函数之对数函数讲义、课件-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——函数之对数函数 【知识梳理】 1.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 2.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换. [常用结论] 1.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，. 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b. 即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　) (2)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　) (3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝log的图象重合.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 解析　(1)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(1)错误. (3)若0<b<1<a，则当x＞1时，logax＞logbx，故(3)错误. 2.若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的值域为(　　) A.[0，1] B.(0，1) C.(－∞，1] D.[1，＋∞) 答案　A 解析　根据复合函数单调性的同增异减原则可知f(x)在[0，1]上单调递增， 因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2， 则log21≤log2(x＋1)≤log22，即f(x)∈[0，1]. 3.(必修一P141T13(1)改编)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.c＞b＞a 答案　A 解析　法一　如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象， 由图可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46， 即a＞b＞c. 法二　易知0＞log60.4＞log60.3＞log60.2， 所以＜＜， 即log0.46＜log0.36＜log0.26， 即a＞b＞c. 4.函数y＝loga(x－2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________. 答案　(3，2) 解析　∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3， ∴y＝loga1＋2＝2， ∴原函数的图象恒过定点(3，2). 考点一　对数函数的图象及应用 例1 (1)(2024·济南模拟)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图象是(　　) 答案　B 解析　因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函数， 所以f(0)＝0，所以k＝2， 经检验：k＝2满足题意. 又因为f(x)为减函数，所以0<a<1， 则g(x)＝loga|x＋2|(0<a<1). 所以g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，其大致图象为B.故选B. (2)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 024x＋log2 024x，则在R上方程f(x)＝0的实根个数为(　　) A.1 B.3 C.2 D.2 024 答案　B 解析　当x>0时，令f(x)＝0， 即2 024x＝－log2 024x， 在同一坐标系中作出函数y1＝2 024x，y2＝－log2 024x的示意图，如图， 函数y1＝2 024x为增函数，y2＝－log2 024x为减函数， 可知两个函数图象有且只有一个交点P，横坐标记为x0， 即当x>0时方程f(x)＝0有且只有一个实根x0. 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以当x<0时，方程f(x)＝0也有一个实根－x0. 又因为f(x)是R上的奇函数，f(0)＝0， 所以0也是方程f(x)＝0的根. 综上所述，方程f(x)＝0有3个实根，故选B. 方法总结　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 训练1 (1)(2024·广州调研)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　) 答案　A 解析　若0<a<1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减， 又函数y＝(a－1)x2－x的图象开口向下，对称轴为直线x＝<0， 则对称轴在y轴左侧，故C，D错误； 若a>1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增， 又函数y＝(a－1)x2－x的图象开口向上，且对称轴为直线x＝>0， 则对称轴在y轴右侧，故B错误，A正确. (2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________. 答案　 解析　若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点， 由图象知解得0＜a≤. 考点二　对数函数的性质及应用 角度1　比较大小 例2 (1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.a＞c＞b D.c＞b＞a 答案　A 解析　a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63， ∵log43＞log53＞log63，∴a＞b＞c. (2)(2024·武汉质检)已知a＝3log83，b＝－log16，c＝log43，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.b>c>a D.b>a>c 答案　A 解析　a＝3log83＝3×＝log23>1， b＝－log16＝－×＝－×＝log34>1，0<c＝log43<1， log23－log34＝－＝， lg 2>0，lg 4>0，lg 2≠lg 4， ∴lg 2lg 4<＝(lg )2<(lg 3)2， 故log23－log34>0，∴a>b， ∴a>b>c，故选A. 角度2　解对数不等式 例3 (2024·安徽江淮十校联考)已知实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1，则不等式loga(3x＋2)＜loga(8－5x)的解集为________. 答案　 解析　由实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1， 根据指数函数的单调性，可得3a＋2＞4a＋1， 解得0＜a＜1， 所以函数y＝logax为单调递减函数， 由不等式loga(3x＋2)＜loga(8－5x)， 可得解得＜x＜， 即不等式的解集为. 角度3　对数函数性质的综合应用 例4 (2024·石家庄调研)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1). (1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解　(1)设g(x)＝3－ax. 由题意，知3－ax>0对一切x∈[0，2]恒成立. 因为a>0，所以g(x)＝3－ax在区间[0，2]上为减函数. 只需g(2)＝3－2a>0，解得a<. 又a≠1， 所以实数a的取值范围是(0，1)∪. (2)不存在.理由如下： 假设存在这样的实数a. 由题意，得f(1)＝1，即loga(3－a)＝1， 解得a＝. 所以f(x)＝log. 因为当x＝2时，f(x)无意义， 所以这样的实数a不存在. 方法总结　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 训练2 (1)(2024·长沙质检)已知a＝log21.8，b＝log43.6，c＝，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 答案　C 解析　由＝log2<log21.8＝log2<log2＝log43.6，可得c<a<b，故选C. (2)(2024·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　) A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B.是奇函数，且在(－3，3)上单调递减 C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D.是偶函数，且在(－3，3)上单调递增 答案　A 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠3，且x≠－3}， 则f(－x)＝ln |－x＋3|＋ln |－x－3|＝ln |x－3|＋ln |x＋3|＝f(x)， 则f(x)是偶函数，排除B，C； f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|＝ln |x2－9|， 令t＝|x2－9|，而y＝ln t为增函数， 由复合函数单调的同增异减的原则，f(x)在(－∞，－3)上单调递减，A正确. (3)若loga(a＋1)<loga(2)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________. 答案　 解析　由题意loga(a＋1)<loga(2)<loga1， 得或解得<a<1. 习题演练 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A. B. C. D.[1，＋∞) 答案　A 解析　由题意，要使函数f(x)＝有意义，则满足log0.5(2x－1)≥0， 所以0<2x－1≤1，解得<x≤1， 即函数f(x)的定义域为. 2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A.log2x B. C.logx D.2x－2 答案　A 解析　函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是 f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1， 所以a＝2.故f(x)＝log2x. 3.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A.a＞1 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1 答案　BC 解析　由图象可知0＜a＜1， 令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c， 由图象知0＜1－c＜1， ∴0＜c＜1. 4.在同一平面直角坐标系中，函数y＝loga(－x)，y＝(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 答案　C 解析　因为函数y＝loga(－x)的图象与函数y＝logax的图象关于y轴对称， 所以函数y＝loga(－x)的图象恒过定点(－1，0)，故A，B错误； 当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减， 而y＝(a>1)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，故D错误，C正确. 5.(2024·南昌模拟)已知a＝log3，b＝，c＝log279，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 答案　B 解析　因为c＝log3332＝， 所以b＝＝＝>＝＝c，故排除A，C； 接下来，判断a与的大小，即可完成选择， a＝log3＝log3＝log3<log3＝＝c，故选B. 6.(多选)函数f(x)＝loga|x－1|(a>0，且a≠1)在(0，1)上是减函数，那么(　　) A.f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值 B.f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值 C.f(x)在定义域内是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x＝1对称. 答案　AD 解析　因为函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数， 所以f(x)＝loga(1－x)在(0，1)上为减函数， 而y＝1－x是减函数，故a>1， 所以当x>1时，f(x)＝loga(x－1)， 而y＝x－1是增函数，且a>1， 则f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，故A正确，B错误； 又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，故C错误； 因为f(2－x)＝loga|2－x－1|＝loga|x－1|＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确. 7.已知a＝log0.12，b＝log5，则(　　) A.ab＜0＜a＋b B.ab＜a＋b＜0 C.a＋b＜0＜ab D.a＋b＜ab＜0 答案　D 解析　因为a＝log0.12＜0，b＝log5＞0， 所以ab＜0， 又因为a＋b＝log0.12＋log5＝＋＝－lg 2＋＝＜0， 所以a＋b＜0， 又＝＋＝log20.1＋log5＝log20.1＋log225＝log22.5＞1， 所以＞1， 又ab＜0，所以a＋b＜ab， 所以a＋b＜ab＜0. 8.函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为________. 答案　－ 解析　依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－， 当log2x＝－，即x＝时等号成立， 所以函数f(x)的最小值为－. 9.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝________. 答案　4 解析　由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2， 所以f(x)的定义域为{x|x＞4，或x＜－2}. 又μ＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减， 而y＝lg μ在定义域上单调递增， 所以f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4. 10.(2024·金华调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－5))＞f(log38)的解集为________. 答案　 解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减， 所以可将f(log(2x－5))＞f(log38)等价于|log(2x－5)|＞|log38|， 即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3， 即2x－5＞8或0＜2x－5＜， 解得x＞或＜x＜. 11.已知函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x). (1)求函数f(x)－g(x)的定义域； (2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由； (3)求使得不等式f(x)－g(x)>1成立的x的取值范围. 解　(1)由题意，得 解得－1<x<1， 所以函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，1). (2)函数f(x)－g(x)是奇函数. 理由如下： 因为函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，1)， 所以其定义域关于原点对称. 又因为f(－x)－g(－x)＝log2(1－x)－ log2(1＋x)＝－[log2(1＋x)－log2(1－x)]＝－[f(x)－g(x)]， 所以函数f(x)－g(x)是奇函数. (3)因为f(x)－g(x)>1， 即log2(1＋x)－log2(1－x)>1， 所以log2>1＝log22. 所以解得<x<1. 所以使得不等式f(x)－g(x)>1成立的x的取值范围是. 12.已知函数f(x)＝loga(ax2－x). (1)若a＝，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围. 解　(1)当a＝时，f(x)＝log. 令x2－x>0， 解得x<0或x>2. 所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞). 令y＝x2－x. 因为函数y＝x2－x＝(x－1)2－在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)＝log在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(2，＋∞). (2)根据题意，知a>0，且a≠1. 令g(x)＝ax2－x，则函数g(x)的图象的对称轴为直线x＝. 因为f(x)在区间[2，4]上是增函数，则 ①当a>1时，显然≤2，g(x)在区间[2，4]上单调递增， 又因为g(x)在区间[2，4]上恒大于0， 所以g(2)>0， 即4a－2>0，解得a>. 所以a>1. ②当0<a<1时，由题意，得≥4， 解得a≤，所以0<a≤. 因为g(x)在区间[2，4]上恒大于0， 所以g(4)>0. 所以16a－4>0， 解得a>，与0<a≤矛盾， 则此种情况不存在. 综上所述，实数a的取值范围是(1，＋∞). 13.(2024·临沂模拟)已知x＝，logy＝，x＝logxz，则(　　) A.x<y<z B.y<x<z C.z<x<y D.z<y<x 答案　B 解析　令f(x)＝x－，则f(x)在R上单调递增， 由f(1)>0，f<0，知x∈.logy＝⇒y＝， ∵x<， ∴x－y＝－)>0⇒x>y， x＝logxz⇒z＝xx>＝x. 综上，y<x<z. 14.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围. 解　(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2. 因为x∈[1，4]， 所以log2x∈[0，2]， 故函数h(x)的值域为[0，2]. (2)由f(x2)·f()>k·g(x)， 得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x， 因为x∈[1，4]， 所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0，2]时，k<恒成立， 即k<4t＋－15， 因为4t＋≥12，当且仅当4t＝， 即t＝时取等号， 所以4t＋－15的最小值为－3， 所以k<－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3). 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——函数之对数函数 知识梳理 1.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质   a>1 0<a<1 图象 3   a>1 0<a<1 性质 定义域：______________ 值域：____ 当x＝1时，y＝0，即过定点____________ 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________ (0，＋∞) R (1，0) 增函数 减函数 4 2.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称.它们的定义域和值域正好互换. y＝logax y＝x 5 常用结论 即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) × √ × √ 解析　(1)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(1)错误. (3)若0<b<1<a，则当x＞1时，logax＞logbx，故(3)错误. 2.若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的值域为(　　) A.[0，1] B.(0，1) C.(－∞，1] D.[1，＋∞) A 解析　根据复合函数单调性的同增异减原则可知f(x)在[0，1]上单调递增， 因为0≤x≤1， 所以1≤x＋1≤2， 则log21≤log2(x＋1)≤log22， 即f(x)∈[0，1]. 3.(必修一P141T13(1)改编)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.c＞b＞a A 解析　法一　如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象， 由图可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46， 即a＞b＞c. 法二　易知0＞log60.4＞log60.3＞log60.2， 即log0.46＜log0.36＜log0.26， 即a＞b＞c. 4.函数y＝loga(x－2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________. (3，2) 解析　∵loga1＝0， 令x－2＝1， ∴x＝3， ∴y＝loga1＋2＝2， ∴原函数的图象恒过定点(3，2). 考点一　对数函数的图象及应用 例1 (1)(2024·济南模拟)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图象是(　　) B 解析　因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函数， 所以f(0)＝0，所以k＝2，经检验：k＝2满足题意. 又因为f(x)为减函数，所以0<a<1，则g(x)＝loga|x＋2|(0<a<1). 所以g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，其大致图象为B.故选B. (2)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 024x＋log2 024x，则在R上方程f(x)＝0的实根个数为(　　) A.1 B.3 C.2 D.2 024 B 解析　当x>0时，令f(x)＝0， 即2 024x＝－log2 024x， 在同一坐标系中作出函数y1＝2 024x，y2＝－log2 024x的示意图，如图， 函数y1＝2 024x为增函数，y2＝－log2 024x为减函数， 可知两个函数图象有且只有一个交点P，横坐标记为x0， 即当x>0时方程f(x)＝0有且只有一个实根x0. 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以当x<0时，方程f(x)＝0也有一个实根－x0. 又因为f(x)是R上的奇函数，f(0)＝0， 所以0也是方程f(x)＝0的根. 综上所述，方程f(x)＝0有3个实根，故选B. 方法总结 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 训练1 (1)(2024·广州调研)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　) A 解析　若0<a<1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减， 则对称轴在y轴左侧，故C，D错误； 若a>1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增， 则对称轴在y轴右侧，故B错误，A正确. 考点二　对数函数的性质及应用 角度1　比较大小 例2 (1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.a＞c＞b D.c＞b＞a A 解析　a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63， ∵log43＞log53＞log63， ∴a＞b＞c. A 故log23－log34>0，∴a>b，∴a>b>c，故选A. 角度2　解对数不等式 例3 (2024·安徽江淮十校联考)已知实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1，则不等式 loga(3x＋2)＜loga(8－5x)的解集为____________. 解析　由实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1， 根据指数函数的单调性，可得3a＋2＞4a＋1，解得0＜a＜1， 所以函数y＝logax为单调递减函数， 由不等式loga(3x＋2)＜loga(8－5x)， 角度3　对数函数性质的综合应用 例4 (2024·石家庄调研)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1). (1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； 解　设g(x)＝3－ax. 由题意，知3－ax>0对一切x∈[0，2]恒成立. 因为a>0，所以g(x)＝3－ax在区间[0，2]上为减函数. 又a≠1， (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解　不存在.理由如下： 假设存在这样的实数a. 由题意，得f(1)＝1，即loga(3－a)＝1， 因为当x＝2时，f(x)无意义， 所以这样的实数a不存在. 方法总结 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. C (2)(2024·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　) A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B.是奇函数，且在(－3，3)上单调递减 C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D.是偶函数，且在(－3，3)上单调递增 A 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠3，且x≠－3}， 则f(－x)＝ln |－x＋3|＋ln |－x－3|＝ln |x－3|＋ln |x＋3|＝f(x)， 则f(x)是偶函数，排除B，C； f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|＝ln |x2－9|， 令t＝|x2－9|，而y＝ln t为增函数， 由复合函数单调的同增异减的原则，f(x)在(－∞，－3)上单调递减，A正确. 习题演练 A A 解析　函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax， 又f(2)＝1， 即loga2＝1， 所以a＝2. 故f(x)＝log2x. 3.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) BC 解析　由图象可知0＜a＜1， 令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c， 由图象知0＜1－c＜1， ∴0＜c＜1. A.a＞1 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1 C 解析　因为函数y＝loga(－x)的图象与函数y＝logax的图象关于y轴对称， 所以函数y＝loga(－x)的图象恒过定点(－1，0)，故A，B错误； 当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减， B 6.(多选)函数f(x)＝loga|x－1|(a>0，且a≠1)在(0，1)上是减函数，那么(　　) A.f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值 B.f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值 C.f(x)在定义域内是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x＝1对称. AD 解析　因为函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数， 所以f(x)＝loga(1－x)在(0，1)上为减函数， 而y＝1－x是减函数，故a>1， 所以当x>1时，f(x)＝loga(x－1)， 而y＝x－1是增函数，且a>1， 则f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，故A正确，B错误； 又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，故C错误； 因为f(2－x)＝loga|2－x－1|＝loga|x－1|＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确. D 又ab＜0，所以a＋b＜ab，所以a＋b＜ab＜0. 9.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝________. 4 解析　由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2， 所以f(x)的定义域为{x|x＞4，或x＜－2}. 又μ＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减， 而y＝lg μ在定义域上单调递增， 所以f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4. 解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减， 11.已知函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x). (1)求函数f(x)－g(x)的定义域； 所以函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，1). (2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由； 解　函数f(x)－g(x)是奇函数. 理由如下： 因为函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，1)， 所以其定义域关于原点对称. 又因为f(－x)－g(－x)＝log2(1－x)－log2(1＋x)＝－[log2(1＋x)－log2(1－x)]＝－[f(x)－g(x)]， 所以函数f(x)－g(x)是奇函数. (3)求使得不等式f(x)－g(x)>1成立的x的取值范围. 解　因为f(x)－g(x)>1， 即log2(1＋x)－log2(1－x)>1， 所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞). 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(2，＋∞). (2)若f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围. 解　根据题意，知a>0，且a≠1. 因为f(x)在区间[2，4]上是增函数，则 又因为g(x)在区间[2，4]上恒大于0，所以g(2)>0， 因为g(x)在区间[2，4]上恒大于0， 所以g(4)>0. 所以16a－4>0， 则此种情况不存在. 综上所述，实数a的取值范围是(1，＋∞). B 综上，y<x<z. 14.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； 解　h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2. 因为x∈[1，4]， 所以log2x∈[0，2]， 故函数h(x)的值域为[0，2]. 令t＝log2x， 因为x∈[1，4]， 所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； 所以k<－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3). 1.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)). 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标 为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b. (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　) (2)函数y＝lneq \f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　) (3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝logeq \s\do9(\f(1,2))eq \f(1,x)的图象重合.(　　) 所以＜＜， 又函数y＝(a－1)x2－x的图象开口向上，且对称轴为直线x＝eq \f(1,2（a－1）)>0， 又函数y＝(a－1)x2－x的图象开口向下，对称轴为直线x＝eq \f(1,2（a－1）)<0， 由图象知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,loga\f(1,2)≤4\s\up6(\f(1,2))，))解得0＜a≤eq \f(\r(2),2). (2)若方程4x＝logax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为_____________. 解析　若方程4x＝logax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有交点， ∴lg 2lg 4<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 2＋lg 4,2))) eq \s\up12(2)＝(lg eq \r(8))2<(lg 3)2， (2)(2024·武汉质检)已知a＝3log83，b＝－eq \f(1,2)logeq \f(1,3)16，c＝log43，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.b>c>a D.b>a>c 解析　a＝3log83＝3×eq \f(log23,log223)＝log23>1，b＝－eq \f(1,2)logeq \f(1,3)16＝－eq \f(1,2)×eq \f(log316,log3\f(1,3))＝－eq \f(1,2)×eq \f(log342,log33－1)＝log34>1，0<c＝log43<1， log23－log34＝eq \f(lg 3,lg 2)－eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(（lg 3）2－lg 2lg 4,lg 2lg 3)，lg 2>0，lg 4>0，lg 2≠lg 4， 可得解得＜x＜， 即不等式的解集为. 只需g(2)＝3－2a>0，解得a<eq \f(3,2). 所以实数a的取值范围是(0，1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))). 解得a＝. 所以f(x)＝log. 训练2 (1)(2024·长沙质检)已知a＝log21.8，b＝log43.6，c＝eq \f(1,2)，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 解析　由eq \f(1,2)＝log2eq \r(2)<log21.8＝log2eq \r(3.24)<log2eq \r(3.6)＝log43.6，可得c<a<b，故选C. 解得<a<1. (3)若loga(a＋1)<loga(2eq \r(a))<0(a>0，且a≠1),则实数a的取值范围是__________. 解析　由题意loga(a＋1)<loga(2eq \r(a))<loga1， 得或 1.函数f(x)＝eq \r(log0.5（2x－1）)的定义域为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.[1，＋∞) 解析　由题意，要使函数f(x)＝eq \r(log0.5（2x－1）)有意义,则满足log0.5(2x－1)≥0， 所以0<2x－1≤1，解得<x≤1， 即函数f(x)的定义域为. 2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A.log2x B.eq \f(1,2x) C.logeq \s\do9(\f(1,2))x D.2x－2 4.