精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

新蔡县第一高级中学高二2024年11月份月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 若直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则m=（　　） A. B. 1或2 C. 1或 D. 1 5. 抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 2 7. 若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 当点P不在x轴上时，的周长是6 B. 当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C. 存在点P，使 D. 的取值范围是 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 B. 直线必过定点 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 过两点的所有直线的方程为 10. 已知曲线C的方程为，则（ ） A. 曲线C可以表示圆 B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 11. 已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 或 D. 线段中点的横坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 与直线4x+3y-5=0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是_____． 13. 若抛物线上一点与焦点的距离等于，则该点与焦点所在直线的斜率为______． 14. 已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点与直线l：，圆C： （1）一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程； （2）过P点作圆的切线，求切线方程． 16. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）经过点能否作一条直线，使直线与椭圆交于，两点，且使得是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由． 17. 已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为E. （1）求轨迹方程； （2）过点的直线与曲线E交于P，Q两点，若，其中O为坐标原点，求. 18. 已知直线与抛物线相切，且切点为. （1）求直线的斜率的值； （2）如图，是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为定值，求出定值，若不是请说明理由 19. 设椭圆的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为，最小值为． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）过点F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PMQN的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学高二2024年11月份月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程即焦点的定义计算即可. 【详解】，此时焦点在纵轴上，为. 故选：D 2. 过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】就直线与平行或过的中点可求直线的方程. 【详解】若过的直线与平行，因为， 故直线的方程为：即. 若过的直线过的中点，因为的中点为，此时， 故直线的方程为：即. 故选：D. 3. 若直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断焦点所在位置，根据渐近线可得，进而可求离心率. 【详解】因为双曲线的焦点在y轴上，且直线即为， 由双曲线的渐近线方程是，所以，即， 所以离心率. 故选：D ． 4. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则m=（　　） A. B. 1或2 C. 1或 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用焦点位置及半焦距的计算列式求解作答. 【详解】双曲线的焦点在x轴上，依题意，，即， 又，解得， 所以. 故选：D 5. 抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求得抛物线方程，再根据光线的反射性质求出反射光线的方程，即可求出反射光线与抛物线的交点坐标，再利用两点间的距离公式即可求得结果. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点为， 又因为反射光线经过点及焦点，， 所以反射光线的方程为， 联立抛物线方程得，解得或， 所以反射光线与抛物线的交点为， 由两点间距离公式可得， 所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为. 故选：C. 6. 已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先判定直线过定点，再由弦长公式计算即可. 【详解】由， ，即过定点， 由得，半径， 则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小， 最小值为. 故选：C 7. 若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 当点P不在x轴上时，的周长是6 B. 当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C. 存在点P，使 D. 的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D. 【详解】由椭圆方程可知，，从而． 对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确； 对于选项B：设点，因为，则． 因为，则面积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大． 此时，，又， 则为正三角形，， 所以不存在点，使，故选项C错误； 对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时； 当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确． 故选：C. 【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论 以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则 （1）焦点三角形的周长为； （2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大； （3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为； （4）. 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率. 【详解】 因为，所以∽， 设，则，设，则，． 因为平分，由角平分线定理可知，， 所以，所以， 由双曲线定义知，即，，① 又由 得，所以，即是等边三角形， 所以． 在中，由余弦定理知， 即，化简得， 把①代入上式得，所以离心率为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 B. 直线必过定点 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 过两点的所有直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线过原点时，满足题意，可判定A错误;根据直线系方程过定点，可判定B正确;根据时，此时直线的斜率不存在，可判定C错误;根据直线的方程，分类讨论，可判定D正确. 【详解】对于A中：当在两坐标轴上的截距相等且等于时，直线过原点， 可设直线方程为，又直线过点，则，即， 此时直线方程为，满足题意，所以A错误； 对于B中：直线可化为，由方程组，解得， 即直线必过定点，所以B正确； 对于C中，当倾斜角时，此时直线的斜率不存在，无意义，所以C错误； 对于D中，由两点， 当时，此时过两点的所有直线的方程为，即， 当时，此时过两点的所有直线的方程为或，适合上式， 所以过两点的所有直线的方程为，所以D正确. 故选：BD. 10. 已知曲线C的方程为，则（ ） A. 曲线C可以表示圆 B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 【答案】CD 【解析】 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的相关知识，对每个选项逐一分析即可. 