函数之函数的图象（讲义+课件）-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——函数之函数的图象 【知识梳理】 1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝ 的图象； y＝f(x)的图象y＝ 的图象； y＝f(x)的图象y＝ 的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象 y＝ (a>0，且a≠1)的图象. (3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax). y＝f(x)y＝Af(x). (4)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝ 的图象； y＝f(x)的图象y＝ 的图象. [常用结论] 1.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换. 2.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到.(　　) (3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　) (4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　) 2.已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式为(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 3.已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B.f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C.f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1) D.f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________. 考点一　作函数的图象 例1 作出下列函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝x2－2|x|－1. 方法总结　1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. 2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 训练1 分别作出下列函数的图象： (1)y＝sin |x|；(2)y＝. 考点二　函数图象的识别 例2 (1)(2022·全国甲卷)函数f(x)＝(3x－3－x)·cos x在区间[－，]上的图象大致为(　　) (2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 方法总结　1.抓住函数的性质，定性分析： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 2.抓住函数的特征，定量计算：寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 训练2 (1)(2024·焦作模拟)函数f(x)＝的大致图象为(　　) (2)(2024·吕梁质检)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝x3·ln |x| D.f(x)＝e|x|·(x2－1) 考点三　函数图象的应用 角度1　解方程或不等式 例3 (2024·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A.(－，0)∪(，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞) C.(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D.(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 角度2　求参数范围 例4 (2024·张掖诊断)已知函数f(x)满足当x≤0时，2f(x－2)＝f(x)，且当x∈(－2，0]时，f(x)＝|x＋1|－1；当x＞0时，f(x)＝logax(a＞0且a≠1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是(　　) A.(625，＋∞) B.(4，64) C.(9，625) D.(9，64) 方法总结　1.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解. 2.利用图象求参数时，要准确分析函数图象的特殊点，借助函数图象，把原问题转化为数量关系较明确的问题. 训练3 (1)(2024·南通调研)已知函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)，f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为________. (2)已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________. 习题演练 1.为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　) A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 2.(2024·浙江十校联考)函数y＝(x－2)2ln |x|的图象是(　　) 3.(2024·深圳模拟)已知函数y＝f(x)的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是(　　) A.y＝x2f(x) B.y＝ C.y＝xf(x) D.y＝xf2(x) 4.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝(　　) A.－ 　　　 B.－ C.－1 　　　 D.－2 5.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　) 6.(2024·烟台模拟)若某函数在区间[－π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能是(　　) A.y＝(x＋2)sin 2x B.y＝ C.y＝ D.y＝ 7.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，1) B.[0，1) C.(1，3)∪{0} D.[1，3)∪{0} 8.(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　) A.f(x＋2)是偶函数 B.f(x＋2)是奇函数 C.f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增 D.f(x)没有最小值 9.