在同一平面直角坐标系中，函数y＝loga(－x)，y＝eq \f(a－1,x)(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 而y＝eq \f(a－1,x)(a>1)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，故D错误，C正确. 接下来，判断a与eq \f(1,3)的大小，即可完成选择， a＝log3eq \f(7,5)＝eq \f(1,3)log3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5))) eq \s\up12(3)＝eq \f(1,3)log3eq \f(343,125)<eq \f(1,3)log3eq \f(375,125)＝eq \f(1,3)＝c，故选B. 5.(2024·南昌模拟)已知a＝log3eq \f(7,5)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(26,3)))eq \s\up12(－\f(1,2))，c＝eq \f(1,2)log279，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 解析　因为c＝log3332＝， 所以b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(26,3)))eq \s\up12(－\f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,26)))eq \s\up12(\f(1,2))＝eq \r(\f(3,26))>eq \r(\f(3,27))＝eq \f(1,3)＝c，故排除A，C； 所以a＋b＜0， 又eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝log20.1＋logeq \r(2)5＝log20.1＋log225＝log22.5＞1， 所以＞1， 7.已知a＝log0.12，b＝log5eq \r(2)，则(　　) A.ab＜0＜a＋b B.ab＜a＋b＜0 C.a＋b＜0＜ab D.a＋b＜ab＜0 解析　因为a＝log0.12＜0，b＝log5eq \r(2)＞0，所以ab＜0， 又因为a＋b＝log0.12＋log5eq \r(2)＝eq \f(lg 2,lg 0.1)＋eq \f(lg \r(2),lg 5)＝－lg 2＋eq \f(lg 2,2lg 5)＝eq \f(lg 2（1－lg 25）,lg 25)＜0， 所以函数f(x)的最小值为－. 8.函数f(x)＝log2eq \r(x)·log eq \r(2)(2x)的最小值为________. － 解析　依题意得f(x)＝eq \f(1,2)log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)≥－eq \f(1,4)， 当log2x＝－，即x＝时等号成立， 即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3eq \f(1,8)， 即2x－5＞8或0＜2x－5＜， 解得x＞或＜x＜. 10.(2024·金华调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递 减，则不等式f(logeq \s\do9(\f(1,3))(2x－5))＞f(log38)的解集为____________________________. 所以可将f(logeq \s\do9(\f(1,3))(2x－5))＞f(log38)等价于|logeq \s\do9(\f(1,3))(2x－5)|＞|log38|， 解　由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,1－x>0，))解得－1<x<1， 所以log2>1＝log22. 所以解得<x<1. 所以使得不等式f(x)－g(x)>1成立的x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)). 令y＝x2－x. 因为函数y＝eq \f(1,2)x2－x＝eq \f(1,2)(x－1)2－eq \f(1,2)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增， 12.已知函数f(x)＝loga(ax2－x). (1)若a＝eq \f(1,2)，求函数f(x)的单调区间； 解　当a＝时，f(x)＝log. 令x2－x>0，解得x<0或x>2. 所以函数f(x)＝logeq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－x))在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减. 即4a－2>0，解得a>.所以a>1. 令g(x)＝ax2－x，则函数g(x)的图象的对称轴为直线x＝eq \f(1,2a). ①当a>1时，显然eq \f(1,2a)≤2，g(x)在区间[2，4]上单调递增， ②当0<a<1时，由题意，得≥4， 解得a≤，所以0<a≤. 解得a>，与0<a≤矛盾， ∴x－y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(\r(x)))>0⇒x>y，x＝logxz⇒z＝xx>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＝x. 13.(2024·临沂模拟)已知x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，logeq \f(1,2)y＝eq \r(x)，x＝logxz，则(　　) A.x<y<z B.y<x<z C.z<x<y D.z<y<x 解析　令f(x)＝x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，则f(x)在R上单调递增， 由f(1)>0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0，知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).logeq \f(1,2)y＝eq \r(x)⇒y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(\r(x))， ∵x<， (2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(eq \r(x))>k·g(x)恒成立，求实数k的取值 范围. 解　由f(x2)·f(eq \r(x))>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 所以4t＋－15的最小值为－3， ②当t∈(0，2]时，k<eq \f(（3－4t）（3－t）,t)恒成立， 即k<4t＋－15， 因为4t＋≥12，当且仅当4t＝， 即t＝时取等号， $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——函数之对数函数 【知识梳理】 1.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域： 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是 2.