函数之函数的对称性及应用讲义、课件-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——函数之函数的对称性及应用 【知识梳理】 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于 对称，偶函数关于 对称. (2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 ；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为 . 2.若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 对称. 3.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于 对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于 对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于 对称. [常用结论] 　对称性的四个常用结论 (1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于x＝a对称； (2)y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称； (3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　) (2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称.(　　) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称.(　　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.(　　) 2.函数f(x)＝图象的对称中心为(　　) A.(0，0) B.(0，1) C.(1，0) D.(1，1) 3.(必修一P87T13改编)已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝______. 4.若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________. 考点一　函数的对称性 例1 (2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝(＋a)ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由. 方法总结　1.函数y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)，或f(2a＋x)＝ f(－x). 2.函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(2a－x)＋f(x)＝2b或f(a－x)＋f(a＋x)＝2b. 3.函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称. 训练1 (1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称 (2)(多选)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题，其中正确的是(　　) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的图象关于直线x＝对称 D.f(x)的图象关于点(π，0)对称 考点二　对称性与周期性 例2 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3－3x，则f(2 023)＝(　　) A.1 B.－2 C.－1 D.2 (2)(2024·泉州质测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当1≤x<2时，f(x)＝x－2.若y＝x－与f(x)的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n∈N*)，则 (xi＋yi)＝(　　) A.6 B.8 C.10 D.14 方法总结　1.若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，x＝b，则其周期为T＝2|b－a|. 2.若函数y＝f(x)的对称中心为(a，0)，(b，0)，则其周期为T＝2|b－a|. 3.若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，对称中心为(b，0)，则其周期为T＝4|b－a|. 训练2 (1)(多选)(2024·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象关于直线x＝2对称 B.f(x)的图象关于点(2，0)对称 C.f(x)的周期为4 D.y＝f(x＋4)为偶函数 (2)(2024·洛阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f为偶函数且f(1)＝2，则f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝(　　) A.－2 B.0 C.2 D.4 考点三　对称性、周期性与单调性 例3 (多选)(2024·杭州调考)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增， f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于(2，0)对称，则(　　) A.f(0)＝f(－2) B.f(x)的周期T＝2 C.f(x)在(2，3)上单调递减 D.f(x)满足f(2 021)>f(2 022)>f(2 023) 方法总结　解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式. 训练3 (2024·成都诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是(　　) A.f(log27)<f(－5)<f(6) B.f(log27)<f(6)<f(－5) C.f(－5)<f(log27)<f(6) D.f(－5)<f(6)<f(log27) 抽象函数 1.我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法有：函数性质法和特殊值法. 2.常见的抽象函数模型： (1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝kx的抽象表达式； (2)f(x＋y)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝ax的抽象表达式(a>0，且a≠1)； (3)f(xy)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝logax的抽象表达式(a>0，且a≠1)； (4)f(xy)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝xa的抽象表达式. 一、抽象函数求值 例1 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－2)等于________. (2)f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝(　　) A.2 024 B.2 022 C.1 012 D.1 011 二、抽象函数的性质 例2 (1)(多选)(2024·常德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且f(2)＝3，则(　　) A.f(1)＝1 B.函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增 C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1 (2)(2024·绍兴质检)已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，如果x满足f(x)－f≤2，则x的取值范围为________. 训练 (1)(多选)(2024·佛山模拟)已知定义在R上且不恒为0的函数f(x)，对任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，则(　　) A.f(8)＝12f(2) B.函数f(x)是奇函数 C.对∀n∈N*，有f(xn)＝nf(x) D.若f(2)＝2，则f(2k)＝(n＋1)2n－2 (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(4)＝________. 习题演练 1.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　) A.(－1，2) B.(1，2) C.(－1，－2) D.(－2，1) 2.已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　) A.1 B.2 C.0 D.－2 3.(2024·常州质检)函数f(x)的定义域为R，且f(1＋x)＝－f(1－x)，f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)是(　　) A.偶函数，又是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数 C.奇函数，又是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数 4.已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　) A.(－∞，e)∪(e3，＋∞) B.(1，e2) C.(e，e3) D.(e，＋∞) 5.(多选)(2024·济宁统考)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，且f(x＋1)为偶函数，则(　　) A.f(2)＝0 B.f(x)为偶函数 C.f(x)为周期函数 D.f(x＋4)为偶函数 6.(2024·泉州调研)已知函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)且f(1－x)＋f(x－1)＝0，则f(2 025)＝(　　) A.－3 B.0 C.3 D.6 7.(2024·广州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数.若f(0)＝2，则f(k)＝(　　) A.116 B.115 C.114 D.113 8.与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________. 9.写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________. ①f(x)是定义域为R的奇函数； ②f(1＋x)＝f(1－x)； ③f(1)＝2. 10.已知函数f(x)对∀x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)>0.