【详解】若曲线C表示圆，则，解得，则曲线C的方程为，无意义，A不正确； 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，不等式无解，B不正确； 若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，C正确； 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得，D正确. 故选：CD 11. 已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 或 D. 线段中点的横坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线，可知焦点，得的值和抛物线方程，可判断A选项；直线方程代入抛物线方程，由韦达定理结合，求出两点坐标和的值，结合韦达定理和弦长公式判断选项BCD. 【详解】抛物线的焦点在轴上， 过作直线，可知，则，得，A选项正确； 抛物线方程为，直线的方程代入抛物线方程，得. 设，，由韦达定理有，， ，得，解得或， ，则或，C选项错误； 则，线段中点的横坐标为，D选项正确； ，，B选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 与直线4x+3y-5=0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是_____． 【答案】4x+3y+10=0或4x+3y-20=0 【解析】 【分析】设直线方程为4x+3y+m=0，利用平行线间的距离公式求出m的值，即得答案. 【详解】设所求直线方程为4x+3y+m=0， 由 ，得m=10或-20, 故答案为：4x+3y+10=0或4x+3y-20=0 13. 若抛物线上一点与焦点的距离等于，则该点与焦点所在直线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义及三角形性质可得直线的倾斜角，进而可得斜率. 【详解】 设抛物线的焦点为，为抛物线上与点的距离等于的点， 过作准线的垂线，垂足为，过作，为垂足， 所以，， 所以，则， 设直线的倾斜角为，则或， 故所求直线的斜率为， 故答案为：. 14. 已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，得到，得到离心率. 【详解】连接，由题意得，， 又，所以四边形为矩形，故， 所以，故， 又，由勾股定理得， 即，， 故，即，故， 解得， 又上存在关于坐标原点对称的两点，使得，故， 所以，即，所以，，解得， 综上，的离心率的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点与直线l：，圆C： （1）一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程； （2）过P点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据给定条件求出点P关于的对称点即可求出反射光线所在的直线方程. （2）分切线斜率是否存在进行讨论即可. 【小问1详解】 设点关于直线：的对称点坐标为， 则有，解得，即， 直线的方程为：，即， 因反射光线过点，而反射光线所在直线过点， 所以反射光线所在直线方程为. 【小问2详解】 圆C：即圆C：的圆心为，半径为， 过点且斜率不存在的直线为，显然到直线的距离，故满足题意； 设过点且斜率存在的直线的直线与圆C：相切， 则，解得，此时所求直线为，即； 综上所述，满足题意的切线方程为或. 16. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）经过点能否作一条直线，使直线与椭圆交于，两点，且使得是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的顶点及离心率即可得出椭圆方程； （2）当直线斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程，根据根与系数的关系建立 方程求斜率即可得解. 【小问1详解】 椭圆的顶点为，， 又，， ， 椭圆的方程为：． 【小问2详解】 当过点的直线斜率不存在时，显然不成立， 设直线的斜率为，则其方程为：，如图， 联立方程组，消去并整理， 得：， 由在椭圆内部可知，方程有两不等实根， 设， ，且点是线段的中点， ，， 故存在这样的直线，方程为：，即， 17. 已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为E. （1）求轨迹方程； （2）过点的直线与曲线E交于P，Q两点，若，其中O为坐标原点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式将点用的中点坐标和点坐标表示出来，再利用代入法即可求出轨迹方程； （2）联立直线与曲线E，利用韦达定理结合即可求出直线的方程，进而求出. 【小问1详解】 解：设的中点为， 的中点为，且 ，即 点在圆上 即 化简得： 所以的轨迹方程为： 【小问2详解】 解：设， 由直线过点且与圆有两个交点，所以直线的斜率存在且不为 设直线的方程为： 联立直线与圆的方程： 得： 解得： ， 由得： 即 化简得： 将韦达定理代入得： 解得：，符合题意 此时直线的方程为： 由圆的方程知，圆的圆心坐标为，半径为 在直线的方程中，当时，，即直线过圆心 所以 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法 ①直接法：将动点满足的（与斜率、距离、数量积等有关的，或由平面几何知识推出的）等量关系，直接坐标化，即可得到动点轨迹方程． ②定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等），可根据定义直接求，又称几何法，利用平面几何知识转化是关键． ③代入法：若动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知(或容易先确定的)曲线上，则可先用，的代数式表示，，再将，代入已知曲线即可得到要求的轨迹方程．又称相关点法或转移法． 18. 已知直线与抛物线相切，且切点为. （1）求直线的斜率的值； （2）如图，是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为定值，求出定值，若不是请说明理由 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）设直线的方程，与抛物线联立方程组，消去整理后，由，求的值； （2）由题意知，两直线的斜率互为相反数，设直线BM的方程，与抛物线联立方程组，求点坐标，同理得点坐标，表示出直线的斜率，化简得的值. 【小问1详解】 显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 与联立，消去x整理得， 令，即，解得 【小问2详解】 由题意知，两直线的斜率互为相反数， 设直线的方程为，与联立，消去x整理得， 所以，得，从而， 将换成，同理可得，所以 【点睛】关键点睛：本题的关键在于第二问中，由得到两直线的斜率互为相反数，再利用抛物线与直线联立借助韦达定理进行求解. 19. 设椭圆的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为，最小值为． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）过点F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PMQN的面积的最大值． 【答案】（I）； （Ⅱ）2. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题中条件列出关于a、c的方程组，解出a和c的值，可得出b的值，进而可得出椭圆E的标准方程； （Ⅱ）对直线PQ与直线MN的斜率是否都存在分两种情况讨论． ①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，求出这两条弦的长度，并求出此时四边形PMQN的面积； ②当直线PQ与直线MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，设点、，将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y，列出韦达定理，利用弦长公式得出|PQ|的表达式，同理得出|MN|的表达式，从而得出四边形PMQN面积的表达式，通过换元，利用函数相关知识求出四边形PMQN面积的取值范围．结合①②得出四边形PMQN面积的最大值． 【详解】（Ⅰ）设椭圆E的焦距为，则有，解得，∴， 因此，椭圆E的方程为； （Ⅱ）如下图所示，椭圆E的上焦点为． ①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，则，， 此时，四边形PMQN的面积为； ②当直线PQ、MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，则直线MN的方程为，设点、， 将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y得， ，由韦达定理可得，， ∴ ， 同理可得， 所以，四边形PMQN的面积为 ， 令，则， 所以， ∵，所以，，由二次函数的基本性质可知，当， 所以，． 综上所述，四边形PMQN的面积的最大值为2． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题的问题，同时也考查了弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $