函数之函数的概念及其表示讲义、课件-2025届高三数学一轮专题复习

2025届高考数学一轮复习讲义 课件——函数之函数的概念及其表示 知识梳理 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的______________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有______确定的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 ____的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 实数集 任意一个数x 唯一 x 3 2.同一个函数 (1)前提条件：①定义域______；②对应关系______. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有________、图象法和列表法. 相同 相同 解析法 4 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的______. 并集 5 常用结论 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.注意以下几种特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) × × × × (2)错误.根据函数的概念可知其错误. (3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应. (4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 2.(必修一P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) B [－3，1] 所以f(x)的定义域为[－3，1]. 考点一　函数的定义域 C D 解析　因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则－2≤x≤3， 所以－5≤2x－1≤5，所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5]. 方法总结 1.求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. D 得1＜x＜4， 即函数f(x)的定义域为(1，4). A 解析　函数f(x)的定义域为(1，＋∞)， 即2<x≤3， 故函数F(x)的定义域为(2，3].故选A. 考点二　函数的解析式 例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； 解　 (换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t， ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). 解　(待定系数法)∵f(x)是一次函数， 可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. 解　(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式. 方法总结 (2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________________. f(x)＝x2－x＋1 解析　由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为f(0)＝1，所以c＝1， 所以f(x)＝ax2＋bx＋1， 所以f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x， 所以f(x)＝x2－x＋1. 考点三　分段函数 C 解析　∵26>4，∴f(26)＝log5(26－1)＝2， 又2<4，∴f(f(26))＝f(2)＝e2－2＝1.故选C. D 解析　因为当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， 所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，f(x＋1)＝－f(x－2)， 即f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)， 方法总结 1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解. 2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. ln 2 解析　由f(f(a))＝4得f(a)＝0或f(a)＝－2， 则f(a)＝0无解， 所以a＝ln 2. 3 (－∞，－1)∪(0，＋∞) 所以f(－1)＝(－1)2＋1＝2， 所以f(f(－1))＝f(2)＝3. 当x≤0时，f(x)＝x2＋1>2， 则x2>1，解得x<－1； 当x>0时，f(x)＝3>2恒成立， 所以不等式f(x)>2的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞). 习题演练 D ∴函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). 2.(多选)下列各图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　 ) ACD 解析　选项B中图象，对于x≠0的一个x值，有两个y值与之对应，故不是函数图象； 选项A，C，D中图象，均满足函数的定义， 故是函数图象. 3.(2024·重庆调研)已知函数f(x＋2)＝x2－3x＋4，则f(1)＝(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 D 解析　法一　∵f(x＋2)＝(x2＋4x＋4)－7(x＋2)＋14＝(x＋2)2－7(x＋2)＋14， ∴f(x)＝x2－7x＋14，故f(1)＝1－7＋14＝8. 法二　由x＋2＝1，得x＝－1， 代入f(x＋2)＝x2－3x＋4， 得f(1)＝(－1)2－3×(－1)＋4＝8.故选D. BD 解析　函数y＝x＋2的定义域为R， 对于D，y＝t＋2，定义域为R，解析式相同，故D正确.故选BD. D 解析　令f(a)＝t，则f(t)＝2， 可得t＝0或t＝1， 当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0， 因此a＋2＝0⇒a＝－2， 当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0， 因此a＋2＝1⇒a＝－1， 综上所述，a＝－2或－1. 6.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A－B－C－M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　) A 画出函数f(x)的大致图象，故选A. B 解析　当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)⇔x2－1<(x＋1)2－1， 当0<x≤1时，x＋1>1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0， ∴0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)； 当x>1时，f(x)<f(x＋1)⇔log2x<log2(x＋1)恒成立， (－∞，0)∪(0，1] 解析　要使函数f(x)有意义，则x≠0且1－x≥0，解得x∈(－∞，0)∪(0，1]. 9.已知函数f(x)对任意的x都有f(x)－2f(－x)＝2x，则f(x)＝________. 解析　∵f(x)－2f(－x)＝2x，① ∴f(－x)－2f(x)＝－2x，② －1或7 可得当x>1时，f(x)＝log2(x＋1)>log22＝1， 当x≤1时，f(x)＝2x－1－2≤20－2＝－1. 当a>1且6－a>1，即1<a<5时， 则a＝7； 当a≤1且6－a>1，即a≤1时， 综上所述，a可以为－1或7. ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2. (2)画出这个函数的图象； 解　这个函数的图象如图. 在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分. 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象. (3)求f(x)的最大值. 解　由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 12.(1)已知f(x＋1)＝2x2－x＋3，求f(x). 解　令t＝x＋1，则x＝t－1， ∴f(t)＝2(t－1)2－(t－1)＋3＝2t2－4t＋2－t＋1＋3＝2t2－5t＋6. ∴f(x)＝2x2－5x＋6. (2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，求f(x). 解　∵f(x)为一次函数， ∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)， ∴f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋9， ∴f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9. B 即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1). (1)求出y关于x的函数解析式； (2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度. ∵x≥0， ∴0≤x≤70. 故行驶的最大速度是70 km/h. (1)f(x)＝eq \r(x－3)＋eq \r(2－x)是一个函数.(　　) (2)函数就是定义域到值域的对应关系.(　　) (3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.(　　) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.(　　) 解析　(1)错误.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3≥0，,2－x≥0))无解，可知其说法错误. A.y＝(eq \r(x))2 B.u＝eq \r(3,v3) C.y＝eq \r(x2) D.m＝eq \f(n2,n) 解析　函数y＝(eq \r(x))2与函数m＝eq \f(n2,n)和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝eq \r(x2)＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数，故选B. 3.(必修一P67T1改编)函数f(x)＝eq \r(1－x)＋eq \r(x＋3)－1的定义域为___________. 解析　由解得－3≤x≤1， 4.(必修一P65例2改编)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x＋3)，－3≤x≤－2，,\f(1,x＋2)，－2<x≤4，))则f(f(－3))＝_____________. 解析　因为f(－3)＝＝0， 所以f(f(－3))＝f(0)＝. 例1 (1)(2023·烟台调考)函数y＝eq \f(\r(4－x2),ln（x＋1）)的定义域为(　　) A.[－2，2] B.(－1，2] C.(－1，0)∪(0，2] D.(－1，1)∪(1，2] 解析　由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,x＋1＞0，,ln（x＋1）≠0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤2，,x＞－1，,x≠0，)) 因此，函数y＝eq \f(\r(4－x2),ln（x＋1）)的定义域为(－1，0)∪(0，2].故选C. (2)(2024·江苏三校联考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝eq \f(f（x）,\r(x＋2))的定义域是(　　) A.[－2，5] B.(－2，3] C.[－1，3] D.(－2，5] 要使y＝eq \f(f（x）,\r(x＋2))有意义，则需要eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－5≤x≤5，,x＋2>0，))解得－2<x≤5， 所以y＝eq \f(f（x）,\r(x＋2))的定义域是(－2，5].故选D. 训练1 (1)函数f(x)＝ln(－x2＋3x＋4)＋eq \f(1,\r(x2－1))的定义域是(　　) A.[1，4] B.(－∞，4) C.(－1，4) D.(1，4) 解析　要使函数f(x)有意义，则需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋3x＋4＞0，,x2－1＞0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－3x－4＜0，,x＞1或x＜－1，)) (2)(2024·南昌质检)已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，则函数F(x)＝f(2x－3)＋eq \r(3－x)的定义域为(　　) A.(2，3] B.(－2，3] C.[－2，3] D.(0，3] 由题意可知，解得 (2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，求f(x)的解析式； 解　(配凑法)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) eq \s\up12(2)－2， ∴解得 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 所以f(x)＝lg (x＞1). 训练2 (1)(2024·大连质检)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lg x,则f(x)的解析式为_______________. f(x)＝lg (x＞1) 解析　令＋1＝t(t＞1)，则x＝， 所以f(t)＝lg (t＞1)， 从而有解得 ①＋②×2得－3f(x)＝2x＋， ∴f(x)＝－－(x≠0). －－(x≠0) (3)已知f(x)满足f(x)－2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2x，则f(x)＝_____________________. 解析　∵f(x)－2f＝2x，① 以eq \f(1,x)代替①中的x，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))－2f(x)＝eq \f(2,x)，② 角度1　分段函数求值 例3 (2024·合肥模拟)已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－2，x<4，,log5（x－1），x≥4，))则f(f(26))等于(　　) A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,e) C.1 D.2 角度2　分段函数与方程、不等式 例4 (1)(2024·广州联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a·2x，x≤0，,f（x－1）－f（x－2），x>0，))若f(2 024)＝1，则实数a的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 所以f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝－f(－1)＝eq \f(a,2)－1＝1，则a＝4.故选D. 当x≤0时，x＋1＋＋1＝2x＋>1， ∴x>－eq \f(1,4)，即－eq \f(1,4)<x≤0.综上，x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)). (2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))则满足f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))>1的x的取值范围是 ____________________. 解析　由题意得，当x>eq \f(1,2)时，2x＋2x－eq \f(1,2)>1恒成立，即x>eq \f(1,2)满足题意； 当0<x≤eq \f(1,2)时，2x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋1>1恒成立，即0<x≤eq \f(1,2)满足题意； 训练3 (1)(2024·泰州调研)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－ex，x>0，,x2＋2x＋4，x≤0，))若f(f(a))＝4，则a＝________. (2)(2023·浙江三校联考)若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,3，x>0，))则f(f(－1))＝________，不等式f(x)>2的解集是_____________________. 解析　因为f(x)＝ 1.函数f(x)＝lg(x－2)＋eq \f(1,x－3)的定义域是(　　) A.(2，＋∞) B.(2，3) C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞) 解析　∵f(x)＝lg(x－2)＋， ∴解得x>2，且x≠3， 对于C，y＝eq \f(x2,x)＋2的定义域为{x|x≠0}，故C错误； 4.(多选)(2024·宁德调考)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是(　　) A.y＝(eq \r(x＋2))2 B.y＝eq \r(3,x3)＋2 C.y＝eq \f(x2,x)＋2 D.y＝t＋2 对于A，y＝(eq \r(x＋2))2的定义域为[－2，＋∞)，故A错误； 对于B，y＝eq \r(3,x3)＋2＝x＋2，定义域为R，解析式相同，故B正确； 5.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,x＋\f(1,x)，x>0，))若f(f(a))＝2，则a等于(　　) A.0或1 B.－1或1 C.0或－2 D.－2或－1 解析　由题意可得y＝f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，0≤x＜1，,\f(3,4)－\f(x,4)，1≤x＜2，,\f(5,4)－\f(1,2)x，2≤x≤\f(5,2).)) 综上可知，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)). 7.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>1，,x2－1，x≤1，))则f(x)<f(x＋1)的解集为(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) 解得－<x≤0； 8.函数f(x)＝eq \f(1,x)＋eq \r(1－x)的定义域是________________. x 由①＋②×2得f(x)＝x. 10.(2024·武汉调研)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,log2（x＋1），x>1，))试举出一个a的值，使得f(a)＋f(6－a)＝eq \f(5,4)成立，则a可以为_________ (写出一个即可). 解析　因为函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,log2（x＋1），x>1，)) f(a)＋f(6－a)>1＋1与f(a)＋f(6－a)＝eq \f(5,4)矛盾，不符合题意； 当a>1且6－a≤1，即a≥5时，f(a)＋f(6－a)＝log2(a＋1)＋25－a－2＝eq \f(5,4)， 则f(a)＋f(6－a)＝log2(7－a)＋2a－1－2＝eq \f(5,4)，则a＝－1. 11.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5，x≤0，,x＋5，0＜x≤1，,－2x＋8，x＞1.)) (1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))，f(－1)的值； 解　∵＞1，∴f＝－2×＋8＝5. ∵0＜＜1，∴f＝＋5＝. ∴ ∴或 (3)已知函数f(x)满足2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，求f(x). 解　∵2f(x)＋f＝x，① ∴2f＋f(x)＝.② 由①×2－②，得f(x)＝x－(x≠0). 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<x－1<1，,2x－1≥0，))解得eq \f(1,2)≤x<2，所以函数g(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)≤x<2)). 13.(2024·南阳质检)已知函数f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)，则函数g(x)＝f(x－1)＋eq \r(2x－1)的定义域是(　　) A.{x|x>2，或x<0} B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)≤x<2)) C.{x|x>2} D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(1,2))) 解析　要使f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)有意义，则eq \f(1－x,1＋x)>0， 要使g(x)＝f(x－1)＋有意义， 14.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝eq \f(x2,200)＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图. 解　由题意及函数图象，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(402,200)＋40m＋n＝8.4，,\f(602,200)＋60m＋n＝18.6，)) 解得m＝eq \f(1,100)，n＝0，∴y＝eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)(x≥0). 解　令eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)≤25.2，得－72≤x≤70. $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——函数之函数的概念及其表示 【知识梳理】 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2.同一个函数 (1)前提条件：①定义域 ；②对应关系 . (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的 . [常用结论] 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.注意以下几种特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f(x)＝＋是一个函数.(　　) (2)函数就是定义域到值域的对应关系.(　　) (3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.(　　) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.(　　) 2.(必修一P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) A.y＝()2 B.u＝ C.y＝ D.m＝ 3.(必修一P67T1改编)函数f(x)＝＋－1的定义域为________. 4.(必修一P65例2改编)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝_____________. 考点一　函数的定义域 例1 (1)(2023·烟台调考)函数y＝的定义域为(　　) A.[－2，2] B.(－1，2] C.(－1，0)∪(0，2] D.(－1，1)∪(1，2] (2)(2024·江苏三校联考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝的定义域是(　　) A.[－2，5] B.(－2，3] C.[－1，3] D.(－2，5] 方法总结　1.求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 训练1 (1)函数f(x)＝ln(－x2＋3x＋4)＋的定义域是(　　) A.[1，4] B.(－∞，4) C.(－1，4) D.(1，4) (2)(2024·南昌质检)已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，则函数F(x)＝f(2x－3)＋的定义域为(　　) A.(2，3] B.(－2，3] C.[－2，3] D.(0，3] 考点二　函数的解析式 例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式. 方法总结　函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 训练2 (1)(2024·大连质检)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为______________. (2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________________. (3)已知f(x)满足f(x)－2f＝2x，则f(x)＝________________. 考点三　分段函数 角度1　分段函数求值 例3 (2024·合肥模拟)已知f(x)＝则f(f(26))等于(　　) A. B. C.1 D.2 角度2　分段函数与方程、不等式 例4 (1)(2024·广州联考)已知函数f(x)＝若f(2 024)＝1，则实数a的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 (2)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________. 方法总结　1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解. 2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 训练3 (1)(2024·泰州调研)设函数f(x)＝若f(f(a))＝4，则a＝________. (2)(2023·浙江三校联考)若函数f(x)＝则f(f(－1))＝________，不等式f(x)>2的解集是________. 习题演练 1.函数f(x)＝lg(x－2)＋的定义域是(　　) A.(2，＋∞) B.(2，3) C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞) 2.(多选)下列各图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　) 3.(2024·重庆调研)已知函数f(x＋2)＝x2－3x＋4，则f(1)＝(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 4.(多选)(2024·宁德调考)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是(　　) A.y＝()2 B.y＝＋2 C.y＝＋2 D.y＝t＋2 5.已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a等于(　　) A.0或1 B.－1或1 C.0或－2 D.－2或－1 6.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A－B－C－M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 7.已知函数f(x)＝则f(x)<f(x＋1)的解集为(　　) A. B. C. D. 8.函数f(x)＝＋的定义域是________. 9.已知函数f(x)对任意的x都有f(x)－2f(－x)＝2x，则f(x)＝________. 10.(2024·武汉调研)已知函数f(x)＝试举出一个a的值，使得f(a)＋f(6－a)＝成立，则a可以为______(写出一个即可). 11.已知函数f(x)＝ (1)求f，f，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f(x)的最大值. 12.(1)已知f(x＋1)＝2x2－x＋3，求f(x). (2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，求f(x). (3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝x，求f(x). 13.(2024·南阳质检)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是(　　) A.{x|x>2，或x<0} B. C.{x|x>2} D. 14.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图. (1)求出y关于x的函数解析式； (2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度. 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——函数之函数的概念及其表示 【知识梳理】 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2.同一个函数 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. [常用结论] 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.注意以下几种特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f(x)＝＋是一个函数.(　　) (2)函数就是定义域到值域的对应关系.(　　) (3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.(　　) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 解析　(1)错误.无解，可知其说法错误. (2)错误.根据函数的概念可知其错误. (3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应. (4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 2.(必修一P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) A.y＝()2 B.u＝ C.y＝ D.m＝ 答案　B 解析　函数y＝()2与函数m＝和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数，故选B. 3.(必修一P67T1改编)函数f(x)＝＋－1的定义域为________. 答案　[－3，1] 解析　由解得－3≤x≤1， 所以f(x)的定义域为[－3，1]. 4.(必修一P65例2改编)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝_____________. 答案　 解析　因为f(－3)＝＝0， 所以f(f(－3))＝f(0)＝. 考点一　函数的定义域 例1 (1)(2023·烟台调考)函数y＝的定义域为(　　) A.[－2，2] B.(－1，2] C.(－1，0)∪(0，2] D.(－1，1)∪(1，2] 答案　C 解析　由已知可得即 因此，函数y＝的定义域为(－1，0)∪(0，2].故选C. (2)(2024·江苏三校联考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝的定义域是(　　) A.[－2，5] B.(－2，3] C.[－1，3] D.(－2，5] 答案　D 解析　因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]， 则－2≤x≤3， 所以－5≤2x－1≤5， 所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5]. 要使y＝有意义，则需要 解得－2<x≤5， 所以y＝的定义域是(－2，5].故选D. 方法总结　1.求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 训练1 (1)函数f(x)＝ln(－x2＋3x＋4)＋的定义域是(　　) A.[1，4] B.(－∞，4) C.(－1，4) D.(1，4) 答案　D 解析　要使函数f(x)有意义，则需得 得1＜x＜4， 即函数f(x)的定义域为(1，4). (2)(2024·南昌质检)已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，则函数F(x)＝f(2x－3)＋的定义域为(　　) A.(2，3] B.(－2，3] C.[－2，3] D.(0，3] 答案　A 解析　函数f(x)的定义域为(1，＋∞)， 由题意可知，解得即2<x≤3， 故函数F(x)的定义域为(2，3].故选A. 考点二　函数的解析式 例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式. 解　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t， ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)(配凑法)∵f＝x2＋＝－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数， 可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 方法总结　函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 训练2 (1)(2024·大连质检)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为______________. 答案　f(x)＝lg (x＞1) 解析　令＋1＝t(t＞1)，则x＝， 所以f(t)＝lg (t＞1)， 所以f(x)＝lg (x＞1). (2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________________. 答案　f(x)＝x2－x＋1 解析　由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为f(0)＝1，所以c＝1， 所以f(x)＝ax2＋bx＋1， 所以f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x， 从而有解得 所以f(x)＝x2－x＋1. (3)已知f(x)满足f(x)－2f＝2x，则f(x)＝________________. 答案　－－(x≠0) 解析　∵f(x)－2f＝2x，① 以代替①中的x，得f－2f(x)＝，② ①＋②×2得－3f(x)＝2x＋， ∴f(x)＝－－(x≠0). 考点三　分段函数 角度1　分段函数求值 例3 (2024·合肥模拟)已知f(x)＝则f(f(26))等于(　　) A. B. C.1 D.2 答案　C 解析　∵26>4，∴f(26)＝log5(26－1)＝2， 又2<4，∴f(f(26))＝f(2)＝e2－2＝1.故选C. 角度2　分段函数与方程、不等式 例4 (1)(2024·广州联考)已知函数f(x)＝若f(2 024)＝1，则实数a的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 答案　D 解析　因为当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， 所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，f(x＋1)＝－f(x－2)， 即f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)， 所以f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝－f(－1)＝－1＝1，则a＝4.故选D. (2)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________. 答案　 解析　由题意得，当x>时，2x＋2x－>1恒成立，即x>满足题意； 当0<x≤时，2x＋＋1>1恒成立， 即0<x≤满足题意； 当x≤0时，x＋1＋＋1＝2x＋>1， ∴x>－，即－<x≤0. 综上，x的取值范围是. 方法总结　1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解. 2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 训练3 (1)(2024·泰州调研)设函数f(x)＝若f(f(a))＝4，则a＝________. 答案　ln 2 解析　由f(f(a))＝4得f(a)＝0或f(a)＝－2， 则f(a)＝0无解，所以a＝ln 2. (2)(2023·浙江三校联考)若函数f(x)＝则f(f(－1))＝________，不等式f(x)>2的解集是________. 答案　3　(－∞，－1)∪(0，＋∞) 解析　因为f(x)＝ 所以f(－1)＝(－1)2＋1＝2， 所以f(f(－1))＝f(2)＝3. 当x≤0时，f(x)＝x2＋1>2， 则x2>1，解得x<－1； 当x>0时，f(x)＝3>2恒成立， 所以不等式f(x)>2的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞). 