精品解析：广东省广州市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

广州市第一中学2024学年第一学期期中考教学质量监测 （高二数学） 2024年11月 本试卷共4页，满分为150分.考试用时：120分钟. 注意事项： 1.　答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学号、和座位号填写在答题卡指定位置上. 2.　选择题每题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3.　非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按上以上要求作答的答案无效. 第一部分 选择题（共 58 分） 一、单选题:在每题给出的四个选项中，只有一项是最答题意的.本大题共8小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 直线（为实常数）的倾斜角的大小是 A. B. C. D. 2. 已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标为 A. B. C. D. 3. 如图在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，表示向量应为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，，若∥，则的值是 A. B. C. 或1 D. 1 5. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 6. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. 7. 对于任意实数，直线与点的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本大题共3小题，每小题 6 分，满分18 分.在每小题给出的四个选项中，有两项或两项以上符合题目要求.每小题未选、错选不得分，少选得部分分. 9. 现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提下，小球为红色”，则下列说法错误的有（ ） A. 发生的概率为 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 发生的概率为 10. 设为两个互斥的事件，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且为的中点，点是棱上的动点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值是 B. 三棱柱的外接球的表面积是 C. 当点是线段的中点时，三棱锥的体积是 D. 的最小值是2 第二部分 非选择题（共 92 分） 三、填空题：每小题5分，3小题共15分 12. 以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是_____． 13. 已知两点，，是直线外一点，则点到直线的距离__________. 14. 如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形的三个顶点，，. （1）求边的中垂线所在直线的方程； （2）求△ABC的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 17. 甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛．三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为．每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分． （1）求乙、丙各自闯关成功的概率； （2）求团体总分为4分的概率； （3）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组参加复赛的概率． 18. 在中，为直角，，点分别在边和上，且，如图甲.将沿折起到的位置，使，点在棱上，如图乙. （1）求证：平面； （2）若是的中点，求与平面所成角的大小； （3）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在正四棱锥中，，且． （1）求正四棱锥的体积； （2）若为侧棱上的点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点是侧棱（包含端点）上的一个动点，当直线与平面所成角最大时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第一中学2024学年第一学期期中考教学质量监测 （高二数学） 2024年11月 本试卷共4页，满分为150分.考试用时：120分钟. 注意事项： 1.　答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学号、和座位号填写在答题卡指定位置上. 2.　选择题每题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3.　非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按上以上要求作答的答案无效. 第一部分 选择题（共 58 分） 一、单选题:在每题给出的四个选项中，只有一项是最答题意的.本大题共8小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 直线（为实常数）的倾斜角的大小是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围可求得该直线的倾斜角. 【详解】设直线倾斜角为，直线的斜率为，所以， ，则. 故选：D. 【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，一般要求出直线的斜率，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将向量用表示出来，然后再与的关系式结合，即可找到向量在基底下的坐标． 【详解】由题意可得，故向量在基底{i，j，k}下的坐标为．故选A． 【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示与运算，是基础题． 3. 如图在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，表示向量应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意有，，又点是线段的中点，结合向量的线性运算及共线向量的运算即可得解. 【详解】解：∵在四面体中，分别在棱、上，且满足， ，点是线段的中点， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，重点考查了利用空间基底表示向量，属基础题. 4. 已知直线，，若∥，则的值是 A. B. C. 或1 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵∥，∴，∴=-2，故选A 考点：本题考查了两直线的位置关系 点评：熟练掌握两直线平行的充要条件是解决此类问题的关键，属基础题 5. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加法与空间向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】向量，，，又与互相垂直，，即，解得. 故选：C 6. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率. 详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 7. 对于任意实数，直线与点的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方程确定直线过的定点，再根据已知点和动直线的位置关系分情况讨论点与直线距离的最值，从而确定其取值范围. 【详解】根据题意，对于任意实数k，直线恒过(2，2)点， 点(2，2)和点(-2，-2)确定一条直线，其直线方程为 所以当直线与直线垂直时，d取得最大值 ； 当时， 即直线不过点(－2，-2)，d无最小值， 所以d的取值范围是，选项B正确； 故选：B. 8. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 . 故选：D. 【点睛】关键点睛：将甲最终获胜事件拆解为互斥事件的和，利用加法公式、乘法公式进一步得解. 二、多选题:本大题共3小题，每小题 6 分，满分18 分.在每小题给出的四个选项中，有两项或两项以上符合题目要求.每小题未选、错选不得分，少选得部分分. 9. 现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提下，小球为红色”，则下列说法错误的有（ ） A. 发生的概率为 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 发生的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据古典概型公式判断A，根据互斥事件的定义判断B，根据相互独立事件的定义判断C，对于D，分两种情况讨论，若取出颜色相同与颜色不同，分别计算出概率即可判断. 【详解】根据题意可得，故A错误；根据互斥事件的定义可知与不互斥，故B错误； 由题可得，，所以与相互独立，故C正确； 对于D，事件分为三类： 颜色都为白球,则混合后袋中有白球4个,红球6个,取出红球概率； 颜色都为红球,则混合后袋中有白球6个,红球4个,取出红球概率为； 颜色一红一白,则混合后袋中有白球5个，红球5个，取出红球概率为，故D不对， 故选：ABD 10. 设为两个互斥的事件，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的含义可知，判断;根据题意可知，从而，判断C;根据互斥事件的概率加法公式可判断D. 【详解】∵为两个互斥事件，, ∴，即，故A正确，B选项错误， ∵ 为两个互斥事件,则， ∴ 故C选项正确， ∵为两个互斥事件， ∴，故D选项正确． 