将函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)＝______. 10.函数f(x)＝的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝________. 11.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________. 12.(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝则f＝________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是________. 13.(多选)函数f(x)＝的图象如图所示，则(　　) A.a>0 　　　 B.b<0 C.c>0 　　　 D.abc<0 14.(2024·青岛质检)若e－x1·x3＝－x3ln x2＝－1，则下列不等关系一定不成立的是(　　) A.x1＜x3＜x2 B.x3＜x1＜x2 C.x3＜x2＜x1 D.x1＜x2＜x3 15.(2024·河南名校联考)已知函数f(x)＝若f(x)的图象上至少有两对点关于y轴对称，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D.[0，1] 16.(2023·盐城质检)已知函数f(x)＝|3－2x－x2|的图象和直线2x＋ay＋7＝0有三个交点，则a＝________. 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——函数之函数的图象 知识梳理 1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 3 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 f(x)-k 4 －f(x) f(－x) －f(－x) logax 5 |f(x)| f(|x|) 6 常用结论 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到.(　　) (3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　) (4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　) × × × × 解析　(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误. (2)y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]，所以可由y＝f(－x)向右平移1个单位长度得到，(2)错误. (3)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到，两图象不同，(3)错误. (4)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(4)错误. 2.已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式为(　　) D 解析　由所给图象可知，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞),且为偶函数,A选项中的函数定义域为R，B，C，D选项中的函数定义域为(－∞，0)∪(0,＋∞)，排除A； 3.已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B.f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C.f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1) D.f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) C 画出函数f(x)的图象，如图所示， 观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称， 故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减. 4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________. e－x＋1 解析　由题意得f(x)＝e－x， ∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1. 考点一　作函数的图象 (2)y＝|log2(x＋1)|； 解　将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②. (3)y＝x2－2|x|－1. 再根据对称性作出(－∞，0)上的图象， 得图象如图③. 方法总结 1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. 2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 训练1 分别作出下列函数的图象： (1)y＝sin |x|； 解　当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同， 又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图①. 考点二　函数图象的识别 A 解析　法一(特值法)　取x＝1， 结合选项知选A. 法二　f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)， 所以函数f(x)＝(3x－3－x)cos x是奇函数，排除B，D； (2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) D 解析　由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数. 分析知，选项D符合题意，故选D. 方法总结 1.抓住函数的性质，定性分析： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 2.抓住函数的特征，定量计算：寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. C 所以f(x)为奇函数，排除A； 当x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D.故选C. (2)(2024·吕梁质检)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(　　) B 解析　由题图知，函数f(x)是奇函数. 对于C，当x>1时，f(x)＝x3·ln x单调递增，故排除C； 对于D，f(x)＝e|x|·(x2－1)的定义域为R，f(－x)＝e|x|·(x2－1)＝f(x)， 则f(x)是偶函数，故排除D.故选B. 考点三　函数图象的应用 角度1　解方程或不等式 例3 (2024·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) C 解析　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0， 角度2　求参数范围 例4 (2024·张掖诊断)已知函数f(x)满足当x≤0时，2f(x－2)＝f(x)，且当x∈(－2，0]时，f(x)＝|x＋1|－1；当x＞0时，f(x)＝logax(a＞0且a≠1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是(　　) A.(625，＋∞) B.(4，64) C.(9，625) D.(9，64) C 解析　当x∈(－2，0]时，f(x)＝|x＋1|－1，结合当x≤0时，2f(x－2)＝f(x)，作出函数f(x)在(－∞，0]上的部分图象，再作出y＝logax(a＞0且a≠1)的图象及其关于原点对称的图象，如图所示. 当0＜a＜1时，对称后的图象不可能与f(x)在(－∞，0]的图象有3个交点； 解得9＜a＜625.故选C. 方法总结 1.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解. 2.利用图象求参数时，要准确分析函数图象的特殊点，借助函数图象，把原问题转化为数量关系较明确的问题. 训练3 (1)(2024·南通调研)已知函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)，f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为______________________. (－∞，－3)∪(－3，0) 解析　依题意知，f(0)＝0， 当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)， 即－f(x)>2f(x)，得f(x)<0， 由f(3)＝0，得f(－3)＝－f(3)＝0， 由此画出f(x)的大致图象如图所示， 由图可知，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－3)∪(－3，0). (2，2 025) 不妨令a＜b＜c， 由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1， 而1＜c＜2 024， 所以2＜a＋b＋c＜2 025. 习题演练 C 2.(2024·浙江十校联考)函数y＝(x－2)2ln |x|的图象是(　　) B 解析　图象过点(1，0)，(2，0)，排除A，D； 当x≥1时，y≥0，排除C，故选B. 3.(2024·深圳模拟)已知函数y＝f(x)的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是(　　) C 解析　对于A，当x<0时，f(x)<0，所以x2f(x)<0，故A不符合题意； 对于C，当x<0时，f(x)<0，所以xf(x)>0,且x→－∞时,f(x)→－∞,xf(x)→＋∞；当x>0时，f(x)>0，所以xf(x)>0，且x→＋∞时，f(x)→0，xf(x)→0，故C符合题意； 对于D，当x<0时，f(x)<0，则f2(x)>0，所以xf2(x)<0，故D不符合题意. C 故f(－3)＝5－6＝－1. 5.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　) C 解析　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确. 6.(2024·烟台模拟)若某函数在区间[－π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能是(　　) B D 解析　因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解， 所以函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点， 作出函数图象，如图所示， 所以当m∈[1，3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点， 所以实数m的取值范围是[1，3)∪{0}. 8.(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　) A.f(x＋2)是偶函数 B.f(x＋2)是奇函数 C.f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增 D.f(x)没有最小值 AC 解析　f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误. 作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增； 由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误. 9.将函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)＝______. -2 解析　由函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，可得g(x)＝f(x＋1)＋1， 故f(x)＝g(x－1)－1， 所以f(0)＋f(2)＝g(－1)－1＋g(1)－1＝－g(1)＋g(1)－2＝－2. 2 所以f(x)的图象关于点(0，1)对称，而直线y＝kx＋1过(0，1)点， 故两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0，1)对称， 11.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_____________. [－1，＋∞) 解析　如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1， 即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立， 因此a的取值范围是[－1，＋∞). 作出函数f(x)的图象，如图所示， AB 解析　函数的定义域为{x|x≠－c}，由图可知－c>0，则c<0， A.a>0 　　　 B.b<0 C.c>0 　　　 D.abc<0 综上，a>0，b<0，c<0. 14.(2024·青岛质检)若e－x1·x3＝－x3ln x2＝－1，则下列不等关系一定不成立的是(　　) A.x1＜x3＜x2 B.x3＜x1＜x2 C.x3＜x2＜x1 D.x1＜x2＜x3 D 由e－x1＞0，得0＜x2＜1，x3＜0， 变换m的值，可发现： x1＜x3＜x2，x3＜x1＜x2，x3＜x2＜x1均能够成立，只有D不可能成立.故选D. C 16.(2023·盐城质检)已知函数f(x)＝|3－2x－x2|的图象和直线2x＋ay＋7＝0有三个交点，则a＝________. -1 解析　画出函数f(x)的图象，如图所示. 