若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，f(0)＝1，则f(2 025)＝________. 11.函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. (1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论. 12.已知定义域为I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)满足对任意x1，x2∈I都有f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)设g(x)＝，且当x>1时，g(x)<0，求不等式g(x－2)>g(x)的解集. 13.(2023·唐山模拟)已知函数f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，且f(2x＋1)的一个周期为2，则(　　) A.1为f(x)的周期 B.f(x)的图象关于点对称 C.f(2 023)＝0 D.f(x)的图象关于直线x＝2对称 14.已知函数f(x)＝是奇函数. (1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>； (2)求函数g(x)＝图象的对称中心. 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——函数之函数的对称性及应用 【知识梳理】 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称. (2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为(－2，0). 2.若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称. 3.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称. [常用结论] 　对称性的四个常用结论 (1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于x＝a对称； (2)y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称； (3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　) (2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称.(　　) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称.(　　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 解析　(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1，0)对称. (3)由函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0可得f(x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝ －f(x)，所以f(－x)≠f(x)，故f(x)的图象不关于y轴对称. 2.函数f(x)＝图象的对称中心为(　　) A.(0，0) B.(0，1) C.(1，0) D.(1，1) 答案　B 解析　因为f(x)＝＝1＋， 由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋， 又y＝关于(0，0)对称， 所以f(x)＝1＋的图象关于(0，1)对称. 3.(必修一P87T13改编)已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝______. 答案　4 解析　法一　由y＝f(x＋2)－3是奇函数， ∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3， 令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4. 法二　由y＝f(x＋2)－3是奇函数， 得f(x)关于(2，3)对称， 故f(0)＋f(4)＝6， 即f(0)＝4. 4.若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________. 答案　5 解析　∵f(x)为偶函数， ∴f(－1)＝f(1)， 由f(x)的图象关于x＝2对称， 可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5， 所以f(－1)＝5. 考点一　函数的对称性 例1 (2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝(＋a)ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由. 解　假设存在a，b, 使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称. 令g(x)＝f()＝(x＋a)ln(1＋)＝(x＋a)ln ， 因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称， 所以g(x)＝g(2b－x)， 即(x＋a)ln ＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)ln ， 于是得 当a＝，b＝－时，g(x)＝(x＋)ln(1＋)， g(－1－x)＝(－x－)ln ＝(－x－)ln ＝(x＋)ln ＝(x＋)ln(1＋)＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意. 故存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－. 方法总结　1.函数y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)，或f(2a＋x)＝ f(－x). 2.函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(2a－x)＋f(x)＝2b或f(a－x)＋f(a＋x)＝2b. 3.函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称. 训练1 (1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称 答案　A 解析　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称. (2)(多选)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题，其中正确的是(　　) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的图象关于直线x＝对称 D.f(x)的图象关于点(π，0)对称 答案　BCD 解析　∵f(x)＝sin x＋的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}， f(－x)＝sin(－x)＋＝－sin x－＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确； ∵f＝cos x＋，f＝cos x＋， ∴f＝f， ∴f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确； 又f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋ ＝sin x＋，f(－x)＝－sin x－， ∴f(x＋2π)＝－f(－x)， ∴f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确. 考点二　对称性与周期性 例2 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3－3x，则f(2 023)＝(　　) A.1 B.－2 C.－1 D.2 答案　D 解析　法一　因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)， 所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)， 则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数. 则f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2. 法二　由f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，可知f(x)为奇函数， 由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 则f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2. (2)(2024·泉州质测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当1≤x<2时，f(x)＝x－2.若y＝x－与f(x)的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n∈N*)，则 (xi＋yi)＝(　　) A.6 B.8 C.10 D.14 答案　D 解析　因为f(x)为奇函数， 所以f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)， 所以直线x＝1是f(x)图象的一条对称轴. 又由f(x＋2)＝－f(x)，得到 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数. 作出f(x)的图象，如图所示. 由图象可知，点(2，0)是f(x)图象的一个对称中心，直线y＝x－也关于点(2，0)对称， 且当x≥8时，y＝x－≥1， 当x≤－4时，y＝x－≤－1， 所以直线y＝x－与y＝f(x)的图象有7个公共点， 则由对称性可得，x1＋x2＋…＋x7＝2＋4×3＝14，y1＋y2＋y3＋…＋y7＝0， 因此 (xi＋yi)＝14，故选D. 方法总结　1.若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，x＝b，则其周期为T＝2|b－a|. 2.若函数y＝f(x)的对称中心为(a，0)，(b，0)，则其周期为T＝2|b－a|. 3.若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，对称中心为(b，0)，则其周期为T＝4|b－a|. 