故选∶． 11. 如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且为的中点，点是棱上的动点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值是 B. 三棱柱的外接球的表面积是 C. 当点是线段的中点时，三棱锥的体积是 D. 的最小值是2 【答案】AC 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算判断A，由棱柱的外接球半径与球的表面积公式判断B， 由线面平行关系与棱锥的体积公式判断C，在平面中，数形结合求的最小值后判断． 【详解】解：在直三棱柱中，是直角三角形，且，则， 则建立以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 对于：，， ， 故异面直线与所成角的余弦值是，故A正确； 对于：将直三棱柱补成直四棱柱， 可得三棱柱的外接球就是直四棱柱的外接球， 外接球半径， 故三棱柱的外接球的表面积是，故B错误； 对于：连接，则是的中点， 点是线段的中点， ， 平面，是棱上的动点， 点到平面的距离就是点到平面的距离， 又 ，故C正确； 对于：由选项C得是的中点， 则平面，平面，平面， 在中，，，且， 在平面中，建立以为原点，以为轴，以为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，，， 过作直线的对称点，当时， 此时的值最小，且为，也就是点到轴的距离， 设，可得的中点坐标为， 直线的方程为，即， ，解得，的最小值是，故D错误， 故选：． 第二部分 非选择题（共 92 分） 三、填空题：每小题5分，3小题共15分 12. 以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆与x轴相切及圆心坐标可得圆的半径，然后可得圆的方程. 【详解】因为圆与轴相切，所以半径为1，因为圆心，所以圆的方程为， 故答案为： 13. 已知两点，，是直线外一点，则点到直线的距离__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得的夹角，以及的模长，即可求得结果. 【详解】根据题意， 设的夹角为，故可得， 又，故可得， 则点到直线的距离. 故答案为：. 14. 如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是__________ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解. 【详解】连接，如下图， 由题意，，，正方形中， 正方形中，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角，则， ∴向量与向量夹角为，且，， 设，，，则， 且由题意， ∴， ， ∴， 令，，图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，取得最小值， 即最小值为， ∴的最小值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形的三个顶点，，. （1）求边的中垂线所在直线的方程； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率及中点坐标；再根据两直线垂直的性质得到中垂线所在直线的斜率；最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. （2）先求出直线的方程；再利用点到直线距离公式可得点到直线的距离，利用两点间距离公式可得，即可得出△ABC的面积. 【小问1详解】 ∵， ∴ ，中点坐标. ∴边的中垂线所在直线的方程：，即. 所以边的中垂线所在直线的方程为：. 【小问2详解】 ∵， ∴边所在直线方程为：，即. ∴点到直线的距离为： . ∵， ∴ ∴ . 所以求△ABC的面积为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明:因为四棱锥中， 底面，底面，且底面是正方形， 所以两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系， AI    则由题意可得，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取可得平面的一个法向量， 因为，又平面， 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可； （2）由点到面距离的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 17. 甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛．三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为．每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分． （1）求乙、丙各自闯关成功的概率； （2）求团体总分为4分的概率； （3）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组参加复赛的概率． 【答案】（1）乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为．（2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）由题意知三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为，设出乙闯关成功的概率和丙闯关成功的概率，列出两组闯关的概率的关系式，解方程，得到结果． （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，写出概率，把所有的概率的值相加，得到结果． （3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，在上一问已经做出总分是4分的概率，只要再做出总分是6分的概率即可，团体总分为6分，即3人都闯关成功，得到结果． 【详解】解：（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为， 甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为 设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为 乙丙独立闯关， 根据独立事件同时发生的概率公式得： 解得． 即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为． （2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关． 设“团体总分为4分”为事件， 则． 即团体总分为4分的概率为． （3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分， 设“团体总分不小于4分”为事件， 由（2）知团体总分为4分的概率为， 团体总分为6分，即3人都闯关成功的概率为． 所以参加复赛的概率为． 即该小组参加复赛的概率为． 18. 在中，为直角，，点分别在边和上，且，如图甲.将沿折起到的位置，使，点在棱上，如图乙. （1）求证：平面； （2）若是的中点，求与平面所成角的大小； （3）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）证明：在图甲中，， 在图乙中，， 又平面平面， 平面， 又平面， 平面； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据得到线面垂直，故，结合得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式进行求解； （3）设，则，从而求出平面的法向量，利用两平面夹角的向量公式列出方程，求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可如图建立空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为， 则令，得. 设与平面所成角的大小为， 则， ，即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 . 设，则. 设平面的法向量为， 则，解得， 令，得，故， 由题知， 解得或， 所以的值为或. 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在正四棱锥中，，且． （1）求正四棱锥的体积； （2）若为侧棱上的点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点是侧棱（包含端点）上的一个动点，当直线与平面所成角最大时，求的值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题设可求，再根据体积公式可求几何体的体积； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求面面角的余弦值； （3）设，则利用向量可得线面角的正弦与的关系，利用二次函数的性质可求角何时最大值，故可得线段的比值. 【小问1详解】 设和相交于点，取的中点为，连接， 因为，故的夹角即为的夹角， 故， 所以，所以， 所以正四棱锥的体积． 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为在上，且平面， 所以平面的一个法向量为， 又因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 因为点是侧棱（包含端点）上的一个动点，则， 设，由，得， 所以 因为点在上，所以平面的法向量就是平面的法向量， 设平面的一个法向量为，， 因为，且，所以，可以取， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以当时，取得最大值， 此时直线与平面所成角最大，所以，所以的值等于3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $