6.2 离散型随机变量及其分布列-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§2　离散型随机变量及其分布列 [学习目标] 知识 层面 1．通过具体实例，了解离散型随机变量的概念．　2．理解离散型随机变量分布列的表示方法和性质． 3．通过具体实例，了解伯努利试验，理解两点分布. 素养 层面 通过对随机变量、离散型随机变量及分布列的有关概念的学习，培养数学抽象素养；借助用随机变量描述随机现象，培养数学建模素养；借助求离散型随机变量的分布列，培养数学运算素养. 知识点一　随机变量 问题1　下述现象有哪些共同特点？ (1)某人在射击训练中，射击一次，命中的环数X是1，2，3，…10中的某一个数； (2)抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2，3，4，5，6中的某一个数； (3)新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某一个数． 提示：上述现象中的X，Y，Z，实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定的实数，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系． 随机变量 定义 在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量 表示 随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示 微思考　任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？ 提示：可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字． 学生用书第143页 角度1　随机变量的判断 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)北京国际机场候机厅中2024年5月1日的旅客数量； (2)2024年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (3)2024年6月1日上海到北京的某次动车到北京站的时间； (4)体积为1 000 cm3的球的半径长． 解：(1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量． (2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量． (3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量． (4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量． 规律方法 随机变量X满足三个特征：(1)可以用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值． 对点练1．下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)任意掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数； (2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)； (3)标准大气压下，水沸腾的温度． 解：(1)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，因此是随机变量． (2)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量． (3)标准大气压下，水沸腾的温度100 ℃是定值，所以不是随机变量． 角度2　用随机变量表示随机试验的结果 (链教材P190例1)写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 解：(1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11， X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，…，11. (2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3，4，5，…，11. X＝3，表示取出标有1，2的两张卡片； X＝4，表示取出标有1，3的两张卡片； X＝5，表示取出标有2，3或标有1，4的两张卡片； … X＝11，表示取出标有5，6的两张卡片． 规律方法 1．解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1，2，…，11所表示的结果不需要分别列出来，引入变量i，可写成X＝i. 2．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果． 对点练2． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ； (2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟． 解：(1)ξ可取3，4，5. ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3； ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4； ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5. (2)ξ的可能取值为区间[0，59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间． 学生用书第144页 知识点二　离散型随机变量 问题2　观察下面的随机变量，你能发现有什么异同点吗？ (1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X； (2)抛掷两枚骰子，所得点数之和ξ； (3)某一自动装置无故障运转的时间T； (4)电灯泡的寿命X. 提示：(1)(2)的随机变量取值可以一一列举出来，(3)(4)随机变量取值不可以列举出来． 离散型随机变量：取值能够一一列举出来的随机变量，称为离散型随机变量． 微思考　离散型随机变量的取值一定是有限个吗？ 提示：不一定．可以是无限个，如1，2，3，…，n，…. 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)某超市5月份每天的销售额； (2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； (3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ. 解：(1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量． (2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． (3)不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举． 规律方法 判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的方法 1．明确随机试验的所有可能结果． 2．将随机试验的试验结果数量化． 3．确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 对点练3．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)从20张已编好号码的卡片(从1号到20号)中任取1张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度． 解：(1)只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片可能的号数可以一一列出，是离散型随机变量． (2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球．即其结果可以一一列出，是离散型随机变量． (3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量． 知识点三　离散型随机变量的分布列 问题3　在掷一枚骰子的随机试验中，X 表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 提示：列成表的形式 X 1 2 3 4 5 6 P 1．离散型随机变量X的分布列 (1)定义：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…)①，把①式列成如下表： xi x1 x2 … xn … P(X＝xi) p1 p2 … pn … 上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列． 