第一章 重点题型强化（二）与圆有关的最值-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

[学习目标] 知识层面 1．能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题．　2．初步了解代数方法处理几何问题的思想. 素养层面 通过处理与圆有关的最值问题，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养. 题型一　与距离有关的最值问题 (1)(2024·广东广州高二联考)已知点P(－5，12)，Q是圆O：x2＋y2＝4上的动点，则线段PQ长的最小值为(　　) A．14 B．13 C．12 D．11 (2)(2024·贵州铜仁高二质量监测)已知直线l：x＋y－2＝0和圆O：x2＋y2＝1，若点P在圆O上运动，则其到直线l的最短距离为(　　) A．－1 B．＋1 C． D．2 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)由圆O方程知：圆心O(0，0)，半径r＝2，所以|OP|＝＝13，所以|PQ|min＝|OP|－r＝13－2＝11.故选D. (2)圆O：x2＋y2＝1的圆心O(0，0)，r＝1，所以O点到直线l：x＋y－2＝0的距离为d＝＝＞r，知直线l与圆O相离，由点P在圆O上运动，则其到直线l的最短距离为d－r＝－1.故选A. 规律方法 1．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 2．定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值． 对点练1．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，则由点M(a，b)向圆C所作的切线中，切线长的最小值是(　　) A．2 B． C．3 D． 答案：B 解析：因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，所以圆心为C(1，－2)，半径r＝2.因为圆C关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，所以圆心在直线l上，所以l：3a－4b＋4＝0，所以点M(a，b)在直线l1：3x－4y＋4＝0上，所以|MC|的最小值d＝＝3，故切线长的最小值为＝ ＝.故选B. 题型二　与面积有关的最值问题 (1)已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为(　　) A．1 B． C． D． 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，O(0，0)，A(0，2)，OA所在的直线是y轴，当点M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，又点M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，则△OAM面积的最小值S＝×|OA|×d＝1.故选A. (2)设圆心到直线的距离为d(0＜d＜1)，则所截得的弦长l＝2，所以S△OAB＝·2·d＝，由基本不等式，可得S△OAB＝≤＝，当且仅当d＝时，等号成立．故选B. 规律方法 求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解． 对点练2．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案：A 解析：如图所示，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，所以|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，所以S四边形ABCD＝|AC|·|BD|≤×10＝5，当且仅当|AC|＝|BD|＝时，等号成立，所以四边形ABCD面积的最大值为5.故选A. 题型三　利用几何意义解与圆有关的最值问题 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上． (1)求的最大值和最小值； (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； (3)求x＋y的最大值与最小值． 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. (1)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图①所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为. (2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1，0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图②所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11. (3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图③所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. 　　 规律方法 1．求形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． 2．求形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题． 对点练3．(多选题)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是(　　) A．y－x的最大值为 －2 B．x2＋y2的最大值为7＋4 C．的最大值为 D．x＋y的最大值为2＋ 答案：AB 解析：对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤ ，解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值为－2，故A正确；对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上一点的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，故B正确；对于C，设＝k，把y＝kx代入圆的方程得(1＋k2)x2－4x＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤ ，则的最大值为，故C错误；对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤ ，解得－＋2≤m≤ ＋2，所以x＋y的最大值为＋2，故D错误．故选AB. 学生用书第39页 学科网（北京）股份有限公司 $$