所以当直线2x＋ay＋7＝0与f(x)＝3－2x－x2(－3＜x＜1)的图象相切时，符合题意. 当a＝－1时，方程－x2－4x－4＝0的解为x＝－2，满足条件－3＜x＜1； 所以a＝－1. (2)对称变换 y＝f(x)的图象eq \o(――――――→,\s\up17(关于x轴对称))y＝ 的图象； y＝f(x)的图象eq \o(――――――→,\s\up17(关于y轴对称))y＝ 的图象； y＝f(x)的图象eq \o(―――――――→,\s\up17(关于原点对称))y＝ 的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象eq \o(――――→,\s\up17(关于直线),\s\do15(y＝x对称))y＝ (a>0，且a≠1)的图象. (3)伸缩变换 y＝f(x)eq \o(―――――――――――――――――→,\s\up17(纵坐标不变),\s\do30(各点横坐标变为原来的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax). y＝f(x)eq \o(――――――――――――――――――→,\s\up17(横坐标不变),\s\do15(各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍))y＝Af(x). (4)翻折变换 y＝f(x)的图象eq \o(――――――――――――→,\s\up17(x轴下方部分翻折到上方),\s\do15(x轴及上方部分不变))y＝ 的图象； y＝f(x)的图象eq \o(――――――――――――――――→,\s\up17(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\do15(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝ 的图象. 1.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换. 2.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行. A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 当f(x)＝eq \f(ex＋e－x,x3)时，f(－x)＝eq \f(e－x＋ex,（－x）3)＝－eq \f(ex＋e－x,x3)＝－f(x)，所以f(x)＝eq \f(ex＋e－x,x3)是奇函数，排除B； 当f(x)＝eq \f(x2,ex－e－x)时，f(－x)＝eq \f(（－x）2,e－x－ex)＝－eq \f(x2,ex－e－x)＝－f(x)，所以f(x)＝eq \f(x2,ex－e－x)是奇函数，排除C.故选D. 解析　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x＜0，)) 即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)的图象，如图①实线部分. 例1 作出下列函数的图象： (1)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)； 解　先作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的图象，保留y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)图象中x≥0的部分， 再作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的图象中x>0部分关于y轴的对称部分， 解　∵y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象， (2)y＝. 解　y＝＝2＋， 故函数的图象可由y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示. 例2 (1)(2022·全国甲卷)函数f(x)＝(3x－3－x)·cos x在区间[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]上的图象大致为(　　) 则f(1)＝(3－eq \f(1,3))cos 1＝eq \f(8,3)cos 1＞0 ； 取x＝－1，则f(－1)＝(eq \f(1,3)－3)cos(－1)＝－eq \f(8,3)cos 1＜0. 取x＝1，则f(1)＝(3－eq \f(1,3))cos 1＝eq \f(8,3)cos 1＞0，排除C.故选A. A.f(x)＝eq \f(5（ex－e－x）,x2＋2) B.f(x)＝eq \f(5sin x,x2＋1) C.f(x)＝eq \f(5（ex＋e－x）,x2＋2) D.f(x)＝eq \f(5cos x,x2＋1) 对于A，f(x)＝eq \f(5（ex－e－x）,x2＋2)，定义域为R，f(－x)＝eq \f(5（e－x－ex）,x2＋2)＝－f(x)， 所以函数f(x)＝eq \f(5（ex－e－x）,x2＋2)是奇函数，所以排除A； 对于B，f(x)＝eq \f(5sin x,x2＋1)，定义域为R，f(－x)＝eq \f(5sin（－x）,x2＋1)＝－eq \f(5sin x,x2＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)＝eq \f(5sin x,x2＋1)是奇函数，所以排除B； 对于C，f(x)＝eq \f(5（ex＋e－x）,x2＋2)，定义域为R，f(－x)＝eq \f(5（e－x＋ex）,x2＋2)＝f(x)，所以函数f(x)＝eq \f(5（ex＋e－x）,x2＋2)是偶函数，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，所以排除C； 训练2 (1)(2024·焦作模拟)函数f(x)＝eq \f(6x－6－x,|4x2－1|)的大致图象为(　　) 解析　由题意知，函数f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠±\f(1,2)))， 因为f(－x)＝＝－f(x)， 因为f(1)＝>0，所以排除B； A.f(x)＝eq \f(x－x3,2x) B.f(x)＝eq \f(x3－x,e|x|) C.f(x)＝x3·ln |x| D.f(x)＝e|x|·(x2－1) 对于A，因为f(2)＝eq \f(2－8,4)＝－eq \f(3,2)，f(－2)＝eq \f(－2＋8,\f(1,4))＝24，所以f(x)是非奇非偶函数，故排除A； A.(－，0)∪(，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞) C.(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D.(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－eq \r(2)，0)∪(eq \r(2)，2). 