训练2 (1)(多选)(2024·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象关于直线x＝2对称 B.f(x)的图象关于点(2，0)对称 C.f(x)的周期为4 D.y＝f(x＋4)为偶函数 答案　ACD 解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误； ∵f(x)的图象关于直线x＝2对称， 则f(－x)＝f(x＋4)， 又f(－x)＝f(x)， ∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确； ∵T＝4且f(x)为偶函数， 故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确. (2)(2024·洛阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f为偶函数且f(1)＝2，则f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝(　　) A.－2 B.0 C.2 D.4 答案　D 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0. 又f为偶函数， 则f＝f， 则f(x＋3)＝f(－x)， 故f(x＋3)＝－f(x)， 则有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)， 所以f(x)是以6为周期的周期函数. 对于f＝f， 令x＝－，得f(2)＝f(1)＝2， f(2 022)＝f(6×337)＝f(0)＝0， f(2 023)＝f(6×337＋1)＝f(1)＝2， f(2 024)＝f(6×337＋2)＝f(2)＝2， 所以f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝4. 考点三　对称性、周期性与单调性 例3 (多选)(2024·杭州调考)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增， f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于(2，0)对称，则(　　) A.f(0)＝f(－2) B.f(x)的周期T＝2 C.f(x)在(2，3)上单调递减 D.f(x)满足f(2 021)>f(2 022)>f(2 023) 答案　AC 解析　由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)图象的对称轴方程为x＝1， 所以f(0)＝f(2)， 又由f(1＋x)＝f(1－x)， 可知f(2＋x)＝f(－x). 因为函数f(x)的图象关于(2，0)对称， 即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)， 所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)， 所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4， 所以f(－2)＝f(2)，所以f(0)＝f(－2)，故A正确，B错误. 因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f(x)在(3，4]上单调递增， 又f(x)的图象关于(2，0)对称， 所以f(x)在[0，1)上单调递增， 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(x)在(1，2]上单调递减， 则函数f(x)在(2，3)上单调递减，故C正确. 根据f(x)的周期为4，可得f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(2)，f(2 023)＝f(3)， 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(2)＝f(0)且f(3)＝f(－1)， 即f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(0)，f(2 023)＝f(－1)， 由C选项的分析可知，函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1， 若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)不成立，故D错误. 方法总结　解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式. 训练3 (2024·成都诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是(　　) A.f(log27)<f(－5)<f(6) B.f(log27)<f(6)<f(－5) C.f(－5)<f(log27)<f(6) D.f(－5)<f(6)<f(log27) 答案　C 解析　由f(x＋2)＋f(x)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝f(x)，f(x)的周期T＝4. 又f(－x)＝－f(x)，f(2)＝－f(0)＝0， 所以f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(6)＝f(2)＝0. 又2<log27<3，则0<log27－2<1， 则0<log2<1， 因为当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)∈[0，1]， 所以f(log27)＝－f(log27－2)＝－f＝－log2＝－log2. 又1<log2<2， 所以0<log2<1， 所以－1<－log2<0， 所以f(－5)<f(log27)<f(6). 抽象函数 1.我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法有：函数性质法和特殊值法. 2.常见的抽象函数模型： (1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝kx的抽象表达式； (2)f(x＋y)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝ax的抽象表达式(a>0，且a≠1)； (3)f(xy)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝logax的抽象表达式(a>0，且a≠1)； (4)f(xy)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝xa的抽象表达式. 一、抽象函数求值 例1 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－2)等于________. 答案　2 解析　∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2， ∴令x＝y＝1， 得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2＝6， 再令x＝2，y＝－1， 得f(2－1)＝f(2)＋f(－1)－4＝2， ∴f(－1)＝0， ∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＋2＝2. (2)f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝(　　) A.2 024 B.2 022 C.1 012 D.1 011 答案　A 解析　由f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2， 令b＝1可得f(a＋1)＝f(a)·f(1)＝2f(a)， 所以＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋＝2×1 012＝2 024. 二、抽象函数的性质 例2 (1)(多选)(2024·常德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且f(2)＝3，则(　　) A.f(1)＝1 B.函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增 C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1 答案　ABD 解析　A中，因为f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)， 当x>0时，f(x)>0，f(2)＝3， 令x＝y＝1，则f(2)＝[f(1)]2＋2f(1)＝3， 解得f(1)＝1，A正确； B中，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x2>x1， 则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)， 因为当x>0时，f(x)>0， 所以f(x2－x1)>0，f(x1)>0， 所以f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，B正确； C中，令x＝y＝0，则f(0)＝[f(0)]2＋2f(0)， 解得f(0)＝0或f(0)＝－1， 当f(0)＝0，且x>0时，令y＝－x， 则0＝f(x)f(－x)＋f(x)＋f(－x)， 若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 即0＝－f2(x)＋f(x)－f(x)， 解得f(x)＝0，与题意矛盾； 当f(0)＝－1时，f(x)不为奇函数. 综上所述，函数f(x)不是奇函数，C错误； D中，当f(x)＝2x－1，则f(x＋y)＝2x＋y－1， f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)＝(2x－1)(2y－1)＋(2x－1)＋(2y－1)＝2x＋y－2x－2y＋1＋2x－1＋2y－1＝2x＋y－1， 所以f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)， 易得f(x)＝2x－1在R上单调递增， 所以x>0时，f(x)＝2x－1>20－1＝0，f(2)＝22－1＝3， 故函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1，D正确. (2)(2024·绍兴质检)已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，如果x满足f(x)－f≤2，则x的取值范围为________. 答案　(3，4] 解析　∵f＝f(x)－f(y)， ∴f(y)＋f＝f(x). 在上述等式中取x＝4，y＝2， 则有f(2)＋f(2)＝f(4). 又∵f(2)＝1，∴f(4)＝2， ∴f(x)－f≤2 可变形为f(x(x－3))≤f(4). 又∵f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数， ∴解得3＜x≤4. 故x的取值范围是(3，4]. 训练 (1)(多选)(2024·佛山模拟)已知定义在R上且不恒为0的函数f(x)，对任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，则(　　) A.f(8)＝12f(2) B.函数f(x)是奇函数 C.对∀n∈N*，有f(xn)＝nf(x) D.