第6章 §2 离散型随机变量及其分布列(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　离散型随机变量及其分布列 情境导入 课程标准 　　 在射击运动中,运动员射击一次,可能出现不中靶,命中1环,……,命中10环等结果,若用变量X表示他一次射击所命中的环数。则变量X的取值情况如何? 1.理解随机变量、离散型随机变量的概念,会在实际问题中恰当地定义随机变量。 2.理解并掌握离散型随机变量的分布列及其性质,会求随机变量取某些值时的概率。 自主预习明新知 1.随机变量 (1)定义:在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示。在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化。像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量。 (2)表示:随机变量常用字母X,Y,ξ,η等来表示。 2.离散型随机变量 定义:取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量。 3.离散型随机变量的分布列 (1)定义:若离散型随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,…,随机变量X取xi的概率为pi(i=1,2,…,n,…),记作P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…)　①。 ①式以表格的形式表示如下: xi x1 x2 … xn … P(X=xi) p1 p2 … pn … 这个表格或①式称为离散型随机变量X的分布列,简称为X的分布列。 (2)性质 ①pi>0,i=1,2,…,n,…; ②p1+p2+…+pn+…=1。 4.两点分布 如果随机变量X的分布列如表: X 1 0 P p q 其中0<p<1,q=1-p,那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0-1分布或伯努利分布)。 微思考 1.所有的随机变量的取值都能一一列举吗? 提示:不一定。 2.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗?其概率之和可以小于1吗? 提示:离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生,是彼此互斥的。其概率之和是1,不能小于1。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　随机变量的概念 　　【例1】　(1)(多选)抛掷一枚质地均匀的硬币一次,不能作为随机变量的是 (ACD) A.抛掷硬币的次数 B.出现正面的次数 C.出现正面或反面的次数 D.出现正面和反面的次数之和 解析　抛掷一枚硬币一次,可能出现的结果是正面向上或反面向上,以某一个为标准,如正面向上的次数来描述这一随机试验,那么正面向上的次数就是随机变量ξ,ξ的取值是0,1,故B项为随机变量;而A项中抛掷次数就是1,不是随机变量;C项中标准不明;D项中,出现正面和反面的次数之和为抛掷硬币的次数,也不是随机变量。 (2)(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是 (AB) A.从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被取出的卡片的号数 B.一个袋中装有9个正品和1个次品,从中任取3个,其中所含正品的个数 C.某林场树木最高达30 m,则此林场中树木的高度 D.某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差 解析　A项,只要取出一张,便有一个号码,因此被取出的卡片号数可以一一列出,符合离散型随机变量的定义;B项,从10个产品中取3个产品,所得的结果有以下几种:3个正品,2个正品和1个次品,即其结果可以一一列出,符合离散型随机变量的定义;C项,林场树木的高度是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值,无法一一列举,不是离散型随机变量;D项,实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,不是离散型随机变量。 　　1.判断一个试验是否是随机试验,可根据这个试验是否满足随机试验的三个条件,即(1)试验在相同条件下是否可重复进行;(2)试验的所有可能的结果是否是明确的,并且试验的结果不止一个;(3)每次试验的结果恰好是一个,而且在每一次试验前无法预知出现哪个结果。 2.判断是否为离散型随机变量的关键是离散型随机变量X的可能取值为有限个或可以一一列出。 【变式训练】　一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为X。 (1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值; (2)若规定抽取的3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后结果都加上6分,求最终得分η的可能取值,并判定η是否为离散型随机变量。 解　(1)列表如下: X 0 1 2 3 结果 取得3个 黑球 取得1个 白球,2个 黑球 取得2个 白球,1个 黑球 取得3 个白球 　　(2)由题意可得η=5X+6,而X的可能取值为0,1,2,3,所以η对应的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6。故η的可能取值为6,11,16,21。显然η为离散型随机变量。 类型二　分布列的性质及应用 　　【例2】　设随机变量X的分布列为PX==ak(k=1,2,3,4,5)。 (1)求常数a的值; (2)求P。 解　由题意,所给分布列为 X P a 2a 3a 4a 5a 　　(1)由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=。 (2)P=P+PX=+P=++=,或P=1-P=1-=。 　　【互动探究】　(变换所求)例2条件不变,求P。 解　因为<X<,所以X=,,。所以P=P+P+P=++=。 　　应熟悉分布列的基本性质:若随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,取这些值的概率为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,则①pi≥0,i=1,2,…,n,②p1+p2+…+pn=1。此外,利用分布列的性质检验所求分布列的正误,是非常重要的思想方法。③一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 【变式训练】　若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 9c2-c 3-8c 　　试求出离散型随机变量X的分布列。 解　由已知可得9c2-c+3-8c=1,所以9c2-9c+2=0,所以c=或c=。检验:当c=时,9c2-c=9×-=>0,3-8c=3-=>0;当c=时,9c2-c=9×->1,3-8c=3-<0(不适合,舍去)。故c=。故所求X的分布列为 X 0 1 P 类型三　离散型随机变量的分布列 　　命题方向1:求分布列 　　【例3】　有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入座编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法。 (1)求n的值; (2)求随机变量X的分布列。 解　(1)因为当X=2时,有种坐法,所以=6,即=6,n2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4。 (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,由题意知X的可能取值是0,2,3,4,所以P(X=0)==,P(X=2)===,P(X=3)===,P(X=4)=1---=,所以X的分布列为 X 0 2 3 4 P 　　求离散型随机变量的分布列需注意的问题 分布列的结构为两行,第一行为随机变量X所有可能取得的值,第二行是对应随机变量X的值的事件发生的概率。看每一列,实际上是上为“事件”,下为“事件发生的概率”,只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的。每完成一列,就相当于求出相应随机事件发生的概率。 【变式训练】　袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回,直到取出白球为止,求取球次数X的分布列。 解　X的可能取值为1,2,3,4,5,则第1次取到白球的概率为P(X=1)=,第2次取到白球的概率为P(X=2)==,第3次取到白球的概率为P(X=3)==,第4次取到白球的概率为P(X=4)==,第5次取到白球的概率为P(X=5)==,所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 　　命题方向2:分布列的实际应用 　　【例4】　在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下面两个表所示。 作物产量/kg 400 500 概率 0.6 0.4 作物市场价格/(元/kg) 5 6 概率 0.5 0.5 　　(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润(单位:元),求X的分布列(利润=产量×市场价格-成本); (2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中的利润都在区间(1 200,1 600)内的概率。 解　(1)设A表示事件“作物产量为400 kg”,B表示事件“作物市场价格为5元/kg”,由题设知,P(A)=0.6,P()=0.4,P(B)=0.5,P()=0.5。因为利润=产量×市场价格-成本,所以X的所有可能取值为400×5-1 000=1 000,400×6-1 000=1 400,500×5-1 000=1 500,500×6-1 000=2 000。P(X=1 000)=P(A)P(B)=0.6×0.5=0.3,P(X=1 400)=P(A)P()=0.6×0.5=0.3,P(X=1 500)=P()P(B)=0.4×0.5=0.2,P(X=2 000)=P()P()=0.4×0.5=0.2。所以X的分布列为 X 1 000 1 400 1 500 2 000 P 0.3 0.3 0.2 0.2 　　(2)由(1)得,每一季利润在区间(1 200,1 600)内的概率为0.3+0.2=0.5,故这3季中的利润都在区间(1 200,1 600)内的概率为0.53=0.125。 　　求离散型随机变量分布列时应注意的问题:(1)确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X取每一个值对应的随机事件,进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率。(2)在求离散型随机变量X的分布列时,要充分利用分布列的性质,这样不但可以减少运算量,还可以验证分布列是否正确。 【变式训练】　某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确得0分,第三个问题回答正确得20分,回答不正确得-10分。如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是,回答第三个问题正确的概率为,且各题回答正确与否相互之间没有影响。若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功。 (1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列。 (2)求这位挑战者闯关成功的概率。 解　(1)这位挑战者回答这三个问题的总得分X所有可能的取值为-10,0,10,20,30,40,P(X=-10)=××=,P(X=0)=×××=,P(X=10)=2×=,P(X=20)=××=,P(X=30)=×××=,P(X=40)=2×=。所以X的分布列为 X -10 0 10 20 30 40 P 　　(2)依题意总分不低于10分就算闯关成功,所以这位挑战者闯关成功的概率P=P(X≥10)=1-P(X≤0)=1--=。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.下列表格中,不是某个随机变量的分布列的是 (C) A. X 0 1 2 P 0.7 0.15 0.15 B. X -2 0 2 4 P 0.5 0.2 0.3 0 C. X 1 2 3 P - D. X 1 2 3 P lg 1 lg 2 lg 5 解析　C项中,P(X=1)<0不符合P(X=xi)≥0的特点,也不符合P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1的特点。所以C项不是随机变量的分布列。 2.(多选)下列变量中,不是离散型随机变量的是 (ABC) A.到2020年5月1日止,我国被评定为“人类非物质文化遗产”的项目数 B.一只刚出生的大熊猫,一年以后的身高 C.某人在车站等出租车的时间 D.某人投篮10次,可能投中的次数 3.已知X,Y均为离散型随机变量,且X=2Y,若X的所有可能取值为0,2,4,则Y的所有可能取值为 0,1,2 。  解析　由题意Y=X且X∈{0,2,4},得Y∈{0,1,2}。 4.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2。令Y=3X-2,则P(Y=-2)= 0.8 。  解析　因为Y=3X-2,所以当Y=-2时,X=0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=0.8。 5.某小组共10人,利用假期参加义工活动。已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4。现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会。 (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率; (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列。 解　(1)由题意得,P(A)==。所以事件A发生的概率为。 (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2。P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==。所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 学科网（北京）股份有限公司 $$