则或 解得x<－2或－eq \r(2)<x<0或eq \r(2)<x<2， 当a＞1时，要使函数f(x)＝logax的图象关于原点对称后的图象与f(x)在(－∞，0]上的图象恰好有3个交点，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞1，,－loga3＞－\f(1,2)，,－loga5＜－\f(1,4)，)) (2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin πx，0≤x≤1，,log2 024x，x＞1，))若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是____________. 解析　函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin πx，0≤x≤1，,log2 024x，x＞1))的图象如图所示， 1.为了得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10)的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　) A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析　∵y＝lg ＝lg(x＋3)－1， ∴y＝lg xeq \o(―――――――――→,\s\up17(向左平移3个单位长度))y＝lg(x＋3)eq \o(―――――――――→,\s\up17(向下平移1个单位长度))y＝lg(x＋3)－1. A.y＝x2f(x) B.y＝eq \f(f（x）,x2) C.y＝xf(x) D.y＝xf2(x) 对于B，当x<0时，f(x)<0，所以eq \f(f（x）,x2)<0，故B不符合题意； ∴f(x)＝ 4.若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1，,ln（x＋a），x≥－1))的图象如图所示， 则f(－3)＝(　　) A.－ 　　　 B.－ C.－1 　　　 D.－2 解析　由图象知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（a－1）＝0，,b－a＝3，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝5，)) A.y＝(x＋2)sin 2x B.y＝eq \f(（4x2＋5x）sin x,|x|＋1) C.y＝eq \f(（x＋2）sin x,|x|＋1) D.y＝eq \f(x2＋2x,cos x＋2) 解析　A中，设f(x)＝y＝(x＋2)sin 2x，则当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，2x∈(π，2π)，则f(x)<0，不符合，排除A； C中，设f(x)＝y＝eq \f(（x＋2）sin x,|x|＋1)，当x∈(0，π)时，f(x)＝eq \f(（x＋2）sin x,x＋1)，且2<x＋2<π＋2，0<sin x≤1，1<x＋1<π＋1，所以0<(x＋2)sin x<π＋2，所以f(x)＝eq \f(（x＋2）sin x,x＋1)<(x＋2)sin x<π＋2<6，不符合，排除C； D中，设f(x)＝y＝eq \f(x2＋2x,cos x＋2)，令f(x)＝0，解得x＝0或－2，不符合，排除D.故选B. 7.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x≤2，,－x＋5，x>2，))若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，1) B.[0，1) C.(1，3)∪{0} D.[1，3)∪{0} 10.函数f(x)＝eq \f(x＋1,x)的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝________. 解析　因为f(x)＝eq \f(x＋1,x)＝eq \f(1,x)＋1， 所以＝1，即y1＋y2＝2. 则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)))＝eq \f(7,4)＋eq \f(1,\f(7,4))－1＝eq \f(7,4)＋eq \f(4,7)－1＝eq \f(37,28). 结合图象，令－x2＋2＝1，解得x＝±1； 令x＋eq \f(1,x)－1＝3，解得x＝2±eq \r(3)，又x>1，所以x＝2＋eq \r(3)， 所以(b－a)max＝2＋eq \r(3)－(－1)＝3＋eq \r(3). 12.(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2，x≤1，,x＋\f(1,x)－1，x>1，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是________. 3＋ 解析　由题意知f＝－＋2＝， 由图可知－>0，得<0，所以a>0， 13.(多选)函数f(x)＝eq \f(ax＋b,（x＋c）2)的图象如图所示，则(　　) 由图可知f(0)＝<0，所以b<0， 由f(x)＝0，得ax＋b＝0，x＝－， 解析　由e－x1·x3＝－x3ln x2＝－1，得e－x1＝－ln x2＝－eq \f(1,x3). 作函数y＝e－x，y＝－ln x，y＝－eq \f(1,x)(x＜0)的图象及直线y＝m，如图. 由题意知，当x>0时，y＝eq \f(1,x)与y＝|x－2|＋a的图象至少有两个交点， 即方程eq \f(1,x)＝|x－2|＋a在(0，＋∞)内至少有两个不相等的实根， 15.(2024·河南名校联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)，x<0，,|x－2|＋a，x≥0.))若f(x)的图象上至少有两对点关于y轴对称，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.[0，1] 解析　当x<0时，f(x)＝－， 则其关于y轴对称的图象所对应的函数解析式为y＝eq \f(1,x)，x>0. 故实数a的取值范围是.故选C. 即y＝a与y＝eq \f(1,x)－|x－2|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)－2，0<x≤2，,\f(1,x)－x＋2，x>2))的图象至少有两个交点. 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝a与y＝eq \f(1,x)－|x－2|(x>0)的图象，如图所示. 由图可知，若直线y＝a与y＝－|x－2|(x>0)的图象至少有两个交点，则0≤a≤. 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3－2x－x2，,2x＋ay＋7＝0，))得ax2＋2(a－1)x－(3a＋7)＝0， 由Δ＝4(a－1)2＋4a(3a＋7)＝4(4a＋1)(a＋1)＝0，得a＝－1或a＝－eq \f(1,4). 因为直线2x＋ay＋7＝0过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，0))， 当a＝－eq \f(1,4)时，方程－eq \f(1,4)x2－eq \f(5,2)x－eq \f(25,4)＝0的解为x＝－5，不满足条件－3＜x＜1. $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——函数之函数的图象 【知识梳理】 1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象 y＝logax(a>0，且a≠1)的图象. (3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax). y＝f(x)y＝Af(x). (4)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象. [常用结论] 1.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换. 2.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到.(　　) (3)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　) (4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 解析　(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误. (2)y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]，所以可由y＝f(－x)向右平移1个单位长度得到， (2)错误. (3)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到，两图象不同，(3)错误. (4)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(4)错误. 2.已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式为(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 答案　D 解析　由所给图象可知，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为偶函数，A选项中的函数定义域为R，B，C，D选项中的函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，排除A； 当f(x)＝时，f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)＝是奇函数，排除B； 当f(x)＝时，f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)＝是奇函数，排除C.故选D. 3.已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B.f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C.f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1) D.f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案　C 解析　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值， 得f(x)＝ 画出函数f(x)的图象，如图所示， 观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称， 故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减. 4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________. 答案　e－x＋1 解析　由题意得f(x)＝e－x， ∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1. 考点一　作函数的图象 例1 作出下列函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝x2－2|x|－1. 解　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分， 再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分， 即得y＝的图象，如图①实线部分. (2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②. (3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象， 再根据对称性作出(－∞，0)上的图象， 得图象如图③. 方法总结　1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. 2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 训练1 分别作出下列函数的图象： (1)y＝sin |x|；(2)y＝. 解　(1)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同， 又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图①. (2)y＝＝2＋， 故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示. 考点二　函数图象的识别 例2 (1)(2022·全国甲卷)函数f(x)＝(3x－3－x)·cos x在区间[－，]上的图象大致为(　　) 答案　A 解析　法一(特值法)　取x＝1， 则f(1)＝(3－)cos 1＝cos 1＞0 ； 取x＝－1，则f(－1)＝(－3)cos(－1)＝－cos 1＜0. 结合选项知选A. 法二　f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)， 所以函数f(x)＝(3x－3－x)cos x是奇函数，排除B，D； 取x＝1，则f(1)＝(3－)cos 1＝cos 1＞0，排除C.故选A. (2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 答案　D 解析　由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数. 