若f(2)＝2，则f(2k)＝(n＋1)2n－2 答案　AB 解析　对于A，令x＝2，y＝2， 则有f(2×2)＝f(4)＝2f(2)＋2f(2)＝4f(2)， f(8)＝f(2×4)＝2f(4)＋4f(2)＝12f(2)，正确； 对于B，因为f(x)的定义域为R， 因为对于∀x∈R，f(xy)＝xf(y)＋yf(x)， 当x≠0时，令y＝x， 则有f(xy)＝f(x2)＝2xf(x)， ∴f(x)＝，f(－x)＝－＝－f(x)， 令x＝0时，f(0×y)＝f(0×0)＝0， 所以f(x)是奇函数，正确； 对于C，由B知，当n＝2时，f(x2)＝2xf(x)，错误； 对于D，f(2n)＝f(2n－1×2)＝2n－1f(2)＋2f(2n－1) ， 令an＝f(2n)(n∈N*)， 则有an＝2an－1＋2n， ∴2－nan＝2－(n－1)an－1＋1， 令bn＝2－nan，则bn＝bn－1＋1，b1＝2－1×2＝1， {bn}是首项为1，公差为1的等差数列， ∴bn＝b1＋(n－1)＝n，即an＝n2n(n∈N*)， 令Sn＝f(2k)＝ak＝a1＋a2＋…＋an ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n2n，① 则2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1，② ①－②得：－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2， 故Sn＝(n－1)2n＋1＋2，错误.故选AB. (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(4)＝________. 答案　7 解析　令x＝y＝1， 则f(2)＝f(1)＋f(1)＋1＝3. 令x＝y＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝7. 习题演练 1.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　) A.(－1，2) B.(1，2) C.(－1，－2) D.(－2，1) 答案　A 解析　函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称， 又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)， 则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2). 2.已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　) A.1 B.2 C.0 D.－2 答案　B 解析　函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，可得f(2＋x)＝f(2－x)， 即为2|2＋x－a|＝2|2－x－a|， 即有|2＋x－a|＝|2－x－a|(*)恒成立， 可得2＋x－a＝2－x－a或2＋x－a＋2－x－a＝0，解得x＝0或a＝2， 检验可得a＝2时(*)式恒成立. 3.(2024·常州质检)函数f(x)的定义域为R，且f(1＋x)＝－f(1－x)，f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)是(　　) A.偶函数，又是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数 C.奇函数，又是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数 答案　A 解析　法一　因为f(1＋x)＝－f(1－x)， 所以f(x)的图象关于(1，0)中心对称； 因为f(2＋x)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 则f(x＋2)＝f(x－2). 又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于y轴对称，f(x)是偶函数. 法二　因为f(1＋x)＝－f(1－x)， 所以f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x). 因为f(2＋x)＝f(2－x)， 所以f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 则f(x＋2)＝f(x－2). 因为f(2＋x)＝f(2－x)， 所以f(x－2)＝f(2－x)， 所以f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数. 4.已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　) A.(－∞，e)∪(e3，＋∞) B.(1，e2) C.(e，e3) D.(e，＋∞) 答案　C 解析　因为函数f(x＋2)是R上的偶函数， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)， 当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3. 5.(多选)(2024·济宁统考)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，且f(x＋1)为偶函数，则(　　) A.f(2)＝0 B.f(x)为偶函数 C.f(x)为周期函数 D.f(x＋4)为偶函数 答案　AC 解析　因为f(x＋1)为偶函数， 所以f(x＋1)＝f(－x＋1)， 又f(x＋3)＋f(x＋1)＝0， 所以f(x＋3)＋f(－x＋1)＝0， 令x＝－1，得f(2)＋f(2)＝0， 所以f(2)＝0，故A正确； 因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝0， 所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)的周期是4， 又f(x＋3)＋f(－x＋1)＝0， 所以f(x＋4)＝－f(－x)＝f(x)， 所以f(x)为奇函数，故B错误，C正确； 因为f(x)为奇函数，且f(x)的周期是4， 所以(4，0)是f(x)的图象的对称中心， f(x＋4)＝－f(－x＋4)，f(x＋4)为奇函数，故D错误. 6.(2024·泉州调研)已知函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)且f(1－x)＋f(x－1)＝0，则f(2 025)＝(　　) A.－3 B.0 C.3 D.6 答案　B 解析　因为函数y＝f(x)对任意实数x都有f(1－x)＋f(x－1)＝0， 即f(1－x)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数. 由题意知f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)， 令x＝－3，得f(3)＋f(－3)＝2f(3)， 即f(3)－f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0， 则f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)＝0， 即f(x＋6)＝－f(x)， 所以f(x＋12)＝－f(x＋6)＝－[－f(x)]＝f(x)， 即12为函数y＝f(x)的周期， 所以f(2 025)＝f(12×168＋9)＝－f(3)＝0. 7.(2024·广州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数.若f(0)＝2，则f(k)＝(　　) A.116 B.115 C.114 D.113 答案　C 解析　由f(x＋1)＋f(x－1)＝2， 得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)， 所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为4. 又f(x＋2)为偶函数， 所以f(－x＋2)＝f(x＋2)， 所以f(x)＝f(4－x)＝f(－x)， 所以函数f(x)也为偶函数. 又f(x＋1)＋f(x－1)＝2， 所以f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4. 又f(0)＋f(2)＝2，f(0)＝2，所以f(2)＝0， 所以f(k)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×28＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4×28＋2＋0＝114. 8.与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________. 答案　y＝e2－x 解析　设函数f(x)＝ex的图象上的任意一点(x0，y0)关于直线x＝1对称的点的坐标为(x，y)， 所以即 因为点(x0，y0)在函数f(x)＝ex图象上， 所以y0＝ex0，即y＝e2－x. 9.写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________. ①f(x)是定义域为R的奇函数； ②f(1＋x)＝f(1－x)； ③f(1)＝2. 答案　2sin x(答案不唯一) 解析　由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin x. 10.已知函数f(x)对∀x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)>0.若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，f(0)＝1，则f(2 025)＝________. 答案　2 解析　因为y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称， 所以y＝f(x)的图象关于x＝0对称， 即y＝f(x)是偶函数. 对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)， 令x＝－1，可得f(1)·f(－1)＝2f(1)， 又f(x)>0， 所以f(－1)＝2， 则f(1)＝f(－1)＝2， 所以函数f(x)对∀x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝4， 所以f(x＋4)·f(x＋2)＝4， 所以f(x＋4)＝f(x)， 即f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝2. 11.函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. (1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论. 解　(1)设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b， 则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)， 故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b， 即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b， 即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b. 整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0， 故解得 所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2). (2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数. 12.