如果随机变量X的分布列为上述表或①式，我们称随机变量X服从这一分布列，并记作X～. (2)性质：在离散型随机变量X的分布列中， ①pi>0(i＝1，2，…，n，…)； ②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1. 2．伯努利试验 若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1－p，则称这样的试验为伯努利试验． 学生用书第145页 3．两点分布 如果随机变量X的分布列如表 X 1 0 P p q 其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布)． 两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率分布模型，在实际生活中有着广泛的应用． 微思考　在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为什么为1? 提示：因为离散型随机变量所有取值对应的事件之和是必然事件，所以所有概率之和为1. (链教材P194例5)一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码． (1)求X的分布列； (2)求X的取值不小于4的概率． 解：(1)依题意知随机变量X的可能取值为3，4，5，6， P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝；P(X＝6)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 3 4 5 6 P (2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝. [变式探究] (变设问)本题已知条件不变，以X表示取出球的最小号码，求X的分布列． 解：随机变量X的可能取值为1，2，3，4. 当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2，3，4，5，6的5个球中取，故有P(X＝1)＝＝； 当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3，4，5，6的4个球中取，故有P(X＝2)＝＝； 当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能在编号为4，5，6的3个球中取，故有P(X＝3)＝＝； 当X＝4时，即取出的3个球中最小号码为4，则其他2个球只能在编号为5，6的2个球中取，故有P(X＝4)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 规律方法 求离散型随机变量分布列的一般步骤 第一步：确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义； 第二步：利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…)； 第三步：写出分布列； 第四步：根据分布列的性质对结果进行检验． 对点练4．现有来自甲班的3名学生、乙班的4名学生，从中任选2名，设所选2名学生中甲班的学生数为X. (1)求X的分布列； (2)求所选2人中甲班学生数不少于1人的概率． 解：(1)由题意知X的所有可能取值为0，1，2. 所以P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (2)由分布列知P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝. 即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为. 分布列的性质及应用 设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5)． (1)求常数a的值； (2)求P. 解：由题意知，所给分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 解得a＝. (2)法一：P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝. 法二：P＝1－P＝1－＝. [变式探究] 　(变设问)本例条件不变，求P. 解：因为<X<，所以X＝，，. 所以P＝P＋P＋P＝＋＋＝. 学生用书第146页 规律方法 分布列的性质及其应用 1．利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． 2．求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 对点练5．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列． 解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 |X－1| 1 0 1 2 3 从而由上表得两个分布列为 (1)2X＋1的分布列 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X－1|的分布列 |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 知识 1．随机变量的概念、特征.2．离散型随机变量的概念.3．离散型随机变量的分布列的概念及其性质.4．两点分布 方法 转化化归 易错 误区 随机变量的取值不明确导致分布列求解错误 1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　) A．取到产品的件数 B．取到次品的件数 C．取到正品的概率 D．取到次品的概率 答案：B 解析：取到次品的件数可能为0，1，2是随机的，可作为随机变量．故选B. 2．下列叙述中，X不可以做离散型随机变量的是(　　) A．某座大桥一天经过的车辆数X B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X C．一天之内的温度X D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分 答案：C 解析：A、B、D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的．故选C. 3．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是(　　) A． X 0 1 2 P 0.7 0.15 0.15 B． X －2 0 2 4 P 0.5 0.2 0.3 0 C． X 1 2 3 P lg 1 lg 2 lg 5 D． X 1 2 3 P － 答案：D 解析：D选项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点，所以D选项不是随机变量的分布列． 4．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P＝ ． 答案： 解析：设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为个．所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以P＝P(X＝1)＝． 课时测评41　离散型随机变量及其分布列 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．袋中有2个黑球和6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　) A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率 答案：B 解析：袋中有2个黑球和6个红球，从中任取2个，取到的球的个数是一个固定的数字，不是随机变量，故A不正确；取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故C不正确；至少取到一个红球的概率是一个古典概型的概率问题，不是随机变量，故D不正确．故选B. 2．袋中装有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　) A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7 C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5 答案：B 解析：因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球．所以取球次数可以是1，2，3，…，7.故选B. 3．