第六章 3.1 离散型随机变量的均值-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册北师大版(教师用书)

令学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #53离散型随机变量的均值与方差 3.1离散型随机变量的均值 学业标准 素养目标 1.理解离散型随机变量均值的意义，能计算 1.通过均值概念的学习，培养数学抽象等核 简单随机变量的均值.（重点）】 心素养 2.会利用离散型随机变量的均值解决一些相 2.通过均值的应用， 提升数学运算等核心素 关的实际问题.（难点、重点） 养 课前案必备知识· 自主学习 /通数材·师新知·素养初成 [教材梳理] 导学离散型随机变量的均值 阿圈某商贩有12个西瓜.其中4个重5kg,3个重6kg,5个重7kg (1)任取一个西瓜.用X表示这个西瓜的质量，试想X可以取哪些值？ (2)X取上述值时对应的概率分别是多少？ (3)12个西瓜的平均质量该如何求？ [提示](1)X=5,6.7. (2)13.14.512. (3)5×4+6×3+7×512=5×13+6×14+7×512=7312kg) ⊙结论形成 1.离散型随机变量的均值 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列如表： X1 X2 X Xn P p1 p2 Q Pn 则称EX=-X1P1十X2P2十十XP十十XnPn- 为随机变量X的均值或数学期望（简称期望） (2)意义：均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均 水平，是随机变量X的一个重要特征 2.离散型随机变量均值的性质 若Y=aX+b.其中a.b为常数.X是随机变量，(1)Y也是随机变量，(2)(aX+b)= aEX+b. [基础自测] 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×"） (1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化.() (2)随机变量的均值反映样本的平均水平，() (3)若随机变量X的数学期望EX=2,则E(20=4.( ·独家授权侵权必究 享学科网书城圆 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (4)随机变量X的均值EX=x1+x2+..十Xnn.( 答案(1)×(2)×(3)N(4)× 2.已知随机变量X的分布列为： X 2 P 0.2 0.5 m 则X的均值是( A.2 B.2.1 C.2.3 D.随m的变化而变化 解析由0.2+0.5+m=1得m=0.3. .EX=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1,故选B. 答案B 3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.已知命中的概率为0.8， 则罚球一次得分X的期望是 解析因为PX=1)=0.8.PX=0)=0.2.所以EX=1×0.8+0×0.2=0.8 答案0.8 4.已知某一随机变量X的分布列如下表： 3 6 8 P 0.2 0.5 则EX=6,则a= b= 解析由0.2+0.5+a=1.得a=0.3 又由EX=3×0.2+b×0.5+8×a=6. 得b=6. 答案0.36 丫课堂案关键能力·互动探究 /觅规律·情方法·素养提刀 题型一离散型随机变量均值的定义与性质 例如已知随机变量X的分布列如下： X -2 1 0 1 2 14 13 15 m 120 (1)求m的值： (2)求EX: (3)若Y=2X-3,求EY, [解析](1)由随机变量分布列的性质，得14+13+15+m+120=1, 解得m=16. (2)EX=(-2)×14+(-1)×13+0×15+1×16+2×120=-1730 (3)解法一（公式法）由公式E(aX+b)=aEX+b.得EY=E(2X-3)=2EX-3=2×1 a1s41a/1co1(-1f1730)-3=-6215. ·独家授权侵权必究* 享学科网书城圆 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解法二（值接法） 由干Y=2X一3，所以Y的分布列如下： P -7 -5 -3 -1 1 P14 13 15 16 120 所以EY=(-7)×14+(-5)×13+(-3)×15+(-1)×16+1×120=-6215. [规律方法] 1.该类题目属干已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式EX=X1P1十X2P2 +..十Xnpn求解.K 2.对干aX+b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX十b)=aEX+b:也可 以先列出X+b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便 [触类旁通] 1.设随机变量的分布列为 0 1 2 P p3 p3 1-23p 则ξ的数学期望的最小值是( A.12 B.0 C.2 D.随p的变化而变化 解析由分布列的性质得 \fp323pp\rc\3p)=1.解得0≤p≤32， Eξ=p3×1+1a1s41a/小co1(1-1f2p3)×2=-p+2, ∴