已知定义域为I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)满足对任意x1，x2∈I都有f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)设g(x)＝，且当x>1时，g(x)<0，求不等式g(x－2)>g(x)的解集. (1)证明　令x1＝x2＝1，得f(1)＝0， 令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝－f(1)＝0， 令x1＝x，x2＝－1， 得f(－x)＝xf(－1)－f(x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数. (2)解　∵f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)， ∴＝＋， ∴g(x1x2)＝g(x1)＋g(x2)， 设x1>x2>0，则>1，所以g<0. ∵g(x1)＝g＝g(x2)＋g<g(x2)， ∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数. ∵g(－x)＝＝＝g(x)， ∴g(x)是偶函数， ∴g(|x－2|)>g(|x|)，∴ 解得x>1且x≠2， ∴不等式g(x－2)>g(x)的解集为{x|1<x<2或x>2}. 13.(2023·唐山模拟)已知函数f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，且f(2x＋1)的一个周期为2，则(　　) A.1为f(x)的周期 B.f(x)的图象关于点对称 C.f(2 023)＝0 D.f(x)的图象关于直线x＝2对称 答案　C 解析　对于A，因为f(2x＋1)的一个周期为2， 所以f[2(x＋2)＋1]＝f(2x＋1)， 即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1)， 设t＝2x＋1，则f(t＋4)＝f(t)， 所以f(x)的一个周期为4，故A错误. 对于B，因为f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)， 设m＝2x，则f(－m＋1)＝－f(m＋1)， 所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B错误. 对于C，因为f(x)的一个周期为4， 所以f(2 023)＝f(4×506－1)＝f(－1)＝－f(1)， 又f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)， 令x＝0，得f(1)＝0， 所以f(2 023)＝0，故C正确. 对于D，f(x)的定义域为R， 因为f(－1)＝0，f(x)的一个周期为4， 所以f(4k＋3)＝0(k∈Z)， f(x)的图象关于点(1，0)对称，作出一个符合上述条件的图象，如图所示，此时f(x)的图象不关于直线x＝2对称，故D错误. 14.已知函数f(x)＝是奇函数. (1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>； (2)求函数g(x)＝图象的对称中心. 解　(1)对任意的x∈R，2x＋2－x>0， 故函数f(x)的定义域为R， 又因为函数f(x)＝为奇函数， 则f(0)＝＝0，解得a＝1， 所以f(x)＝， 下面验证函数f(x)＝为奇函数， f(－x)＝＝－f(x)， 故函数f(x)＝为奇函数， 由f(x)＝＝＝>，得2·4x>4，即22x＋1>22， 所以2x＋1>2，解得x>， 因此不等式f(x)>的解集为. (2)g(x)＝＝， 则g(－x)＝， 所以g(x)＋g(－x)＝＝2， 因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0，1). 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——函数之函数的对称性及应用 知识梳理 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于______对称，偶函数关于______对称. (2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为__________；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为______________. 原点 y轴 x＝－2 (－2，0) 3 2.若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点________对称. (a，0) 4 3.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于______对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于______对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于______对称. y轴 x轴 原点 5 常用结论 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　) (2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称.(　　) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称.(　　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.(　　) √ 解析　(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1，0)对称. (3)由函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0可得f(x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x)≠f(x)，故f(x)的图象不关于y轴对称. × × √ B 3.(必修一P87T13改编)已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝______. 4 解析　法一　由y＝f(x＋2)－3是奇函数， ∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3， 令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4. 法二　由y＝f(x＋2)－3是奇函数， 得f(x)关于(2，3)对称， 故f(0)＋f(4)＝6， 即f(0)＝4. 4.若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________. 5 解析　∵f(x)为偶函数， ∴f(－1)＝f(1)， 由f(x)的图象关于x＝2对称， 可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5， 所以f(－1)＝5. 考点一　函数的对称性 因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，所以g(x)＝g(2b－x)， 方法总结 训练1 (1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称 A 解析　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称. BCD ∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确； ∴f(x＋2π)＝－f(－x)， ∴f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确. 考点二　对称性与周期性 例2 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3－3x，则f(2 023)＝(　　) A.1 B.－2 C.－1 D.2 D 解析　法一　因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)， 所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)， 则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数. 则f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2. 法二　由f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，可知f(x)为奇函数， 由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 则f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2. D 解析　因为f(x)为奇函数， 所以f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)， 所以直线x＝1是f(x)图象的一条对称轴. 又由f(x＋2)＝－f(x)，得到 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数. 作出f(x)的图象，如图所示. 则由对称性可得，x1＋x2＋…＋x7＝2＋4×3＝14，y1＋y2＋y3＋…＋y7＝0， 方法总结 1.若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，x＝b，则其周期为T＝2|b－a|. 2.若函数y＝f(x)的对称中心为(a，0)，(b，0)，则其周期为T＝2|b－a|. 3.若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，对称中心为(b，0)，则其周期为T＝4|b－a|. 训练2 (1)(多选)(2024·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　 ) A.f(x)的图象关于直线x＝2对称 B.f(x)的图象关于点(2，0)对称 C.f(x)的周期为4 D.y＝f(x＋4)为偶函数 ACD 解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确,B错误； ∵f(x)的图象关于直线x＝2对称， 则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)， ∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确； ∵T＝4且f(x)为偶函数， 故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确. D 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0. 