5.4.2 二项式系数的性质-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

4.2　二项式系数的性质 [学习目标] 知识 层面 1．了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数．　2．理解二项式系数的性质并灵活运用．　3．掌握“赋值法”并会灵活应用. 素养 层面 通过对二项式系数的性质的应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的素养. 知识点一　杨辉三角 问题1　根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？ 提示：1，7，21，35，35，21，7，1. 1．在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等． 2．在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，即C＝C＋C． 在杨辉三角中，每个数值是它“肩上”的两个数之和，这个三角形中开头几行如图所示． 1　1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　6　4　1 问：在杨辉三角中的某一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5吗？ 解：杨辉三角的第n行是二项式(a＋b)n展开式的二项式系数，即C，C，C，…，C，…，C.如果第n行中有三个连续的系数之比为3∶4∶5，那么就有一个正整数k，使得 从而有 即解得 所以在第62行中存在连续的三个数C，C，C，它们的比为3∶4∶5. 规律方法 1．本题的突破口在于找到了(a＋b)n展开式的二项式系数为C，C，C，…，C，…，C. 2．解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察，找出每一行数据间的相互联系，以及行与行间数据的相互联系，然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．注意观察方法，横看、竖看、连续看、偏行看，从多角度观察． 对点练1． 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一列数：1，2，3，3，6，4，10，…，在这列数中，第10个数是________． 答案：6 解析：由题图知，第1个数是C，第2个数是C，第3个数是C，第4个数是C……第9个数是C，第10个数是C＝6. 知识点二　二项式系数的增减性与最值 问题2　怎样找二项展开式中的二项式系数的最大值？ 提示：＝.当k<时，>1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k>时，二项式系数逐渐减小． 1．增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的． 2．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数Cn最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn，C2相等，且同时取得最大值． 学生用书第130页 [微提醒]　(1)当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，有一项. (2)当n为奇数时，中间项的二项式系数最大，有两项． 已知展开式前三项的二项式系数的和等于37，求： (1)展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)展开式中系数最大的项． 解：(1)依题意，C＋C＋C＝37，得n＝8. 所以二项式为. 所以展开式中第5项的二项式系数最大，T5＝C×24x4＝x4， 所以展开式中二项式系数最大的项的系数为. (2)设二项展开式的第k＋1项的系数最大， 则 解得7≤k≤8， 所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项． 则T8＝C×27x7＝28x7，T9＝C×28x8＝28x8. 规律方法 1．求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得系数的最大项． 对点练2．(1)在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 (2)若展开式中的第6项系数最大，则其常数项为(　　) A．45 B．120 C．210 D．252 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故＋1＝4，得n＝6.故选B. (2)由题意，得2n＝10，易知n＝5，由Tk＋1＝C()10－k＝Cx，令30－5k＝0，得k＝6，故其常数项为C＝210.故选C. 知识点三　各二项式系数的和 问题3　在二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？ 提示：C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 1．C＋C＋…＋C＝2n． 2．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． 的展开式中所有二项式系数的和是________；展开式中所有偶数项的二项式系数和是________(用数字作答)． 答案：256　128 解析：的展开式中所有二项式系数的和是28＝256，展开式中所有偶数项的二项式系数和是27＝128. 规律方法 (a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为2n. 对点练3．已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) A．210 B．211 C．212 D．512 答案：D 解析：由题意，得C＝C，解得n＝10，因为各二项式系数之和为210，所以(1＋2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29＝512.故选D. 应用一　二项展开式的系数和问题 设(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024(x∈R)． (1)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 024的值． 解：因为(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024， (1)令x＝0，得(1－0)2 024＝a0，因此a0＝1. (2)令x＝1，得(1－2)2 024＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 024， 所以a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1，又a0＝1， 所以a1＋a2＋…＋a2 024＝0. 学生用书第131页 [变式探究] 1．(变设问)若本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|. 解：因为(1－2x)2 024的展开式中偶数项的系数为负值， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 024| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023＋a2 024. 令x＝－1， 得32 024＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023＋a2 024， 故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|＝32 024. 2．(变设问)若本例条件不变，试求a1＋a3＋…＋a2 023的值． 解：分别令x＝－1，x＝1，得 由②－①，得1－32 024＝2(a1＋a3＋…＋a2 023)． 所以a1＋a3＋…＋a2 023＝. 规律方法 求展开式的各项系数之和常用赋值法 “赋值法”是求二项展开式的系数和问题常用的方法，根据题目要求，灵活给字母赋不同的值． 1．一般地，要使二项展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和． 2．三项的可以直接令x＝1，也可以转化二项之后再赋值． 3．有两个变量x，y的可以令x＝y＝1得所有项系数之和． 对点练4．若(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2等于(　　) A．－32 B．32 C．－243 D．243 答案：D 解析：设f(x)＝(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，由已知可得f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243，因此(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5)(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)＝243. 故选D. 应用二　整除和余数问题 (1)试求2 01910除以8的余数； (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除． 解：(1)2 01910＝(8×252＋3)10. 因为其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， 所以2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同． 又因为310＝95＝(8＋1)5， 其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， 所以310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1. (2)证明：32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82.① ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除． 规律方法 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 对点练5． 求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N＋)能被25整除． 证明：原式＝4·6n＋5n－4＝4(5＋1)n＋5n－4 ＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C)＋5n－4 ＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋4C·51＋4C＋5n－4 ＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋20n＋4＋5n－4 ＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋25n. 