对于A，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)， 所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除A； 对于B，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除B； 对于C，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝f(x)， 所以函数f(x)＝是偶函数， 又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，所以排除C； 分析知，选项D符合题意，故选D. 方法总结　1.抓住函数的性质，定性分析： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 2.抓住函数的特征，定量计算：寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 训练2 (1)(2024·焦作模拟)函数f(x)＝的大致图象为(　　) 答案　C 解析　由题意知，函数f(x)的定义域为， 因为f(－x)＝＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，排除A； 因为f(1)＝>0，所以排除B； 当x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D.故选C. (2)(2024·吕梁质检)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝x3·ln |x| D.f(x)＝e|x|·(x2－1) 答案　B 解析　由题图知，函数f(x)是奇函数. 对于A，因为f(2)＝＝－，f(－2)＝＝24， 所以f(x)是非奇非偶函数，故排除A； 对于C，当x>1时，f(x)＝x3·ln x单调递增，故排除C； 对于D，f(x)＝e|x|·(x2－1)的定义域为R，f(－x)＝e|x|·(x2－1)＝f(x)， 则f(x)是偶函数，故排除D.故选B. 考点三　函数图象的应用 角度1　解方程或不等式 例3 (2024·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A.(－，0)∪(，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞) C.(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D.(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 答案　C 解析　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0， 则或 解得x<－2或－<x<0或<x<2， 故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2). 角度2　求参数范围 例4 (2024·张掖诊断)已知函数f(x)满足当x≤0时，2f(x－2)＝f(x)，且当x∈(－2，0]时，f(x)＝|x＋1|－1；当x＞0时，f(x)＝logax(a＞0且a≠1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是(　　) A.(625，＋∞) B.(4，64) C.(9，625) D.(9，64) 答案　C 解析　当x∈(－2，0]时，f(x)＝|x＋1|－1，结合当x≤0时，2f(x－2)＝f(x)，作出函数f(x)在(－∞，0]上的部分图象，再作出y＝logax(a＞0且a≠1)的图象及其关于原点对称的图象，如图所示. 当0＜a＜1时，对称后的图象不可能与f(x)在(－∞，0]的图象有3个交点； 当a＞1时，要使函数f(x)＝logax的图象关于原点对称后的图象与f(x)在(－∞，0]上的图象恰好有3个交点，则 解得9＜a＜625.故选C. 方法总结　1.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解. 2.利用图象求参数时，要准确分析函数图象的特殊点，借助函数图象，把原问题转化为数量关系较明确的问题. 训练3 (1)(2024·南通调研)已知函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)，f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为________. 答案　(－∞，－3)∪(－3，0) 解析　依题意知，f(0)＝0， 当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)， 即－f(x)>2f(x)，得f(x)<0， 由f(3)＝0，得f(－3)＝－f(3)＝0， 由此画出f(x)的大致图象如图所示， 由图可知，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－3)∪(－3，0). (2)已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________. 答案　(2，2 025) 解析　函数f(x)＝的图象如图所示， 不妨令a＜b＜c， 由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1， 而1＜c＜2 024， 所以2＜a＋b＋c＜2 025. 习题演练 1.为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　) A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案　C 解析　∵y＝lg ＝lg(x＋3)－1， ∴y＝lg xy＝lg(x＋3) y＝lg(x＋3)－1. 2.(2024·浙江十校联考)函数y＝(x－2)2ln |x|的图象是(　　) 答案　B 解析　图象过点(1，0)，(2，0)，排除A，D； 当x≥1时，y≥0，排除C，故选B. 3.(2024·深圳模拟)已知函数y＝f(x)的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是(　　) A.y＝x2f(x) B.y＝ C.y＝xf(x) D.y＝xf2(x) 答案　C 解析　对于A，当x<0时，f(x)<0， 所以x2f(x)<0，故A不符合题意； 对于B，当x<0时，f(x)<0， 所以<0，故B不符合题意； 对于C，当x<0时，f(x)<0，所以xf(x)>0，且x→－∞时，f(x)→－∞，xf(x)→＋∞； 当x>0时，f(x)>0，所以xf(x)>0，且x→＋∞时，f(x)→0，xf(x)→0，故C符合题意； 对于D，当x<0时，f(x)<0， 则f2(x)>0，所以xf2(x)<0，故D不符合题意. 4.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝(　　) A.－ 　　　 B.－ C.－1 　　　 D.－2 答案　C 解析　由图象知得 ∴f(x)＝ 故f(－3)＝5－6＝－1. 5.