习题演练 1.函数f(x)＝lg(x－2)＋的定义域是(　　) A.(2，＋∞) B.(2，3) C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞) 答案　D 解析　∵f(x)＝lg(x－2)＋， ∴解得x>2，且x≠3， ∴函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). 2.(多选)下列各图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　) 答案　ACD 解析　选项B中图象，对于x≠0的一个x值，有两个y值与之对应，故不是函数图象； 选项A，C，D中图象，均满足函数的定义， 故是函数图象. 3.(2024·重庆调研)已知函数f(x＋2)＝x2－3x＋4，则f(1)＝(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 答案　D 解析　法一　∵f(x＋2)＝(x2＋4x＋4)－7(x＋2)＋14＝(x＋2)2－7(x＋2)＋14， ∴f(x)＝x2－7x＋14，故f(1)＝1－7＋14＝8. 法二　由x＋2＝1，得x＝－1， 代入f(x＋2)＝x2－3x＋4， 得f(1)＝(－1)2－3×(－1)＋4＝8.故选D. 4.(多选)(2024·宁德调考)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是(　　) A.y＝()2 B.y＝＋2 C.y＝＋2 D.y＝t＋2 答案　BD 解析　函数y＝x＋2的定义域为R， 对于A，y＝()2的定义域为[－2，＋∞)，故A错误； 对于B，y＝＋2＝x＋2，定义域为R，解析式相同，故B正确； 对于C，y＝＋2的定义域为{x|x≠0}，故C错误； 对于D，y＝t＋2，定义域为R，解析式相同，故D正确.故选BD. 5.已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a等于(　　) A.0或1 B.－1或1 C.0或－2 D.－2或－1 答案　D 解析　令f(a)＝t，则f(t)＝2， 可得t＝0或t＝1， 当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0， 因此a＋2＝0⇒a＝－2， 当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0， 因此a＋2＝1⇒a＝－1， 综上所述，a＝－2或－1. 6.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A－B－C－M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 答案　A 解析　由题意可得y＝f(x)＝ 画出函数f(x)的大致图象，故选A. 7.已知函数f(x)＝则f(x)<f(x＋1)的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)⇔x2－1<(x＋1)2－1， 解得－<x≤0； 当0<x≤1时，x＋1>1， 此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0， ∴0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)； 当x>1时，f(x)<f(x＋1)⇔log2x<log2(x＋1)恒成立， 综上可知，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为. 8.函数f(x)＝＋的定义域是________. 答案　(－∞，0)∪(0，1] 解析　要使函数f(x)有意义，则x≠0且1－x≥0，解得x∈(－∞，0)∪(0，1]. 9.已知函数f(x)对任意的x都有f(x)－2f(－x)＝2x，则f(x)＝________. 答案　x 解析　∵f(x)－2f(－x)＝2x，① ∴f(－x)－2f(x)＝－2x，② 由①＋②×2得f(x)＝x. 10.(2024·武汉调研)已知函数f(x)＝试举出一个a的值，使得f(a)＋f(6－a)＝成立，则a可以为______(写出一个即可). 答案　－1或7(写出一个即可) 解析　因为函数f(x)＝ 可得当x>1时，f(x)＝log2(x＋1)>log22＝1， 当x≤1时，f(x)＝2x－1－2≤20－2＝－1. 当a>1且6－a>1，即1<a<5时， f(a)＋f(6－a)>1＋1与f(a)＋f(6－a)＝矛盾，不符合题意； 当a>1且6－a≤1，即a≥5时，f(a)＋f(6－a)＝log2(a＋1)＋25－a－2＝， 则a＝7； 当a≤1且6－a>1，即a≤1时， 则f(a)＋f(6－a)＝log2(7－a)＋2a－1－2＝，则a＝－1. 综上所述，a可以为－1或7. 11.已知函数f(x)＝ (1)求f，f，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f(x)的最大值. 解　(1)∵＞1，∴f＝－2×＋8＝5. ∵0＜＜1，∴f＝＋5＝. ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2. (2)这个函数的图象如图. 在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分. 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象. (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 12.(1)已知f(x＋1)＝2x2－x＋3，求f(x). (2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，求f(x). (3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝x，求f(x). 解　(1)令t＝x＋1，则x＝t－1， ∴f(t)＝2(t－1)2－(t－1)＋3＝2t2－4t＋2－t＋1＋3＝2t2－5t＋6. ∴f(x)＝2x2－5x＋6. (2)∵f(x)为一次函数， ∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)， ∴f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋9， ∴ ∴或 ∴f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9. (3)∵2f(x)＋f＝x，① ∴2f＋f(x)＝.② 由①×2－②，得f(x)＝x－(x≠0). 13.(2024·南阳质检)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是(　　) A.{x|x>2，或x<0} B. C.{x|x>2} D. 答案　B 解析　要使f(x)＝lg 有意义，则>0， 即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1， 所以函数f(x)的定义域为(－1，1). 要使g(x)＝f(x－1)＋有意义， 则解得≤x<2， 所以函数g(x)的定义域为. 14.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图. (1)求出y关于x的函数解析式； (2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度. 解　(1)由题意及函数图象，得 解得m＝，n＝0，∴y＝＋(x≥0). (2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70. ∵x≥0，∴0≤x≤70. 故行驶的最大速度是70 km/h. 学科网（北京）股份有限公司 $$