以上各项均为25的整数倍， 故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除． 知识 1．杨辉三角.2．二项式系数的增减性与最值.3．二项式系数之和与二项展开式各项系数之和.4．整除和余数问题 方法 赋值法 易错 误区 系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数 1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 答案：D 解析：因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5.所以n＝8.故选D. 2．(1－x)7的展开式中，系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 答案：C 解析：(1－x)7展开式共有8项，其中中间项有两项，第4项和第5项系数的绝对值最大，但第4项系数是负的．故选C. 3．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 024＋a能被13整除，则a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 答案：D 解析：512 024＋a＝(13×4－1)2 024＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 024＋a能被13整除． 4．(2x－1)6展开式中各项系数的和为__________，各项的二项式系数的和为________． 答案：1　64 解析：令x＝1，得各项系数的和为1；各项的二项式系数之和为26＝64. 课时测评37　二项式系数的性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　) A．5 B．8 C．10 D．15 答案：A 解析：(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5.故选A. 2．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　) A．10 B．20 C．30 D．120 答案：B 解析：由2n＝64，得n＝6，所以Tk＋1＝Cx6－k＝Cx6－2k(0≤k≤6，k∈N)．由6－2k＝0，得k＝3.所以T4＝C＝20.故选B. 3．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是(　　) A．－2 048 B．－1 023 C．－1 024 D．1 024 答案：C 解析：(x－1)11＝Cx11＋Cx10(－1)1＋Cx9·(－1)2＋…＋(－1)11，偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024.故选C. 4．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n＝4，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝(　　) A．256 B．136 C．120 D．16 答案：A 解析：令x＝－1，得a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝[3－(－1)]4＝44＝256.故选A. 5．设(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，若a1＋a2＋…＋a8＝255，则实数m为(　　) A．1 B．－1 C．1或－3 D．－1或－3 答案：C 解析：由(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8，令x＝0，可得a0＝18＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8－1＝255，解得m＝1或m＝－3.故选C. 6．(多选题)若的二项展开式共有8项，则下列正确的是(　　) A．二项式系数和为128 B．项数为奇数的各项系数和为－64 C．有理项共有4项 D．第4项与第5项系数相等且最大 答案：AC 解析：由于的展开式共有8项，故n＝7，则二项式系数和为2n＝27＝128 ，故A正确；的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCx7－，故项数为奇数的各项系数和为C＋C＋C＋C＝64 ，故B错误；因为Tk＋1＝(－1)kCx7－，当k取0，2，4，6时，Tk＋1＝(－1)kCx7－为有理项，共有4项，故C正确；T4＝－Cx，T5＝Cx，故第四项与第五项的系数互为相反数，故D错误．故选AC. 7．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________． 答案：10 解析：令x＝1得2n＝32，所以n＝5.因为Tk＋1＝C(x2)5－k·＝C·x10－5k，所以由10－5k＝0即k＝2可得展开式中的常数项是C＝10. 8．如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3. 答案：34 解析：由已知＝，即 ×＝，化简得＝.解得n＝34. 9．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是__________． 答案：6 解析：(1＋x)10展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6. 10．(12分)若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求： (1)各项系数之和； (2)奇数项系数的和与偶数项系数的和． 解：(1)各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，可用“赋值法”求解．令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1. (2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10， 偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9. 由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，① 令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，② ①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为(1＋510)； ①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为(1－510)． (11，12每小题5分，共10分) 11．(多选题)(2024·武汉高二期中)若(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 024x2 024(x∈R)，则(　　) A．a0＝1 B．a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝ C．a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝ D．＋＋＋…＋＝－1 答案：ACD 解析：设f(x)＝(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 024x2 024，对于A，a0＝f(0)＝12 024＝1，故A正确；对于B，C，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝＝，a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝＝，故B错误，C正确；对于D，＋＋＋…＋＝a0＋＋＋＋…＋－a0＝f－f(0)＝0－1＝－1，故D正确．故选ACD. 12．(新定义)如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：＝＋，＝＋，＝＋，…，则第n(n≥3)行第3个数是________． 　 　　 　　　 　　　　 … 答案：(n∈N＋，n≥3) 解析：杨辉三角形中的每一个数C都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，因为杨辉三角形中第n(n≥3)行第3个数是C，则“莱布尼茨调和三角形”第n(n≥3)行第3个数是＝. 13．(13分)(开放题)已知的展开式中，前三项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1. (1)求n和a的值； (2)展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存在，请说明理由； (3)求展开式中二项式系数最大的项． 解：(1)由题意，得C＋C＋C＝16， 即1＋n＋＝16. 解得n＝5，或n＝－6(舍去)， 所以n＝5. 因为所有项的系数之和为1，令x＝1， 所以(a－1)5＝1，解得a＝2. (2)不存在．理由： 因为＝， 所以Tk＋1＝C(2x)5－k ＝(－1)kC25－kx5－k. 令5－＝0，解得k＝∉N， 所以展开式中不存在常数项． (3)由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大， 二项式系数最大的两项为 T3＝(－1)2·C25－2x5－3＝80x2，T4＝(－1)3·C25－3x5－＝－40x. 14．(5分)(数学文化)(多选题)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m＞0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a＝b(mod m)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a＝b(mod 10)，则b的值可以是(　　) A．2 011 B．2 012 C．2 020 D．2 021 答案：AD 解析：因为a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C1010－C109＋…－C10＋1，所以被10除得的余数为1，而2 011与2 021被10除得的余数是1.故选AD. 15．(15分)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角． (1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数． 试用含有m，k(m，k∈N*)的数学公式表示上述结论，并给予证明． 解：(1)C＝1 140. (2)C＋C＋…＋C＝C. 证明如下： 左边＝C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C ＝…＝C＋C＝C＝右边． 学生用书第132页 学科网（北京）股份有限公司 $$