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数 (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称.它们的定义域和值域正好互换. [常用结论] 1.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，. 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b. 即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　) (2)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　) (3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝log的图象重合.(　　) 2.若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的值域为(　　) A.[0，1] B.(0，1) C.(－∞，1] D.[1，＋∞) 3.(必修一P141T13(1)改编)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.c＞b＞a 4.函数y＝loga(x－2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________. 考点一　对数函数的图象及应用 例1 (1)(2024·济南模拟)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图象是(　　) (2)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 024x＋log2 024x，则在R上方程f(x)＝0的实根个数为(　　) A.1 B.3 C.2 D.2 024 方法总结　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 训练1 (1)(2024·广州调研)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　) (2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________. 考点二　对数函数的性质及应用 角度1　比较大小 例2 (1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.a＞c＞b D.c＞b＞a (2)(2024·武汉质检)已知a＝3log83，b＝－log16，c＝log43，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.b>c>a D.b>a>c 角度2　解对数不等式 例3 (2024·安徽江淮十校联考)已知实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1，则不等式loga(3x＋2)＜loga(8－5x)的解集为________. 角度3　对数函数性质的综合应用 例4 (2024·石家庄调研)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1). (1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 方法总结　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 训练2 (1)(2024·长沙质检)已知a＝log21.8，b＝log43.6，c＝，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a (2)(2024·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　) A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B.是奇函数，且在(－3，3)上单调递减 C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D.是偶函数，且在(－3，3)上单调递增 (3)若loga(a＋1)<loga(2)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________. 习题演练 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A. B. C. D.[1，＋∞) 2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A.log2x B. C.logx D.2x－2 3.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A.a＞1 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1 4.在同一平面直角坐标系中，函数y＝loga(－x)，y＝(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 5.(2024·南昌模拟)已知a＝log3，b＝，c＝log279，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 6.(多选)函数f(x)＝loga|x－1|(a>0，且a≠1)在(0，1)上是减函数，那么(　　) A.f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值 B.f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值 C.f(x)在定义域内是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x＝1对称. 7.已知a＝log0.12，b＝log5，则(　　) A.ab＜0＜a＋b B.ab＜a＋b＜0 C.a＋b＜0＜ab D.a＋b＜ab＜0 8.函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为________. 9.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝________. 10.(2024·金华调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－5))＞f(log38)的解集为________. 11.已知函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x). (1)求函数f(x)－g(x)的定义域； (2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由； (3)求使得不等式f(x)－g(x)>1成立的x的取值范围. 12.已知函数f(x)＝loga(ax2－x). (1)若a＝，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围. 13.(2024·临沂模拟)已知x＝，logy＝，x＝logxz，则(　　) A.x<y<z B.y<x<z C.z<x<y D.z<y<x 14.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围. 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$