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(　　) A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 答案：D 解析：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以{ξ＝3}有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选D. 4．(多选题)下列选项中的随机变量服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，所得点数X B．某射击手射击一次，击中目标的次数X C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数X 答案：BCD 解析：由题意可知B、C、D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布．故选BCD． 5．设随机变量X的分布列如表所示，则P(|X－1|≤1)等于(　　) X －1 0 1 2 P m A． B． C． D． 答案：C 解析：由分布列的性质可得＋m＋＋＝1，则m＝，P(|X－1|≤1)＝P(0≤X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝.故选C. 6．若随机变量η的分布列如表： η －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是(　　) A．x≤1 B．1≤x≤2 C．1<x≤2 D．1≤x<2 答案：C 解析：由分布列知，P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，所以P(η<2)＝0.8，故1<x≤2．故选C. 7．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码所用的次数为X，随机变量X的可能值有 个． 答案：24 解析：后3个数是从6，7，8，9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个)． 8．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝ ． 答案：0.8 解析：由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8． 9．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 1－2q q 则P(∈Z)＝ ． 答案：0.9 解析：由分布列的性质得1－2q≥0，q≥0，且＋1－2q＋q＝1，解得q＝0.3，所以P(∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋1－2×0.3＝0.9． 10．(12分)某城市为了加快“两型社会”(资源节约型、环境友好型)的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙两人不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列． 解：(1)由题意得，甲、乙两人在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 租车费用相同，即两人都在同一时间段还车， 记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A， 则P(A)＝×＋×＋×＝， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为. (2)由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且 P(X＝0)＝×＝； P(X＝2)＝×＋×＝； P(X＝4)＝×＋×＋×＝； P(X＝6)＝×＋×＝； P(X＝8)＝×＝. 所以X的分布列为 X 0 2 4 6 8 P (11，12每小题5分，共10分) 11．一个袋中装有4个红球、3个黑球，小明从袋中随机取球，记取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，因为P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝．故选A. 12．(多选题)已知随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，其中a是常数，则下列结论正确的是(　　) A．P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1 B．a＝ C．P(0≤X＜2)＝ D．以上均不正确 答案：ABC 解析：根据题意，随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，则有P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝1，解得a＝，则P(0≤X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.所以A、B、C正确．故选ABC. 13．(13分)有2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列． 解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A， 则P(A)＝×＝. (2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200，300，400， 则P(X＝200)＝＝； P(X＝300)＝＝； P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝. 故X的分布列为 X 200 300 400 P 14．(5分)如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为0～50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51～100，空气质量级别为二级；空气污染指数为101～150，空气质量级别为三级．某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天．设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则P(X>1)等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由题意知，X的取值范围为{0，1，2}，空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，P(X>1)＝P(X＝2)，即要连续两天的空气质量级别不超过二级，所以此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，所以P(X>1)＝P(X＝2)＝.故选C． 15．(15分)连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用X表示掷出的点数之和，试求X的分布列． 解：用(i，j)表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数． 于是，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有36种结果，结果如表： 　　第二次 第一次　　 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 显然，这36种结果发生的概率是相同的，都是. 由上表，X的可能取值为2，3，…，12， 使X＝2有1种：(1，1)，则P(X＝2)＝. 使X＝3有2种：(1，2)，(2，1)，则P(X＝3)＝. 使X＝4有3种：(1，3)，(2，2)，(3，1)，则P(X＝4)＝. 使X＝5有4种：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，则P(X＝5)＝. 使X＝6有5种：(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，则P(X＝6)＝. 使X＝7有6种：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)， 则P(X＝7)＝. 使X＝8有5种：(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，则P(X＝8)＝. 使X＝9有4种：(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)，则P(X＝9)＝. 使X＝10有3种：(4，6)，(5，5)，(6，4)，则P(X＝10)＝. 使X＝11有2种：(5，6)，(6，5)，则P(X＝11)＝. 使X＝12有1种：(6，6)，则P(X＝12)＝. 故X的分布列为 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 学生用书第147页 学科网（北京）股份有限公司 $$