故f(x＋3)＝－f(x)，则有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)， 所以f(x)是以6为周期的周期函数. f(2 022)＝f(6×337)＝f(0)＝0， f(2 023)＝f(6×337＋1)＝f(1)＝2， f(2 024)＝f(6×337＋2)＝f(2)＝2， 所以f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝4. 考点三　对称性、周期性与单调性 例3 (多选)(2024·杭州调考)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于(2，0)对称，则(　　) A.f(0)＝f(－2) B.f(x)的周期T＝2 C.f(x)在(2，3)上单调递减 D.f(x)满足f(2 021)>f(2 022)>f(2 023) AC 解析　由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)图象的对称轴方程为x＝1， 所以f(0)＝f(2)， 又由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(2＋x)＝f(－x). 因为函数f(x)的图象关于(2，0)对称， 即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)， 所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)， 所以f(x)＝f(x＋4)， 所以f(x)的周期为4， 所以f(－2)＝f(2)，所以f(0)＝f(－2)，故A正确，B错误. 因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f(x)在(3，4]上单调递增， 又f(x)的图象关于(2，0)对称， 所以f(x)在[0，1)上单调递增， 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(x)在(1，2]上单调递减， 则函数f(x)在(2，3)上单调递减，故C正确. 根据f(x)的周期为4，可得f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(2)，f(2 023)＝f(3)， 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(2)＝f(0)且f(3)＝f(－1)， 即f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(0)，f(2 023)＝f(－1)， 由C选项的分析可知，函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1， 若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)不成立，故D错误. 方法总结 解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式. 训练3 (2024·成都诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是(　　) A.f(log27)<f(－5)<f(6) B.f(log27)<f(6)<f(－5) C.f(－5)<f(log27)<f(6) D.f(－5)<f(6)<f(log27) C 解析　由f(x＋2)＋f(x)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝f(x)，f(x)的周期T＝4. 又f(－x)＝－f(x)，f(2)＝－f(0)＝0， 所以f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(6)＝f(2)＝0. 又2<log27<3，则0<log27－2<1， 因为当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)∈[0，1]， 所以f(－5)<f(log27)<f(6). 　 抽象函数 1.我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法有：函数性质法和特殊值法. 2.常见的抽象函数模型： (1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝kx的抽象表达式； (2)f(x＋y)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝ax的抽象表达式(a>0，且a≠1)； (3)f(xy)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝logax的抽象表达式(a>0，且a≠1)； (4)f(xy)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝xa的抽象表达式. 一、抽象函数求值 例1 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－2)等于________. 2 解析　∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2， ∴令x＝y＝1， 得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2＝6， 再令x＝2，y＝－1， 得f(2－1)＝f(2)＋f(－1)－4＝2， ∴f(－1)＝0， ∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＋2＝2. A 解析　由f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2， 令b＝1可得f(a＋1)＝f(a)·f(1)＝2f(a)， 二、抽象函数的性质 例2 (1)(多选)(2024·常德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且f(2)＝3，则(　　 ) A.f(1)＝1 B.函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增 C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1 ABD 解析　A中，因为f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)， 当x>0时，f(x)>0，f(2)＝3， 令x＝y＝1，则f(2)＝[f(1)]2＋2f(1)＝3，解得f(1)＝1，A正确； B中，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x2>x1， 则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)， 因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x2－x1)>0，f(x1)>0， 所以f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，B正确； C中，令x＝y＝0，则f(0)＝[f(0)]2＋2f(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝－1， 当f(0)＝0，且x>0时，令y＝－x，则0＝f(x)f(－x)＋f(x)＋f(－x)， 若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 即0＝－f2(x)＋f(x)－f(x)， 解得f(x)＝0，与题意矛盾； 当f(0)＝－1时，f(x)不为奇函数. 综上所述，函数f(x)不是奇函数，C错误； D中，当f(x)＝2x－1，则f(x＋y)＝2x＋y－1， f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)＝(2x－1)(2y－1)＋(2x－1)＋(2y－1)＝2x＋y－2x－2y＋1＋2x－1＋2y－1＝2x＋y－1， 所以f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)， 易得f(x)＝2x－1在R上单调递增， 所以x>0时，f(x)＝2x－1>20－1＝0，f(2)＝22－1＝3， 故函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1，D正确. (3，4] 在上述等式中取x＝4，y＝2， 则有f(2)＋f(2)＝f(4). 又∵f(2)＝1，∴f(4)＝2， 可变形为f(x(x－3))≤f(4). 又∵f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数， 故x的取值范围是(3，4]. AB 解析　对于A，令x＝2，y＝2， 则有f(2×2)＝f(4)＝2f(2)＋2f(2)＝4f(2)， f(8)＝f(2×4)＝2f(4)＋4f(2)＝12f(2)，正确； 对于B，因为f(x)的定义域为R， 因为对于∀x∈R，f(xy)＝xf(y)＋yf(x)， 当x≠0时，令y＝x，则有f(xy)＝f(x2)＝2xf(x)， 令x＝0时，f(0×y)＝f(0×0)＝0， 所以f(x)是奇函数，正确； 对于C，由B知，当n＝2时，f(x2)＝2xf(x)，错误； 对于D，f(2n)＝f(2n－1×2)＝2n－1f(2)＋2f(2n－1) ， 令an＝f(2n)(n∈N*)，则有an＝2an－1＋2n， ∴2－nan＝2－(n－1)an－1＋1， 令bn＝2－nan，则bn＝bn－1＋1，b1＝2－1×2＝1， {bn}是首项为1，公差为1的等差数列， ∴bn＝b1＋(n－1)＝n，即an＝n2n(n∈N*)， 则2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1，② 故Sn＝(n－1)2n＋1＋2，错误.故选AB. (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(4)＝________. 7 解析　令x＝y＝1， 则f(2)＝f(1)＋f(1)＋1＝3. 令x＝y＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝7. 习题演练 1.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　) A.(－1，2) B.(1，2) C.(－1，－2) D.(－2，1) A 解析　函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称， 又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)， 则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2). 2.已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　) A.1 B.2 C.0 D.－2 B 解析　函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，可得f(2＋x)＝f(2－x)， 即为2|2＋x－a|＝2|2－x－a|， 即有|2＋x－a|＝|2－x－a|(*)恒成立， 可得2＋x－a＝2－x－a或2＋x－a＋2－x－a＝0， 解得x＝0或a＝2， 检验可得a＝2时(*)式恒成立. 3.(2024·常州质检)函数f(x)的定义域为R，且f(1＋x)＝－f(1－x)，f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)是(　　) A.偶函数，又是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数 C.奇函数，又是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数 A 解析　法一　因为f(1＋x)＝－f(1－x)， 所以f(x)的图象关于(1，0)中心对称； 因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2). 又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于y轴对称，f(x)是偶函数. 法二　因为f(1＋x)＝－f(1－x)， 所以f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x). 因为f(2＋x)＝f(2－x)， 所以f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 则f(x＋2)＝f(x－2). 因为f(2＋x)＝f(2－x)， 所以f(x－2)＝f(2－x)， 所以f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数. C 解析　因为函数f(x＋2)是R上的偶函数， 当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3. 5.(多选)(2024·济宁统考)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，且f(x＋1)为偶函数，则(　　) A.f(2)＝0 B.f(x)为偶函数 C.f(x)为周期函数 D.f(x＋4)为偶函数 AC 解析　因为f(x＋1)为偶函数， 所以f(x＋1)＝f(－x＋1)， 又f(x＋3)＋f(x＋1)＝0， 所以f(x＋3)＋f(－x＋1)＝0， 令x＝－1，得f(2)＋f(2)＝0， 所以f(2)＝0，故A正确； 因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝0， 所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)的周期是4， 又f(x＋3)＋f(－x＋1)＝0， 所以f(x＋4)＝－f(－x)＝f(x)， 所以f(x)为奇函数，故B错误，C正确； 因为f(x)为奇函数，且f(x)的周期是4， 所以(4，0)是f(x)的图象的对称中心， f(x＋4)＝－f(－x＋4)，f(x＋4)为奇函数，故D错误. 6.(2024·泉州调研)已知函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)且f(1－x)＋f(x－1)＝0，则f(2 025)＝(　　) A.－3 B.0 C.3 D.6 B 解析　因为函数y＝f(x)对任意实数x都有f(1－x)＋f(x－1)＝0， 即f(1－x)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数. 由题意知f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)， 令x＝－3，得f(3)＋f(－3)＝2f(3)， 即f(3)－f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0，则f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)＝0， 即f(x＋6)＝－f(x)，所以f(x＋12)＝－f(x＋6)＝－[－f(x)]＝f(x)， 即12为函数y＝f(x)的周期，所以f(2 025)＝f(12×168＋9)＝－f(3)＝0. C 解析　由f(x＋1)＋f(x－1)＝2， 得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)， 所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为4. 又f(x＋2)为偶函数， 所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(4－x)＝f(－x)， 所以函数f(x)也为偶函数. 又f(x＋1)＋f(x－1)＝2， 所以f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4. 又f(0)＋f(2)＝2，f(0)＝2， 所以f(2)＝0， 8.与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________. y＝e2－x 解析　设函数f(x)＝ex的图象上的任意一点(x0，y0)关于直线x＝1对称的点的坐标为(x，y)， 因为点(x0，y0)在函数f(x)＝ex图象上， 所以y0＝ex0， 即y＝e2－x. 9.写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝__________________. ①f(x)是定义域为R的奇函数； ②f(1＋x)＝f(1－x)； ③f(1)＝2. 10.已知函数f(x)对∀x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)>0.若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，f(0)＝1，则f(2 025)＝________. 2 解析　因为y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称， 所以y＝f(x)的图象关于x＝0对称， 即y＝f(x)是偶函数. 对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)， 令x＝－1，可得f(1)·f(－1)＝2f(1)， 又f(x)>0， 所以f(－1)＝2， 则f(1)＝f(－1)＝2， 所以函数f(x)对∀x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝4， 所以f(x＋4)·f(x＋2)＝4， 所以f(x＋4)＝f(x)， 即f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝2. 11.函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. (1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心； 解　设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b， 则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)， 故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b， 即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b. 整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0， 所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2). (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论. 解　推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数. 12.已知定义域为I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)满足对任意x1，x2∈I都有f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1). (1)求证：f(x)是奇函数； 证明　令x1＝x2＝1，得f(1)＝0， 令x1＝x，x2＝－1， 得f(－x)＝xf(－1)－f(x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数. 解　∵f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)， ∴g(x1x2)＝g(x1)＋g(x2)， ∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数. 解得x>1且x≠2， ∴不等式g(x－2)>g(x)的解集为{x|1<x<2或x>2}. C 解析　对于A，因为f(2x＋1)的一个周期为2， 所以f[2(x＋2)＋1]＝f(2x＋1)， 即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1)， 设t＝2x＋1，则f(t＋4)＝f(t)， 所以f(x)的一个周期为4，故A错误. 对于B，因为f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)， 设m＝2x，则f(－m＋1)＝－f(m＋1)， 所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B错误. 对于C，因为f(x)的一个周期为4， 所以f(2 023)＝f(4×506－1)＝f(－1)＝－f(1)， 又f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)， 令x＝0，得f(1)＝0，所以f(2 023)＝0，故C正确. 对于D，f(x)的定义域为R， 因为f(－1)＝0，f(x)的一个周期为4，所以f(4k＋3)＝0(k∈Z)， f(x)的图象关于点(1，0)对称，作出一个符合上述条件的图象，如图所示，此时f(x)的图象不关于直线x＝2对称，故D错误. 解　对任意的x∈R，2x＋2－x>0， 故函数f(x)的定义域为R， 对称性的四个常用结论 (1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于x＝a对称； (2)y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称； (3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称. 特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 所以f(x)＝1＋eq \f(1,x)的图象关于(0，1)对称. 2.函数f(x)＝eq \f(x＋1,x)图象的对称中心为(　　) A.(0，0) B.(0，1) C.(1，0) D.(1，1) 解析　因为f(x)＝＝1＋， 由y＝eq \f(1,x)向上平移一个单位长度得到y＝1＋eq \f(1,x)， 又y＝关于(0，0)对称， 即(x＋a)ln eq \f(x＋1,x)＝(2b－x＋a)ln eq \f(2b－x＋1,2b－x)＝(x－2b－a)ln eq \f(x－2b,x－2b－1)， 于是得 例1 (2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝(eq \f(1,x)＋a)ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f(eq \f(1,x))关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由. 解　假设存在a，b, 使得曲线y＝f(eq \f(1,x))关于直线x＝b对称. 令g(x)＝f(eq \f(1,x))＝(x＋a)ln(1＋eq \f(1,x))＝(x＋a)ln eq \f(x＋1,x)， 当a＝eq \f(1,2)，b＝－eq \f(1,2)时，g(x)＝(x＋eq \f(1,2))ln(1＋eq \f(1,x))， g(－1－x)＝(－x－eq \f(1,2))ln eq \f(－x,－1－x)＝(－x－eq \f(1,2))ln eq \f(x,1＋x)＝(x＋eq \f(1,2))ln eq \f(x＋1,x)＝(x＋eq \f(1,2))ln(1＋eq \f(1,x))＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－eq \f(1,2)对称，满足题意. 故存在a，b，使得曲线y＝f(eq \f(1,x))关于直线x＝b对称，且a＝eq \f(1,2)，b＝－eq \f(1,2). 1.函数y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)，或f(2a＋x)＝f(－x). 2.函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(2a－x)＋f(x)＝2b或f(a－x)＋f(a＋x)＝2b. 3.函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称. ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cos x＋eq \f(1,cos x)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝cos x＋eq \f(1,cos x)， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，∴f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称，故C正确； (2)(多选)关于函数f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)有如下四个命题，其中正确的是(　　 ) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称 D.f(x)的图象关于点(π，0)对称 解析　∵f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}， f(－x)＝sin(－x)＋eq \f(1,sin（－x）)＝－sin x－eq \f(1,sin x)＝－f(x)， 又f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋eq \f(1,sin（x＋2π）)＝sin x＋eq \f(1,sin x)，f(－x)＝－sin x－eq \f(1,sin x)， (2)(2024·泉州质测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当1≤x<2时，f(x)＝x－2.若y＝eq \f(1,6)x－eq \f(1,3)与f(x)的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n∈N*)，则eq \o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1)) (xi＋yi)＝(　　) A.6 B.8 C.10 D.14 因此 (xi＋yi)＝14，故选D. 由图象可知，点(2，0)是f(x)图象的一个对称中心，直线y＝x－也关于点(2，0)对称， 且当x≥8时，y＝eq \f(1,6)x－eq \f(1,3)≥1，当x≤－4时，y＝eq \f(1,6)x－eq \f(1,3)≤－1， 所以直线y＝eq \f(1,6)x－eq \f(1,3)与y＝f(x)的图象有7个公共点， (2)(2024·洛阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))为偶函数且f(1)＝2，则f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝(　　) A.－2 B.0 C.2 D.4 又f为偶函数， 则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，则f(x＋3)＝f(－x)， 对于f＝f， 令x＝－，得f(2)＝f(1)＝2， 则0<log2<1， 所以－1<－log2<0， 所以f(log27)＝－f(log27－2)＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,4)))＝－log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,4)＋1))＝－log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,2))). 又1<log2<2， 所以0<log2<1， (2)f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则eq \f(f（2）,f（1）)＋eq \f(f（4）,f（3）)＋eq \f(f（6）,f（5）)＋…＋eq \f(f（2 024）,f（2 023）)＝(　　) A.2 024 B.2 022 C.1 012 D.1 011 所以eq \f(f（2）,f（1）)＋eq \f(f（4）,f（3）)＋eq \f(f（6）,f（5）)＋…＋eq \f(f（2 024）,f（2 023）)＝eq \f(2f（1）,f（1）)＋eq \f(2f（3）,f（3）)＋eq \f(2f（5）,f（5）)＋…＋eq \f(2f（2 023）,f（2 023）)＝2×1 012＝2 024. ∴解得3＜x≤4. (2)(2024·绍兴质检)已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，如果x满足f(x)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－3)))≤2，则x的取值范围为________. 解析　∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)，∴f(y)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x). ∴f(x)－f≤2 训练 (1)(多选)(2024·佛山模拟)已知定义在R上且不恒为0的函数f(x)，对任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，则(　　) A.f(8)＝12f(2) B.函数f(x)是奇函数 C.对∀n∈N*，有f(xn)＝nf(x) D.若f(2)＝2，则eq \o(∑,\s\up16(n),\s\do14(k＝1))f(2k)＝(n＋1)2n－2 ∴f(x)＝eq \f(f（x2）,2x)，f(－x)＝－eq \f(f（x2）,2x)＝－f(x)， 令Sn＝eq \o(∑,\s\up16(n),\s\do14(k＝1))f(2k)＝eq \o(∑,\s\up16(n),\s\do14(k＝1))ak＝a1＋a2＋…＋an＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n2n，① ①－②得：－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝eq \f(2×（1－2n）,1－2)－n·2n＋1 ＝(1－n)2n＋1－2， 4.已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　) A.(－∞，e)∪(e3，＋∞) B.(1，e2) C.(e，e3) D.(e，＋∞) 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0(x1≠x2)， 7.(2024·广州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数.若f(0)＝2，则eq \o(∑,\s\up16(115),\s\do14(k＝1))f(k)＝(　　) A.116 B.115 C.114 D.113 所以eq \o(∑,\s\up16(115),\s\do14(k＝1))f(k)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×28＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4×28＋2＋0＝114. 所以即 2sin x(答案不唯一) 解析　由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin eq \f(π,2)x. 故解得 令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝－eq \f(1,2)f(1)＝0， ∵g(x1)＝g＝g(x2)＋g<g(x2)， (2)设g(x)＝eq \f(f（x）,x)，且当x>1时，g(x)<0，求不等式g(x－2)>g(x)的解集. ∴＝＋， 设x1>x2>0，则>1，所以g<0. ∵g(－x)＝eq \f(f（－x）,－x)＝eq \f(－f（x）,－x)＝g(x)， ∴g(x)是偶函数， ∴g(|x－2|)>g(|x|)，∴ 13.(2023·唐山模拟)已知函数f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，且f(2x＋1)的一个周期为2，则(　　) A.1为f(x)的周期 B.f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))对称 C.f(2 023)＝0 D.f(x)的图象关于直线x＝2对称 所以f(x)＝， 14.已知函数f(x)＝eq \f(a·2x－2－x,2x＋2－x)是奇函数. (1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>eq \f(1,3)； 又因为函数f(x)＝eq \f(a·2x－2－x,2x＋2－x)为奇函数， 则f(0)＝＝0，解得a＝1， 因此不等式f(x)>eq \f(1,3)的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)). 下面验证函数f(x)＝eq \f(2x－2－x,2x＋2－x)为奇函数，f(－x)＝eq \f(2－x－2x,2－x＋2x)＝－f(x)， 故函数f(x)＝为奇函数， 由f(x)＝eq \f(2x－2－x,2x＋2－x)＝eq \f(2x（2x－2－x）,2x（2x＋2－x）)＝eq \f(4x－1,4x＋1)>eq \f(1,3)，得2·4x>4，即22x＋1>22， 所以2x＋1>2，解得x>， 因此函数g(x)＝eq \f(2x＋1,2x＋2－x)图象的对称中心为(0，1). (2)求函数g(x)＝eq \f(2x＋1,2x＋2－x)图象的对称中心. 解　g(x)＝＝， 则g(－x)＝， 所以g(x)＋g(－x)＝eq \f(2（2x＋2－x）,2x＋2－x)＝2， $$