝720(当且仅当x＝100时，等号成立)，即当x＝100时，f(x)取得最大值720. 由于875>720，所以该企业每年利润最大值为875万元.故选C. 6.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　) A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 答案　BD 解析　在A中，甲在公园休息的时间是10 min， 所以只走了50 min，A错误； 由题中图象知，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误； 当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确. 7.(多选)(2024·河北部分学校联考)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则(　　) A.a＝－ln 5 B.k＝15 C.一等奖的面值为3 130元 D.三等奖的面值为130元 答案　ACD 解析　由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元， 所以＝e－a＝＝5， 则a＝－ln 5，故A正确； 由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100， 可知e3a＋b＝125. 因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍， 所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)， 解得k＝5，故B错误； 三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正确； 由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3 130， 故一等奖的面值为3 130元，故C正确. 8.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”. 答案　10 解析　设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为， 由＜，得n≥10. 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”. 9.里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍. 答案　6　10 000 解析　M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6. 设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2， 则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109， 5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105， 所以＝104， 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍. 10.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大.现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________.(保留到个位)(lg 61≈1.79) 答案　462 解析　由题意得，f(60)＝≈＝P， ∴k＝＝0.465， ∴f(100)＝＝≈＝62， ∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462. 11.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数). (1)求c，m的值； (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？ 解　(1)由题意可得 两式相除，解得 (2)由题意可得128≤0.5， 所以≤，即t≥8，解得t≥32. 故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态. 12.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年. (1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值. 解　(1)由题意得，当0<x≤4时，v＝2； 当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)， 显然v＝ax＋b在(4，20]内单调递减， 由已知得解得 所以v＝－x＋. 故函数v＝ (2)设年生长量为f(x)千克/立方米， 依题意并由(1)可得 f(x)＝ 当0<x≤4时，f(x)单调递增， 故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； 当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋， f(x)max＝f(10)＝12.5. 所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 13.(2023·绍兴二模)某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图)，水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据：≈1.732)(　　) A.0.58米 B.0.87米 C.1.17米 D.1.73米 答案　B 解析　如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，过点B作BE⊥CD于点E，∠BAD＝∠ABC＝120°， 要使过水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完， 则100×(AB＋BC＋AD)×100＝30 000， 解得AB＋BC＋AD＝3米. 设BC＝x，则AB＝3－2x，BE＝x，CE＝x，CD＝3－x，且0<x<， 则梯形ABCD的面积S＝＝(－x2＋2x)， 当x＝1时，Smax＝，此时BE＝≈0.87， 即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米. 14.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元). (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益； (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 解　(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元， 所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元). 因此，此时公司的总收益为88万元. (2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元， 依题意得 解之得80≤x≤160， 当80≤x<120，即120<240－x≤160时，f(x)＝4－6＋32＝ 4＋26<26＋16； 当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时， f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56. 令t＝，则t∈[2，4]， 所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88. 当t＝8，即x＝128时，y取最大值88. 因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0， 故f(x)的最大值为88. 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——函数之函数模型及其应用 知识梳理 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　　 y＝ax(a>1) y＝logax (a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调______ 单调______ 单调______ 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与______平行 随x的增大逐渐表现为与______平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 递增 递增 递增 y轴 x轴 3 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 4 常用结论 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) × × × √ ∴每件赔1元，(1)错误. (2)当x＝2时，2x＝x2＝4.(2)不正确. 2.(必修一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　) D 解析　当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)； 当乙商品的价格为4元时,该商人买入乙商品,可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元). 故该商人共获利40＋80＝120(万元). A.40万元 B.60万元 C.80万元 D.120万元 C 解析　由题意知4.9＝5＋lg V， 所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________. 506 ∵t∈N， ∴t＝12或13时，ymax＝506. 考点一　利用函数图象刻画实际问题的变化过程 例1 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) D 解析　依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x； 当4＜x≤8时，f(x)＝8； 当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x， 观察四个选项知D项符合要求. 方法总结 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象； (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 训练1 (2024·泰州调研)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　) B 解析　由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0，0＜a＜1. A.y＝mx2＋n(x＞0) B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1) C.y＝max＋n(m＞0，a＞1) D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1) 考点二　已知函数模型解决实际问题 A 物种 甲 乙 丙 合计 个体数量 300 150 150 600 A 方法总结 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数； (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 训练2 (1)(2024·湖南部分学校联考)甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体,对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08 mg/m3,否则，该新房达不到安全入住的标准，若某套住房自装修完成后，通风x(x＝1,2，3，…，50)周与室内甲醛浓度y(单位：mg/m3)之间近似满足函数关系式y＝0.48－0.1f(x)(x∈N*)，其中f(x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1，2，3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，则该住房自装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风(　　) A.17周 B.24周 C.28周 D.26周 D 解析　由题意，f(x)＝loga[k(x＋1)2]＝logak＋2loga(x＋1)， 由f(2)＝2，f(8)＝3， 得logak＋2loga(2＋1)＝2，logak＋2loga(8＋1)＝3， 两式相减得loga9＝1，则a＝9， 所以logak＋2＝3，得k＝9. 该住房自装修完成后要达到安全入住的标准，则需0.48－0.1f(x)≤0.08， 即f(x)≥4， 即1＋2log9(x＋1)≥4，解得x≥26， 故至少需要通风26周.故选D. (2)(2024·北京房山区模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型S(t)＝S0eKt描述血氧饱和度S(t)随着给氧时间t(单位：小时)的变化而变化的规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0＝60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为(精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) A.0.3小时 B.0.5小时 C.0.7小时 D.0.9小时 B 解析　设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少需要t－1小时， 由题意可得60eK＝80，60eKt＝90， 则给氧时间至少还需要t－1＝0.5(小时)，故选B. 考点三　构建函数模型解决实际问题 例3 李冶(1192—1279)，真定栾城(今属河北石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人,数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：如求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为y亩,若方田的四边到水池的最近距离均为 20步，则y关于水池半径r(步)的函数关系式为y＝___________________,水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时，r＝________(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算). 40 解析　已知水池的半径为r步， 则方田的边长为(2r＋40)步， 由题意得，(2r＋40)2－πr2＝y×240， 方法总结 在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)解模：求解函数模型，得出数学结论. (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题. 训练3 某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400 m2的三级污水处理池,如图所示，已知池外墙造价为200元/m，中间两条隔墙造价为250元/m，池底造价为80元/m2(池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖).若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为(　　) C 习题演练 1.(2024·绵阳诊断)某检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg X＝nlg(1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量,p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后,数量变为原来的1 000倍,则扩增效率p约为(参考数据：100.25≈1.778,10－0.25≈0.562)(　　) A.22.2% B.43.8% C.56.2% D.77.8% D 解析　由题意知，lg(1 000X0)＝12lg(1＋p)＋lg X0， 即lg 103＋lg X0＝12lg(1＋p)＋lg X0， 即3＋lg X0＝12lg(1＋p)＋lg X0， 所以1＋p＝100.25≈1.778， 解得p≈0.778＝77.8%.故选D. 2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) B 解析　由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B. x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 3.(2024·烟台调研)海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID＝I0e－KD表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数(也称衰减系数)，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　) A.0.12 B.0.11 C.0.07 D.0.01 A 解析　由题意得，30%I0＝I0e－10K， 即30%＝e－10K， 两边取自然对数得，－10K＝ln 3－ln 10＝ln 3－ln 2－ln 5， A C 当0<x≤40时，f(x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875， 当x＝30时，f(x)取得最大值875； 由于875>720，所以该企业每年利润最大值为875万元.故选C. 6.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　) BD 解析　在A中，甲在公园休息的时间是10 min， 所以只走了50 min，A错误； 由题中图象知，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误； 7.(多选)(2024·河北部分学校联考)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则(　　 ) A.a＝－ln 5 B.k＝15 C.一等奖的面值为3 130元 D.三等奖的面值为130元 ACD 解析　由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元， 由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100， 可知e3a＋b＝125. 因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍， 所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)， 解得k＝5，故B错误； 三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正确； 由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3 130， 故一等奖的面值为3 130元，故C正确. 8.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”. 10 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”. 9.里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍. 6 10 000 解析　M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6. 设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2， 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍. 462 ∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462. (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？ 故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态. 12.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年. (1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式； 解　由题意得，当0<x≤4时，v＝2； 当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)， 显然v＝ax＋b在(4，20]内单调递减， (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值. 解　设年生长量为f(x)千克/立方米， 当0<x≤4时，f(x)单调递增，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； f(x)max＝f(10)＝12.5.所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. B A.0.58米 B.0.87米 C.1.17米 D.1.73米 解析　如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，过点B作BE⊥CD于点E，∠BAD＝∠ABC＝120°， 要使过水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完， 则100×(AB＋BC＋AD)×100＝30 000， 解得AB＋BC＋AD＝3米. 即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米. 解　当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元， 因此，此时公司的总收益为88万元. (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 解　由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元， 故f(x)的最大值为88. 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元. (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　) (3)不存在x0，使ax0<xeq \o\al(n,0)<logax0.(　　) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.(　　) 解析　(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×eq \f(9,10)＝99(元). (3)如a＝x0＝eq \f(1,2)，n＝eq \f(1,4)，不等式成立，因此(3)错误. 3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(eq \r(10,10)≈1.259)(　　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 得lg V＝－0.1，得V＝10－eq \f(1,10)≈0.8， 解析　日销售金额y＝(－t＋35)(t＋10)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(25,2))) eq \s\up12(2)＋350＋eq \f(625,4)， 例2 (1)(2024·铜仁模拟)香农－威纳指数(H)是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公式是H＝－eq \o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))pi·log2pi，其中n是该群落中生物的种数，pi为第i个物种在群落中的比例，下表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农－威纳指数值为(　　) A.eq \f(3,2) B.eq \f(3,4) C.－eq \f(3,2) D.－eq \f(3,4) 解析　由题意知H＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(300,600)×log2\f(300,600)＋\f(150,600)×log2\f(150,600)＋\f(150,600)×log2\f(150,600)))＝ －eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log2\f(1,2)＋\f(1,4)log2\f(1,4)＋\f(1,4)log2\f(1,4)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)－\f(1,2)))＝eq \f(3,2).故选A. (2)(2024·桂林、崇左调研)牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，那么经过t分钟后的温度T满足T－Ta＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(\f(t,h))(T0－Ta)，h称为半衰期，其中Ta是环境温度.如果Ta＝25 ℃，现有一杯80 ℃的热水降至75 ℃大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75 ℃降至45 ℃大约还需要(参考数据： lg 2≈0.30，lg 11≈1.04)(　　) A.10分钟　 B.9分钟　 C.8分钟　 D.7分钟 解析　将所给数据代入T－Ta＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(\f(t,h))(T0－Ta)得，75－25＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(\f(1,h))(80－25)， 即＝＝， 所以eq \f(1,h)＝logeq \f(1,2) eq \f(10,11)＝eq \f(lg \f(10,11),lg \f(1,2))＝eq \f(1－lg 11,－lg 2)≈eq \f(1－1.04,－0.30)＝eq \f(2,15)， 当水温从75 ℃降至45 ℃时，满足45－25＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(\f(2,15)t)(75－25)， 可得eq \f(2,15)t＝logeq \f(1,2) eq \f(2,5)＝eq \f(lg \f(2,5),lg \f(1,2))＝eq \f(2lg 2－1,－lg 2)≈eq \f(2×0.30－1,－0.30)＝eq \f(4,3)，故t≈10.故选A. 两边同时取自然对数并整理，得K＝ln eq \f(80,60)＝ln eq \f(4,3)＝ln 4－ln 3＝2ln 2－ln 3，Kt＝ln eq \f(90,60)＝ln eq \f(3,2)＝ln 3－ln 2， 则t＝eq \f(ln 3－ln 2,2ln 2－ln 3)≈eq \f(1.10－0.69,2×0.69－1.10)≈1.5， r2＋r＋ 得y＝eq \f(1,240)r2＋eq \f(2,3)r＋eq \f(20,3)，eq \f(y,r)＝eq \f(r,240)＋eq \f(20,3r)＋eq \f(2,3)≥1，当且仅当r＝40取等号. 则y＝200eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2×\f(400,x)))＋2×250x＋80×400＝900x＋eq \f(160 000,x)＋ 32 000≥2eq \r(900×160 000)＋32 000＝56 000，当且仅当900x＝eq \f(160 000,x)， 即x＝时，总造价最低. A.40 m，10 m B.20 m，20 m C.30 m， m D.50 m，8 m 解析　设污水处理池的宽为x m，则长为eq \f(400,x) m，总造价为y元， A.y＝2x－2 B.y＝eq \f(1,2)(x2－1) C.y＝log2x D.y＝logeq \s\do9(\f(1,2))x 所以K＝eq \f(ln 2＋ln 5－ln 3,10)≈eq \f(0.7＋1.6－1.1,10)＝0.12.故选A. 4.(2024·合肥联考)一般地，声音大小用声强级LI(单位：dB)表示，其计算公式为：LI＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))，其中I为声强，单位：W/m2,若某种物体发出的声强为5－10 W/m2，其声强级约为(参考数据：lg 2≈0.30)(　　) A.50 dB B.55 dB C.60 dB D.70 dB 解析　由已知得LI＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5－10,10－12)))＝10×(12－10lg 5)＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12－10lg \f(10,2)))＝10×(2＋10lg 2)≈10×(2＋10×0.30)＝50(dB).故选A. 5.(2024·深圳质检)某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元，其中ω(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋10x，0<x≤40，,71x＋\f(10 000,x)－945，x>40.))若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(　　) A.720万元 B.800万元 C.875万元 D.900万元 解析　该企业每年利润f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(70x－（x2＋10x＋25），0<x≤40，,70x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(71x＋\f(10 000,x)－945＋25))，x>40，)) 当x>40时，f(x)＝920－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10 000,x)))≤920－2eq \r(x·\f(10 000,x))＝720(当且仅当x＝100时，等号成立)，即当x＝100时，f(x)取得最大值720. A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝eq \f(1,15)x 当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝eq \f(1,15)，D正确. 所以eq \f(（e3a＋b＋k）－（e4a＋b＋k）,（e4a＋b＋k）－（e5a＋b＋k）)＝e－a＝eq \f(100,20)＝5，则a＝－ln 5，故A正确； 解析　设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)， 由＜，得n≥10. 则9＝lg A1－lg A0＝lg eq \f(A1,A0)，则eq \f(A1,A0)＝109，5＝lg A2－lg A0＝lg eq \f(A2,A0)，则eq \f(A2,A0)＝105， 所以＝104， 10.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大.现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝eq \f(kP,1＋lg（t＋1）)，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝eq \f(1,6)P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________.(保留到个位)(lg 61≈1.79) 解析　由题意得，f(60)＝eq \f(kP,1＋lg 61)≈eq \f(kP,2.79)＝eq \f(1,6)P， ∴k＝＝0.465， ∴f(100)＝eq \f(0.465×400,1＋lg 101)＝eq \f(186,1＋lg 100＋lg 1.01)≈eq \f(186,3)＝62， 11.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(mt)(c，m为常数). (1)求c，m的值； 解　由题意可得 两式相除，解得 解　由题意可得128≤0.5， 所以≤，即t≥8，解得t≥32. 由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2).))所以v＝－eq \f(1,8)x＋eq \f(5,2). 故函数v＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，x∈N*，,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20，x∈N*.)) 依题意并由(1)可得f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，x∈N*，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20，x∈N*，)) 当4<x≤20时，f(x)＝－eq \f(1,8)x2＋eq \f(5,2)x＝－eq \f(1,8)(x2－20x)＝－eq \f(1,8)(x－10)2＋eq \f(25,2)， 13.(2023·绍兴二模)某乡村要修建一条100米长的水渠,水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图),水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元,为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据：eq \r(3)≈1.732)(　　) 当x＝1时，Smax＝eq \f(3\r(3),4)，此时BE＝eq \f(\r(3),2)≈0.87， 设BC＝x，则AB＝3－2x，BE＝eq \f(\r(3),2)x，CE＝eq \f(1,2)x，CD＝3－x，且0<x<eq \f(3,2)， 则梯形ABCD的面积S＝eq \f(（3－2x＋3－x）×\f(\r(3),2)x,2)＝eq \f(3\r(3),4)(－x2＋2x)， 14.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4eq \r(2a)－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋2，80≤a≤120，,32，120<a≤160，))设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元). (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益； 所以f(128)＝4×eq \r(2×128)－6＋eq \f(1,4)×112＋2＝88(万元). 令t＝，则t∈[2，4]， 所以y＝－eq \f(1,4)t2＋4eq \r(2)t＋56＝－eq \f(1,4)(t－8eq \r(2))2＋88. 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥80，,240－x≥80，))解之得80≤x≤160， 当80≤x<120，即120<240－x≤160时，f(x)＝4eq \r(2x)－6＋32＝4eq \r(2x)＋26<26＋16eq \r(15)； 当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时，f(x)＝4eq \r(2x)－6＋eq \f(1,4)(240－x)＋2＝－eq \f(1,4)x＋4eq \r(2x)＋56. 当t＝8eq \r(2)，即x＝128时，y取最大值88. 因为88－(26＋16eq \r(15))＝2×(31－8eq \r(15))>0， $$