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　) 答案　C 解析　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确. 6.(2024·烟台模拟)若某函数在区间[－π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能是(　　) A.y＝(x＋2)sin 2x B.y＝ C.y＝ D.y＝ 答案　B 解析　A中，设f(x)＝y＝(x＋2)sin 2x， 则当x∈时，2x∈(π，2π)， 则f(x)<0，不符合，排除A； C中，设f(x)＝y＝， 当x∈(0，π)时，f(x)＝， 且2<x＋2<π＋2，0<sin x≤1，1<x＋1<π＋1， 所以0<(x＋2)sin x<π＋2， 所以f(x)＝<(x＋2)sin x<π＋2<6，不符合，排除C； D中，设f(x)＝y＝， 令f(x)＝0，解得x＝0或－2，不符合，排除D.故选B. 7.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，1) B.[0，1) C.(1，3)∪{0} D.[1，3)∪{0} 答案　D 解析　因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解， 所以函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点， 作出函数图象，如图所示， 所以当m∈[1，3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点， 所以实数m的取值范围是[1，3)∪{0}. 8.(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　) A.f(x＋2)是偶函数 B.f(x＋2)是奇函数 C.f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增 D.f(x)没有最小值 答案　AC 解析　f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误. 作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增； 由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误. 9.将函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)＝______. 答案　－2 解析　由函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，可得g(x)＝f(x＋1)＋1， 故f(x)＝g(x－1)－1， 所以f(0)＋f(2)＝g(－1)－1＋g(1)－1＝－g(1)＋g(1)－2＝－2. 10.函数f(x)＝的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝________. 答案　2 解析　因为f(x)＝＝＋1， 所以f(x)的图象关于点(0，1)对称，而直线y＝kx＋1过(0，1)点，故两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0，1)对称，所以＝1，即y1＋y2＝2. 11.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________. 答案　[－1，＋∞) 解析　如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1， 即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立， 因此a的取值范围是[－1，＋∞). 12.(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝则f＝________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是________. 答案　　3＋ 解析　由题意知f＝－＋2＝， 则f＝f＝＋－1＝＋－1＝. 作出函数f(x)的图象，如图所示， 结合图象，令－x2＋2＝1，解得x＝±1； 令x＋－1＝3，解得x＝2±， 又x>1，所以x＝2＋， 所以(b－a)max＝2＋－(－1)＝3＋. 13.(多选)函数f(x)＝的图象如图所示，则(　　) A.a>0 　　　 B.b<0 C.c>0 　　　 D.abc<0 答案　AB 解析　函数的定义域为{x|x≠－c}， 由图可知－c>0，则c<0， 由图可知f(0)＝<0，所以b<0， 由f(x)＝0，得ax＋b＝0，x＝－， 由图可知－>0，得<0，所以a>0， 综上，a>0，b<0，c<0. 14.(2024·青岛质检)若e－x1·x3＝－x3ln x2＝－1，则下列不等关系一定不成立的是(　　) A.x1＜x3＜x2 B.x3＜x1＜x2 C.x3＜x2＜x1 D.x1＜x2＜x3 答案　D 解析　由e－x1·x3＝－x3ln x2＝－1， 得e－x1＝－ln x2＝－. 由e－x1＞0，得0＜x2＜1，x3＜0， 作函数y＝e－x，y＝－ln x， y＝－(x＜0)的图象及直线y＝m，如图. 变换m的值，可发现： x1＜x3＜x2，x3＜x1＜x2，x3＜x2＜x1均能够成立，只有D不可能成立.故选D. 15.(2024·河南名校联考)已知函数f(x)＝若f(x)的图象上至少有两对点关于y轴对称，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D.[0，1] 答案　C 解析　当x<0时，f(x)＝－， 则其关于y轴对称的图象所对应的函数解析式为y＝，x>0. 由题意知，当x>0时，y＝与y＝|x－2|＋a的图象至少有两个交点， 即方程＝|x－2|＋a在(0，＋∞)内至少有两个不相等的实根， 即y＝a与y＝－|x－2|＝的图象至少有两个交点. 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝a与y＝－|x－2|(x>0)的图象，如图所示. 由图可知，若直线y＝a与y＝－|x－2|(x>0)的图象至少有两个交点，则0≤a≤. 故实数a的取值范围是.故选C. 16.(2023·盐城质检)已知函数f(x)＝|3－2x－x2|的图象和直线2x＋ay＋7＝0有三个交点，则a＝________. 答案　－1 解析　画出函数f(x)的图象，如图所示. 因为直线2x＋ay＋7＝0过定点， 所以当直线2x＋ay＋7＝0与f(x)＝3－2x－x2(－3＜x＜1)的图象相切时，符合题意. 联立得ax2＋2(a－1)x－(3a＋7)＝0， 由Δ＝4(a－1)2＋4a(3a＋7)＝4(4a＋1)(a＋1)＝0，得a＝－1或a＝－. 当a＝－1时，方程－x2－4x－4＝0的解为x＝－2，满足条件－3＜x＜1； 当a＝－时，方程－x2－x－＝0的解为x＝－5，不满足条件－3＜x＜1. 所以a＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$